Oznaczenia w dowolnym trójkącie
W dowolnym trójkącie bardzo ważna jest zgodność oznaczeń. Bok \(a\) leży naprzeciw kąta \(\alpha\), bok \(b\) naprzeciw kąta \(\beta\), a bok \(c\) naprzeciw kąta \(\gamma\).
Twierdzenie sinusów
Twierdzenie sinusów łączy długości boków z sinusami kątów leżących naprzeciw tych boków. Najczęściej używamy go, gdy w zadaniu pojawia się para: bok i kąt naprzeciw tego boku.
W trójkącie \(ABC\) dane są:
\[ a=6, \qquad \alpha=30^\circ, \qquad \beta=90^\circ \]Oblicz długość boku \(b\).
\[ \begin{aligned} \frac{a}{\sin\alpha}&=\frac{b}{\sin\beta} \\ \frac{6}{\sin30^\circ}&=\frac{b}{\sin90^\circ} \\ \frac{6}{\frac{1}{2}}&=\frac{b}{1} \\ 12&=b \end{aligned} \]W trójkącie dane są:
\[ \alpha=45^\circ, \qquad \beta=60^\circ, \qquad a=10 \]Oblicz długość boku \(b\).
W tym zadaniu kąt \(\gamma\) nie jest potrzebny do obliczenia \(b\), ale warto pamiętać, że:
\[ \gamma=180^\circ-45^\circ-60^\circ=75^\circ \]Korzystamy z pary \(a\) i \(\alpha\), ponieważ znamy bok i kąt naprzeciw niego:
\[ \begin{aligned} \frac{a}{\sin\alpha}&=\frac{b}{\sin\beta} \\ \frac{10}{\sin45^\circ}&=\frac{b}{\sin60^\circ} \\ b&=\frac{10\sin60^\circ}{\sin45^\circ} \\ b&=\frac{10\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \\ b&=5\sqrt{6} \end{aligned} \]Twierdzenie cosinusów
Twierdzenie cosinusów jest uogólnieniem twierdzenia Pitagorasa. Pozwala obliczyć bok, gdy znamy dwa boki i kąt między nimi, albo obliczyć kąt, gdy znamy wszystkie trzy boki.
W trójkącie dane są:
\[ b=5, \qquad c=5, \qquad \alpha=60^\circ \]Oblicz długość boku \(a\).
\[ \begin{aligned} a^2&=b^2+c^2-2bc\cos\alpha \\ a^2&=5^2+5^2-2\cdot5\cdot5\cdot\cos60^\circ \\ a^2&=25+25-50\cdot\frac{1}{2} \\ a^2&=50-25 \\ a^2&=25 \\ a&=5 \end{aligned} \]W trójkącie dane są:
\[ a=7, \qquad b=5, \qquad c=6 \]Oblicz \(\cos\alpha\), a następnie miarę kąta \(\alpha\).
\[ \begin{aligned} a^2&=b^2+c^2-2bc\cos\alpha \\ 7^2&=5^2+6^2-2\cdot5\cdot6\cos\alpha \\ 49&=25+36-60\cos\alpha \\ 49&=61-60\cos\alpha \\ 60\cos\alpha&=12 \\ \cos\alpha&=\frac{1}{5} \end{aligned} \]Z kalkulatora lub tablic możemy odczytać przybliżenie:
\[ \alpha\approx78{,}46^\circ \]Wzór na pole trójkąta z sinusem kąta
Jeżeli znamy dwa boki trójkąta i kąt zawarty między nimi, możemy obliczyć pole bez wyznaczania wysokości.
