Oznaczanie boków względem kąta
W trójkącie prostokątnym nazwy boków zależą od tego, na który kąt ostry patrzymy. Ten sam bok może być przyległy do jednego kąta i naprzeciw drugiego kąta.
- Przeciwprostokątna to bok naprzeciw kąta prostego. Jest zawsze najdłuższym bokiem trójkąta prostokątnego.
- Bok naprzeciw kąta \(\alpha\) leży po drugiej stronie trójkąta względem wybranego kąta.
- Bok przyległy do kąta \(\alpha\) dotyka kąta \(\alpha\), ale nie jest przeciwprostokątną.
| Funkcja | Jakie boki łączy? | Kiedy ją wybieramy? |
|---|---|---|
| \(\sin\alpha\) | bok naprzeciw kąta i przeciwprostokątną | gdy znamy albo szukamy boku naprzeciw kąta oraz przeciwprostokątnej |
| \(\cos\alpha\) | bok przyległy do kąta i przeciwprostokątną | gdy znamy albo szukamy boku przyległego oraz przeciwprostokątnej |
| \(\tan\alpha\) | dwie przyprostokątne | gdy w zadaniu występuje bok naprzeciw kąta i bok przyległy do kąta |
| \(\cot\alpha\) | dwie przyprostokątne w odwrotnej kolejności | gdy wygodniej zapisać bok przyległy nad bokiem naprzeciw kąta |
W trójkącie prostokątnym kąt prosty jest przy wierzchołku \(B\), a kąt \(\alpha\) przy wierzchołku \(A\). Bok \(|AC|\) leży naprzeciw kąta prostego, więc jest przeciwprostokątną.
- \(|AC|\) — przeciwprostokątna,
- \(|BC|\) — bok naprzeciw kąta \(\alpha\),
- \(|AB|\) — bok przyległy do kąta \(\alpha\).
Dlatego możemy zapisać:
\[ \sin\alpha=\frac{|BC|}{|AC|}, \qquad \cos\alpha=\frac{|AB|}{|AC|}, \qquad \tan\alpha=\frac{|BC|}{|AB|} \]Obliczanie brakujących boków
Przy obliczaniu boków nie zgadujemy wzoru. Najpierw sprawdzamy, które dwa boki pojawiają się w zadaniu, a potem dobieramy funkcję trygonometryczną.
W trójkącie prostokątnym przeciwprostokątna ma długość \(10\), a kąt \(\alpha=30^\circ\). Oblicz długość boku naprzeciw kąta \(\alpha\).
Widzimy, że mamy przeciwprostokątną i szukamy boku naprzeciw kąta. Wybieramy sinus:
\[ \begin{aligned} \sin\alpha&=\frac{\text{naprzeciw}}{\text{przeciwprostokątna}} \\ \sin30^\circ&=\frac{x}{10} \\ \frac{1}{2}&=\frac{x}{10} \\ x&=5 \end{aligned} \]W trójkącie prostokątnym przeciwprostokątna ma długość \(12\), a kąt \(\alpha=60^\circ\). Oblicz długość boku przyległego do kąta \(\alpha\).
Mamy przeciwprostokątną i szukamy boku przyległego, więc wybieramy cosinus:
\[ \begin{aligned} \cos\alpha&=\frac{\text{przyległy}}{\text{przeciwprostokątna}} \\ \cos60^\circ&=\frac{x}{12} \\ \frac{1}{2}&=\frac{x}{12} \\ x&=6 \end{aligned} \]Kąt nachylenia drabiny do podłoża wynosi \(45^\circ\). Odległość dolnego końca drabiny od ściany wynosi \(3\) m. Oblicz, na jaką wysokość sięga drabina.
