Jedynka trygonometryczna
Jedynka trygonometryczna łączy sinus i cosinus tego samego kąta. Dzięki niej możemy obliczyć jedną funkcję, jeżeli znamy drugą.
Ten wzór mówi, że suma kwadratu sinusa i kwadratu cosinusa zawsze daje \(1\). W zadaniach najczęściej znamy wartość jednej funkcji, na przykład \(\sin\alpha\), i chcemy obliczyć drugą, czyli \(\cos\alpha\).
Dany jest kąt ostry \(\alpha\) oraz:
\[ \sin\alpha=\frac{3}{5} \]Obliczamy \(\cos\alpha\).
\[ \begin{aligned} \sin^2\alpha+\cos^2\alpha&=1 \\ \left(\frac{3}{5}\right)^2+\cos^2\alpha&=1 \\ \frac{9}{25}+\cos^2\alpha&=1 \\ \cos^2\alpha&=1-\frac{9}{25} \\ \cos^2\alpha&=\frac{16}{25} \\ \cos\alpha&=\frac{4}{5} \end{aligned} \]Dany jest kąt \(\alpha\), gdzie \(90^\circ\lt\alpha\lt180^\circ\), oraz:
\[ \cos\alpha=-\frac{5}{13} \]Obliczamy \(\sin\alpha\).
\[ \begin{aligned} \sin^2\alpha+\cos^2\alpha&=1 \\ \sin^2\alpha+\left(-\frac{5}{13}\right)^2&=1 \\ \sin^2\alpha+\frac{25}{169}&=1 \\ \sin^2\alpha&=\frac{144}{169} \\ \sin\alpha&=\frac{12}{13} \end{aligned} \]Wzór \(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\)
Tangens możemy obliczyć jako iloraz sinusa i cosinusa tego samego kąta. Trzeba jednak pilnować, aby cosinus nie był równy zero.
Warunek \(\cos\alpha\neq0\) jest bardzo ważny, ponieważ cosinus znajduje się w mianowniku. Gdyby \(\cos\alpha=0\), to pojawiłoby się dzielenie przez zero, którego nie wolno wykonywać.
Dane są wartości:
\[ \sin\alpha=\frac{12}{13}, \qquad \cos\alpha=\frac{5}{13} \]Obliczamy \(\tan\alpha\).
\[ \begin{aligned} \tan\alpha&=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \\ \tan\alpha&=\frac{\frac{12}{13}}{\frac{5}{13}} \\ \tan\alpha&=\frac{12}{13}\cdot\frac{13}{5} \\ \tan\alpha&=\frac{12}{5} \end{aligned} \]Dany jest kąt \(\alpha\), gdzie \(90^\circ\lt\alpha\lt180^\circ\), oraz:
\[ \sin\alpha=\frac{4}{5}, \qquad \cos\alpha=-\frac{3}{5} \] \[ \begin{aligned} \tan\alpha&=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \\ \tan\alpha&=\frac{\frac{4}{5}}{-\frac{3}{5}} \\ \tan\alpha&=\frac{4}{5}\cdot\left(-\frac{5}{3}\right) \\ \tan\alpha&=-\frac{4}{3} \end{aligned} \]Cotangens i zależność odwrotna
Cotangens jest odwrotnością tangensa, ale najbezpieczniej zapamiętać go jako iloraz cosinusa i sinusa.
Ponieważ sinus znajduje się w mianowniku, musimy założyć, że \(\sin\alpha\neq0\). Dla kątów od \(0^\circ\) do \(180^\circ\) oznacza to, że cotangens nie jest określony dla \(0^\circ\) oraz \(180^\circ\).
Dane są wartości:
\[ \sin\alpha=\frac{3}{5}, \qquad \cos\alpha=\frac{4}{5} \]Obliczamy \(\cot\alpha\).
\[ \begin{aligned} \cot\alpha&=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} \\ \cot\alpha&=\frac{\frac{4}{5}}{\frac{3}{5}} \\ \cot\alpha&=\frac{4}{5}\cdot\frac{5}{3} \\ \cot\alpha&=\frac{4}{3} \end{aligned} \]Jeżeli:
\[ \tan\alpha=-\frac{5}{2} \]to:
\[ \begin{aligned} \cot\alpha&=\frac{1}{\tan\alpha} \\ \cot\alpha&=\frac{1}{-\frac{5}{2}} \\ \cot\alpha&=-\frac{2}{5} \end{aligned} \]Wyznaczanie sinusa i cosinusa z tangensa
Jeżeli znamy tangens, to znamy stosunek sinusa do cosinusa. Możemy wtedy potraktować go jak proporcję boków w trójkącie prostokątnym albo podstawić do jedynki trygonometrycznej.
Dany jest kąt ostry \(\alpha\) oraz:
\[ \tan\alpha=\frac{3}{4} \]Skoro tangens to stosunek boku naprzeciw kąta do boku przyległego, przyjmujemy proporcję:
\[ \text{naprzeciw}=3, \qquad \text{przyległy}=4 \]Obliczamy przeciwprostokątną:
\[ \begin{aligned} c^2&=3^2+4^2 \\ c^2&=9+16 \\ c^2&=25 \\ c&=5 \end{aligned} \]Teraz odczytujemy sinus i cosinus:
\[ \sin\alpha=\frac{3}{5}, \qquad \cos\alpha=\frac{4}{5} \]Dany jest kąt \(\alpha\), gdzie \(90^\circ\lt\alpha\lt180^\circ\), oraz:
\[ \tan\alpha=-\frac{5}{12} \]Do długości boków bierzemy wartości dodatnie \(5\) i \(12\), a znak ustalimy na końcu.
\[ \begin{aligned} c^2&=5^2+12^2 \\ c^2&=25+144 \\ c^2&=169 \\ c&=13 \end{aligned} \]Dla kąta rozwartego sinus jest dodatni, a cosinus ujemny, dlatego:
\[ \sin\alpha=\frac{5}{13}, \qquad \cos\alpha=-\frac{12}{13} \]Sprawdzanie równości trygonometrycznych
Równość trygonometryczną można sprawdzać na dwa sposoby: podstawiając konkretne wartości albo przekształcając jedną stronę tak, aby otrzymać drugą.
Sprawdź, czy dla:
\[ \sin\alpha=\frac{3}{5}, \qquad \cos\alpha=\frac{4}{5} \]zachodzi równość \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\).
\[ \begin{aligned} \sin^2\alpha+\cos^2\alpha &=\left(\frac{3}{5}\right)^2+\left(\frac{4}{5}\right)^2 \\ &=\frac{9}{25}+\frac{16}{25} \\ &=\frac{25}{25} \\ &=1 \end{aligned} \]Uprość wyrażenie:
\[ \frac{\sin^2\alpha}{\cos\alpha}+\cos\alpha \]Zakładamy, że \(\cos\alpha\neq0\), ponieważ cosinus występuje w mianowniku.
\[ \begin{aligned} \frac{\sin^2\alpha}{\cos\alpha}+\cos\alpha &=\frac{\sin^2\alpha}{\cos\alpha}+\frac{\cos^2\alpha}{\cos\alpha} \\ &=\frac{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha}{\cos\alpha} \\ &=\frac{1}{\cos\alpha} \end{aligned} \]Mini-kalkulator tożsamości trygonometrycznych
Wpisz znaną wartość jako ułamek, na przykład \(3/5\), albo jako liczbę dziesiętną. Kalkulator pokazuje wynik oraz schemat przekształceń.