Tabela wartości funkcji trygonometrycznych
Najpierw zapamiętujemy wartości dla kątów \(0^\circ\), \(30^\circ\), \(45^\circ\), \(60^\circ\) i \(90^\circ\). To baza do dalszych obliczeń.
W zadaniach maturalnych bardzo często trzeba szybko odczytać wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów charakterystycznych. Nie chodzi tylko o zapamiętanie tabeli, ale też o rozumienie, skąd biorą się kolejne wartości.
| Kąt \(\alpha\) | \(\sin\alpha\) | \(\cos\alpha\) | \(\tan\alpha\) | \(\cot\alpha\) |
|---|---|---|---|---|
| \(0^\circ\) | \(0\) | \(1\) | \(0\) | nie istnieje |
| \(30^\circ\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) | \(\sqrt{3}\) |
| \(45^\circ\) | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(1\) | \(1\) |
| \(60^\circ\) | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\sqrt{3}\) | \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) |
| \(90^\circ\) | \(1\) | \(0\) | nie istnieje | \(0\) |
Obliczmy:
\[ \sin30^\circ+\cos60^\circ \]Z tabeli odczytujemy:
\[ \sin30^\circ=\frac{1}{2}, \qquad{} \cos60^\circ=\frac{1}{2} \]Dodajemy wartości:
\[ \sin30^\circ+\cos60^\circ = \frac{1}{2}+\frac{1}{2} = 1 \]Jak zapamiętać wartości sinusa i cosinusa?
Dla kątów \(0^\circ\), \(30^\circ\), \(45^\circ\), \(60^\circ\), \(90^\circ\) można użyć bardzo prostego schematu z pierwiastkami.
Obliczmy \(\tan60^\circ\).
Znamy wartości:
\[ \sin60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}, \qquad{} \cos60^\circ=\frac{1}{2} \]Podstawiamy do wzoru:
\[ \tan60^\circ = \frac{\sin60^\circ}{\cos60^\circ} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{3} \]Znaki funkcji trygonometrycznych
Dla kątów od \(0^\circ\) do \(180^\circ\) korzystamy z I i II ćwiartki układu współrzędnych.
Na okręgu jednostkowym punkt ma współrzędne: \[ P=(x,y)=(\cos\alpha,\sin\alpha) \] To oznacza, że znak cosinusa zależy od współrzędnej \(x\), a znak sinusa od współrzędnej \(y\).
| Przedział kąta | \(\sin\alpha\) | \(\cos\alpha\) | \(\tan\alpha\) | \(\cot\alpha\) |
|---|---|---|---|---|
| \(0^\circ\) do \(90^\circ\) | dodatni | dodatni | dodatni | dodatni |
| \(90^\circ\) | dodatni | \(0\) | nie istnieje | \(0\) |
| \(90^\circ\) do \(180^\circ\) | dodatni | ujemny | ujemny | ujemny |
Wzory redukcyjne dla \(180^\circ-\alpha\)
Wzory redukcyjne pozwalają obliczać wartości funkcji dla kątów z II ćwiartki, korzystając z wartości dla kątów ostrych.
Kąt z II ćwiartki często zapisujemy w postaci: \[ 180^\circ-\alpha \] gdzie \(\alpha\) jest kątem ostrym. Na przykład: \[ 150^\circ=180^\circ-30^\circ, \qquad{} 135^\circ=180^\circ-45^\circ, \qquad{} 120^\circ=180^\circ-60^\circ \]
Najpierw zapisujemy kąt jako różnicę:
\[ 150^\circ=180^\circ-30^\circ \]Korzystamy ze wzoru redukcyjnego:
\[ \sin150^\circ = \sin(180^\circ-30^\circ) = \sin30^\circ = \frac{1}{2} \]Zapisujemy:
\[ 120^\circ=180^\circ-60^\circ \]Korzystamy ze wzoru:
\[ \cos120^\circ = \cos(180^\circ-60^\circ) = -\cos60^\circ = -\frac{1}{2} \]Zapisujemy:
\[ 135^\circ=180^\circ-45^\circ \]Korzystamy ze wzoru:
\[ \tan135^\circ = \tan(180^\circ-45^\circ) = -\tan45^\circ = -1 \]Kąty z przedziału od \(90^\circ\) do \(180^\circ\)
Dla kątów z II ćwiartki szukamy kąta ostrego, który „brakuje” do \(180^\circ\).
| Kąt | Postać redukcyjna | \(\sin\) | \(\cos\) | \(\tan\) | \(\cot\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(120^\circ\) | \(180^\circ-60^\circ\) | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(-\frac{1}{2}\) | \(-\sqrt{3}\) | \(-\frac{\sqrt{3}}{3}\) |
| \(135^\circ\) | \(180^\circ-45^\circ\) | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(-\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(-1\) | \(-1\) |
| \(150^\circ\) | \(180^\circ-30^\circ\) | \(\frac{1}{2}\) | \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(-\frac{\sqrt{3}}{3}\) | \(-\sqrt{3}\) |
Kalkulator redukcji kąta
Wybierz funkcję i kąt z II ćwiartki, a zobaczysz zapis redukcyjny oraz wynik.
Korzystanie z tablic i kalkulatora
Nie wszystkie kąty mają wartości, które trzeba znać na pamięć. Dla kątów takich jak \(37^\circ\), \(52^\circ\) albo dla równań typu \(\tan\alpha=0{,}75\) korzystamy z tablic wartości funkcji trygonometrycznych albo z kalkulatora.
- odczytać przybliżoną wartość funkcji dla danego kąta, na przykład \(\sin37^\circ\),
- odczytać przybliżoną miarę kąta, gdy znamy wartość funkcji, na przykład \(\tan\alpha=0{,}75\),
- pamiętać, że dla sinusa w przedziale od \(0^\circ\) do \(180^\circ\) czasami mogą istnieć dwa kąty.
Oblicz przybliżoną wartość \(\sin37^\circ\).
Kąt \(37^\circ\) nie jest kątem charakterystycznym, więc korzystamy z tablic albo kalkulatora:
\[ \sin37^\circ\approx0{,}602 \]Wyznacz przybliżoną miarę kąta ostrego \(\alpha\), jeżeli:
\[ \tan\alpha=0{,}75 \]Korzystamy z kalkulatora lub tablic i odczytujemy kąt, którego tangens jest równy około \(0{,}75\):
\[ \alpha\approx36{,}87^\circ \]Wyznacz kąty z przedziału od \(0^\circ\) do \(180^\circ\), dla których:
\[ \sin\alpha=0{,}5 \]Z tabeli wiemy, że:
\[ \sin30^\circ=\frac{1}{2} \]Sinus ma tę samą wartość dla kąta \(30^\circ\) oraz kąta dopełniającego do \(180^\circ\):
\[ 180^\circ-30^\circ=150^\circ \]Mini-kalkulator wartości przybliżonych
Wybierz tryb działania. Możesz obliczyć wartość funkcji dla podanego kąta albo odczytać kąt z podanej wartości funkcji.
Podsumowanie
Ta lekcja łączy trzy rzeczy: zapamiętanie wartości dla kątów charakterystycznych, używanie znaków funkcji w II ćwiartce oraz korzystanie z tablic i kalkulatora przy wartościach przybliżonych.