Wysokość jest bokiem naprzeciw kąta, a odległość od ściany jest bokiem przyległym. Wybieramy tangens:
\[ \begin{aligned} \tan\alpha&=\frac{\text{naprzeciw}}{\text{przyległy}} \\ \tan45^\circ&=\frac{x}{3} \\ 1&=\frac{x}{3} \\ x&=3 \end{aligned} \]Obliczanie miary kąta
Jeżeli znamy dwa boki trójkąta prostokątnego, możemy obliczyć wartość funkcji trygonometrycznej, a następnie odczytać kąt z tablic, kalkulatora albo z wartości charakterystycznych.
| Wartość | Kąt | Skąd wiemy? |
|---|---|---|
| \(\sin\alpha=\frac{1}{2}\) | \(30^\circ\) | z tabeli wartości funkcji trygonometrycznych |
| \(\cos\alpha=\frac{1}{2}\) | \(60^\circ\) | bo \(\cos60^\circ=\frac{1}{2}\) |
| \(\tan\alpha=1\) | \(45^\circ\) | bo \(\tan45^\circ=1\) |
| \(\tan\alpha=\sqrt{3}\) | \(60^\circ\) | bo \(\tan60^\circ=\sqrt{3}\) |
W trójkącie prostokątnym bok naprzeciw kąta \(\alpha\) ma długość \(4\), a przeciwprostokątna ma długość \(8\). Oblicz miarę kąta \(\alpha\).
\[ \begin{aligned} \sin\alpha&=\frac{\text{naprzeciw}}{\text{przeciwprostokątna}} \\ \sin\alpha&=\frac{4}{8} \\ \sin\alpha&=\frac{1}{2} \end{aligned} \]Z tabeli wartości wiemy, że:
\[ \sin30^\circ=\frac{1}{2} \]W trójkącie prostokątnym bok naprzeciw kąta \(\alpha\) ma długość \(7\), a bok przyległy do tego kąta też ma długość \(7\). Oblicz miarę kąta \(\alpha\).
\[ \begin{aligned} \tan\alpha&=\frac{\text{naprzeciw}}{\text{przyległy}} \\ \tan\alpha&=\frac{7}{7} \\ \tan\alpha&=1 \end{aligned} \]Ponieważ \(\tan45^\circ=1\), otrzymujemy:
\[ \alpha=45^\circ \]Zastosowania praktyczne
Trygonometria w trójkącie prostokątnym bardzo często opisuje sytuacje z życia: wysokość budynku, długość cienia, nachylenie drogi, odległość od obiektu albo ustawienie drabiny.
Obserwator stoi \(20\) m od budynku. Kąt wzniesienia do jego szczytu wynosi \(30^\circ\). Oblicz wysokość budynku. Pomijamy wysokość oczu obserwatora.
Wysokość budynku jest bokiem naprzeciw kąta, a odległość od budynku jest bokiem przyległym. Wybieramy tangens:
\[ \begin{aligned} \tan30^\circ&=\frac{h}{20} \\ \frac{\sqrt{3}}{3}&=\frac{h}{20} \\ h&=20\cdot\frac{\sqrt{3}}{3} \\ h&=\frac{20\sqrt{3}}{3} \end{aligned} \]Drabina opiera się o ścianę i tworzy z podłożem kąt \(60^\circ\). Jej dolny koniec znajduje się \(2\) m od ściany. Oblicz długość drabiny.
Odległość od ściany jest bokiem przyległym do kąta, a drabina jest przeciwprostokątną. Wybieramy cosinus:
\[ \begin{aligned} \cos60^\circ&=\frac{2}{d} \\ \frac{1}{2}&=\frac{2}{d} \\ d&=4 \end{aligned} \]Słup ma wysokość \(6\) m. Promienie słoneczne tworzą z ziemią kąt \(45^\circ\). Oblicz długość cienia słupa.
Wysokość słupa jest bokiem naprzeciw kąta, a cień jest bokiem przyległym. Wybieramy tangens:
\[ \begin{aligned} \tan45^\circ&=\frac{6}{x} \\ 1&=\frac{6}{x} \\ x&=6 \end{aligned} \]Kalkulator trójkąta prostokątnego
Wybierz, co chcesz obliczyć, wpisz dane i zobacz, jak dobrać funkcję trygonometryczną. Wyniki przybliżone kalkulator podaje z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku.
Podsumowanie
W zadaniach z trójkąta prostokątnego najważniejsze jest rozpoznanie boków względem wybranego kąta.