W trójkącie dane są:
\[ a=6, \qquad b=4, \qquad \gamma=90^\circ \]Oblicz pole trójkąta.
\[ \begin{aligned} P&=\frac{1}{2}ab\sin\gamma \\ P&=\frac{1}{2}\cdot6\cdot4\cdot\sin90^\circ \\ P&=\frac{1}{2}\cdot6\cdot4\cdot1 \\ P&=12 \end{aligned} \]W trójkącie dane są:
\[ a=5, \qquad b=6, \qquad P=\frac{15}{2} \]Oblicz miarę kąta \(\gamma\) zawartego między bokami \(a\) i \(b\).
\[ \begin{aligned} P&=\frac{1}{2}ab\sin\gamma \\ \frac{15}{2}&=\frac{1}{2}\cdot5\cdot6\cdot\sin\gamma \\ \frac{15}{2}&=15\sin\gamma \\ \sin\gamma&=\frac{1}{2} \end{aligned} \]Dla kątów trójkąta rozwiązaniem może być:
\[ \gamma=30^\circ \quad \text{lub} \quad \gamma=150^\circ \]Rozwiązywanie trójkątów
Rozwiązać trójkąt oznacza obliczyć brakujące boki, kąty i często także pole. Najważniejsze jest wybranie właściwego narzędzia na podstawie danych z zadania.
| Dane w zadaniu | Najlepsze narzędzie | Dlaczego? |
|---|---|---|
| Dwa kąty i jeden bok | Twierdzenie sinusów | Trzeci kąt obliczamy z sumy kątów, a potem korzystamy z par bok–kąt. |
| Dwa boki i kąt naprzeciw jednego z nich | Twierdzenie sinusów | Mamy znaną parę bok–kąt, więc można ułożyć proporcję sinusów. |
| Dwa boki i kąt między nimi | Twierdzenie cosinusów oraz wzór na pole | Cosinusy dadzą trzeci bok, a wzór z sinusem od razu da pole. |
| Trzy boki | Twierdzenie cosinusów | Możemy obliczyć cosinus wybranego kąta. |
W trójkącie dane są:
\[ a=8, \qquad b=7, \qquad \gamma=60^\circ \]Oblicz bok \(c\), pole trójkąta oraz przybliżoną miarę kąta \(\alpha\).
Krok 1. Obliczamy bok \(c\)
Znamy dwa boki i kąt między nimi, więc korzystamy z twierdzenia cosinusów:
\[ \begin{aligned} c^2&=a^2+b^2-2ab\cos\gamma \\ c^2&=8^2+7^2-2\cdot8\cdot7\cdot\cos60^\circ \\ c^2&=64+49-112\cdot\frac{1}{2} \\ c^2&=113-56 \\ c^2&=57 \\ c&=\sqrt{57} \end{aligned} \]Krok 2. Obliczamy pole
\[ \begin{aligned} P&=\frac{1}{2}ab\sin\gamma \\ P&=\frac{1}{2}\cdot8\cdot7\cdot\sin60^\circ \\ P&=28\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} \\ P&=14\sqrt{3} \end{aligned} \]Krok 3. Obliczamy przybliżenie kąta \(\alpha\)
Teraz możemy użyć twierdzenia sinusów:
\[ \begin{aligned} \frac{a}{\sin\alpha}&=\frac{c}{\sin\gamma} \\ \frac{8}{\sin\alpha}&=\frac{\sqrt{57}}{\sin60^\circ} \\ \sin\alpha&=\frac{8\sin60^\circ}{\sqrt{57}} \\ \sin\alpha&=\frac{8\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{57}} \\ \sin\alpha&=\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{57}} \end{aligned} \]Z kalkulatora otrzymujemy w przybliżeniu:
\[ \alpha\approx66{,}59^\circ \]Kalkulator: dwa boki i kąt między nimi
Ten kalkulator pokazuje najczęstszy przypadek: znamy dwa boki i kąt między nimi. Możemy wtedy obliczyć trzeci bok z twierdzenia cosinusów oraz pole ze wzoru z sinusem.
Podsumowanie
W dowolnym trójkącie kluczowe jest rozpoznanie danych. Dopiero potem wybieramy właściwy wzór.