Trygonometria

Poznasz sinus, cosinus, tangens i cotangens — najpierw w trójkącie prostokątnym i na okręgu jednostkowym, a następnie we wzorach redukcyjnych, tożsamościach oraz zadaniach z dowolnym trójkątem.

Idea trygonometrii

Trygonometria łączy kąt ze współrzędnymi punktu na okręgu jednostkowym: \(x=\cos\alpha\), a \(y=\sin\alpha\).

Rozpocznij naukę Zobacz moduły

Moduły działu

Zacznij od definicji funkcji trygonometrycznych, następnie przejdź przez wartości szczególne i tożsamości, a na końcu wykorzystaj trygonometrię w trójkątach.

\(\sin\)

Podstawy funkcji trygonometrycznych

Pierwszy moduł wyjaśnia, czym są funkcje sinus, cosinus, tangens i cotangens. Poznasz dwa spojrzenia: trójkąt prostokątny oraz okrąg jednostkowy, dzięki czemu łatwiej rozumie późniejsze wartości i znaki funkcji.

Sinus w trójkącie prostokątnym \(\sin\alpha=\frac{\text{naprzeciw}}{\text{przeciwprostokątna}}\)

Cosinus w trójkącie prostokątnym \(\cos\alpha=\frac{\text{przyległa}}{\text{przeciwprostokątna}}\)

Czym jest trygonometria? Kąt jako informacja o proporcjach boków i współrzędnych punktu. › Funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym Rozpoznawanie przeciwprostokątnej, boku naprzeciw kąta i boku przyległego. › Definicje: sinus, cosinus, tangens i cotangens Zapis wzorów oraz warunki istnienia tangensa i cotangensa. › Okrąg jednostkowy dla kątów od \(0^\circ\) do \(180^\circ\) Odczytywanie \(\sin\alpha\) jako współrzędnej \(y\), a \(\cos\alpha\) jako współrzędnej \(x\). ›

Przejdź do lekcji

\(30^\circ\)

Wartości szczególne i redukcja kątów

Ten moduł porządkuje najważniejsze wartości funkcji trygonometrycznych oraz pokazuje, jak obliczać wartości dla kątów takich jak \(120^\circ\), \(135^\circ\), \(150^\circ\) i \(180^\circ\). To naturalne rozszerzenie tabeli dla kątów \(0^\circ\), \(30^\circ\), \(45^\circ\), \(60^\circ\) i \(90^\circ\), a także pokazuje, jak korzystać z tablic i kalkulatora do wyznaczania wartości przybliżonych oraz odczytywania kąta z wartości funkcji.

Sinus w II ćwiartce \(\sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha\)

Cosinus w II ćwiartce \(\cos(180^\circ-\alpha)=-\cos\alpha\)

Wartości przybliżone \(\tan\alpha=0{,}75 \Rightarrow \alpha\approx36{,}87^\circ\)

Tabela wartości funkcji trygonometrycznych Wartości dla \(0^\circ\), \(30^\circ\), \(45^\circ\), \(60^\circ\), \(90^\circ\). › Jak zapamiętać wartości sinusa i cosinusa? Schemat \(\frac{\sqrt{k}}{2}\) dla sinusa oraz odwrotna kolejność dla cosinusa. › Znaki funkcji trygonometrycznych I ćwiartka: wszystkie dodatnie, II ćwiartka: dodatni tylko sinus. › Wzory redukcyjne dla \(180^\circ-\alpha\) Obliczanie wartości \(\sin150^\circ\), \(\cos120^\circ\), \(\tan135^\circ\). › Kąty z przedziału od \(90^\circ\) do \(180^\circ\) Pełniejsze ujęcie kątów wymaganych w zadaniach maturalnych. › Tablice, kalkulator i odczytywanie kąta Wartości przybliżone funkcji oraz wyznaczanie kąta, gdy znamy np. \(\tan\alpha=0{,}75\). ›

Przejdź do lekcji

\(1\)

Tożsamości trygonometryczne

W tym module skorzystasz z najważniejszych zależności między funkcjami trygonometrycznymi. Szczególnie ważne są: jedynka trygonometryczna, wzór na tangens oraz wyznaczanie \(\sin\alpha\) i \(\cos\alpha\), gdy dana jest wartość \(\tan\alpha\).

Jedynka trygonometryczna \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\)

Tangens przez sinus i cosinus \(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\)

Jedynka trygonometryczna Obliczanie jednej funkcji, gdy znamy drugą. › Wzór \(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\) Obliczanie tangensa oraz kontrola warunku \(\cos\alpha\ne0\). › Cotangens i zależność odwrotna Zapis \(\cot\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\) oraz warunek \(\sin\alpha\ne0\). › Wyznaczanie sinusa i cosinusa z tangensa Proporcje typu \(3:4\), podstawienie do jedynki i dobieranie znaków. › Sprawdzanie równości trygonometrycznych Podstawianie wartości i przekształcanie prostych wyrażeń. ›

Przejdź do lekcji

\(\triangle\)

Trygonometria w trójkącie prostokątnym

Ten moduł pokazuje praktyczne zastosowanie funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym. Nauczysz się dobierać właściwą funkcję do danych boków i kąta oraz obliczać brakujące długości lub miary kątów.

Tangens jako stosunek przyprostokątnych \(\tan\alpha=\frac{\text{naprzeciw}}{\text{przyległa}}\)

Najpierw patrzymy z punktu widzenia kąta \(\alpha\)

Oznaczanie boków względem kąta Przeciwprostokątna, bok naprzeciw kąta i bok przyległy do kąta. › Obliczanie brakujących boków Dobór sinusa, cosinusa lub tangensa do danych z zadania. › Obliczanie miary kąta Odczytywanie kąta z wartości funkcji trygonometrycznej. › Zastosowania praktyczne Wysokość, odległość, nachylenie, cień i proste zadania geometryczne. ›

Przejdź do lekcji

\(a,b,c\)

Twierdzenie sinusów, cosinusów i pole trójkąta

Ostatni moduł dotyczy dowolnego trójkąta. Poznasz oznaczenia boków i kątów, twierdzenie sinusów, twierdzenie cosinusów oraz wzór na pole \(P=\frac{1}{2}ab\sin\gamma\). To część szczególnie ważna przy zadaniach maturalnych z geometrii.

Twierdzenie sinusów \(\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}\)

Twierdzenie cosinusów \(a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha\)

Pole trójkąta \(P=\frac{1}{2}ab\sin\gamma\)

Oznaczenia w dowolnym trójkącie Bok \(a\) leży naprzeciw kąta \(\alpha\), bok \(b\) naprzeciw \(\beta\), bok \(c\) naprzeciw \(\gamma\). › Twierdzenie sinusów Gdy znamy dwa kąty i bok albo dwa boki i kąt naprzeciw jednego z nich. › Twierdzenie cosinusów Obliczanie boku z dwóch boków i kąta między nimi albo kąta z trzech boków. › Wzór na pole trójkąta z sinusem kąta Stosowanie wzoru \(P=\frac{1}{2}ab\sin\gamma\), gdy znamy dwa boki i kąt między nimi. › Rozwiązywanie trójkątów Obliczanie brakujących boków, kątów i pola na podstawie danych z zadania. ›

Przejdź do lekcji

Sprawdź wiedzę z trygonometrii

Rozwiąż test podsumowujący cały dział. Próg zaliczenia wynosi 80%.

Rozpocznij test działowy →