Czym jest trygonometria?
Trygonometria bada zależność między kątem a bokami trójkąta oraz między kątem a współrzędnymi punktu w układzie współrzędnych.
Najprościej mówiąc: jeżeli znamy kąt, to możemy opisać, jak „ustawione” są boki trójkąta. Jeżeli znamy odpowiednie proporcje boków, możemy z kolei odtworzyć informację o kącie. Właśnie dlatego trygonometria jest tak przydatna w geometrii, fizyce, pomiarach wysokości, nachyleń i odległości.
Funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym
W trójkącie prostokątnym funkcje trygonometryczne kąta ostrego opisujemy przez stosunki długości boków.
Zanim użyjemy wzorów, musimy poprawnie nazwać boki trójkąta. To jest najważniejszy krok, bo błędne rozpoznanie boku naprzeciw albo boku przyległego prowadzi do złego wzoru.
W trójkącie prostokątnym \(ABC\) kąt prosty znajduje się przy wierzchołku \(B\), a kąt \(\alpha\) przy wierzchołku \(A\). Wtedy:
Definicje: sinus, cosinus, tangens i cotangens
Każda funkcja trygonometryczna porównuje inne boki trójkąta albo inne współrzędne punktu.
Załóżmy, że w trójkącie prostokątnym dla kąta \(\alpha\) mamy:
\[ \text{bok naprzeciw kąta }\alpha=4,\quad{} \text{bok przyległy do kąta }\alpha=3,\quad{} \text{przeciwprostokątna}=5 \]Podstawiamy dane do definicji:
\[ \begin{aligned} \sin\alpha&=\frac{4}{5} \\ \cos\alpha&=\frac{3}{5} \\ \tan\alpha&=\frac{4}{3} \\ \cot\alpha&=\frac{3}{4} \end{aligned} \]Okrąg jednostkowy dla kątów od \(0^\circ\) do \(180^\circ\)
Okrąg jednostkowy pozwala rozszerzyć definicje funkcji trygonometrycznych poza kąty ostre.
Okrąg jednostkowy to okrąg o środku w punkcie \((0,0)\) i promieniu \(1\). Jeżeli ramię kąta \(\alpha\) przecina ten okrąg w punkcie \(P=(x,y)\), to współrzędne tego punktu są bezpośrednio związane z funkcjami trygonometrycznymi.
Wartości dla najważniejszych kątów
Poniższa tabela zawiera wartości, które najczęściej pojawiają się w zadaniach maturalnych. W pierwszej kolejności warto dobrze zapamiętać kąty \(30^\circ\), \(45^\circ\) i \(60^\circ\), a potem zobaczyć, jak zmieniają się znaki w II ćwiartce.
| Kąt \(\alpha\) | \(\sin\alpha\) | \(\cos\alpha\) | \(\tan\alpha\) | \(\cot\alpha\) |
|---|---|---|---|---|
| \(0^\circ\) | \(0\) | \(1\) | \(0\) | nie istnieje |
| \(30^\circ\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) | \(\sqrt{3}\) |
| \(45^\circ\) | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(1\) | \(1\) |
| \(60^\circ\) | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\sqrt{3}\) | \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) |
| \(90^\circ\) | \(1\) | \(0\) | nie istnieje | \(0\) |
| \(120^\circ\) | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(-\frac{1}{2}\) | \(-\sqrt{3}\) | \(-\frac{\sqrt{3}}{3}\) |
| \(135^\circ\) | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(-\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(-1\) | \(-1\) |
| \(150^\circ\) | \(\frac{1}{2}\) | \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(-\frac{\sqrt{3}}{3}\) | \(-\sqrt{3}\) |
| \(180^\circ\) | \(0\) | \(-1\) | \(0\) | nie istnieje |
Sprawdź punkt na okręgu jednostkowym
Wybierz kąt i zobacz, gdzie znajduje się punkt \(P=(x,y)\), czyli \((\cos\alpha,\sin\alpha)\).
| Wielkość | Wartość dokładna | Przybliżenie | Jak ją odczytać? |
|---|---|---|---|
| Punkt \(P=(x,y)\) | \(\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\) | \((0{,}500;\ 0{,}866)\) | \(x=\cos\alpha\), \(y=\sin\alpha\) |
| \(\sin\alpha\) | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(0{,}866\) | współrzędna \(y\) punktu |
| \(\cos\alpha\) | \(\frac{1}{2}\) | \(0{,}500\) | współrzędna \(x\) punktu |
| \(\tan\alpha\) | \(\sqrt{3}\) | \(1{,}732\) | iloraz \(y/x\) |
| \(\cot\alpha\) | \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) | \(0{,}577\) | iloraz \(x/y\) |
Jak zastosować wzory redukcyjne?
Dla \(60^\circ\) nie trzeba zmieniać kąta: jest to kąt szczególny z I ćwiartki.
Najpierw ustal położenie ramienia kąta, potem kąt odniesienia, a dopiero na końcu dobierz znak funkcji. Ta kolejność ogranicza pomyłki w II ćwiartce.
Podsumowanie
Po tej lekcji rozpoznasz boki w trójkącie prostokątnym, zapiszesz definicje funkcji trygonometrycznych oraz odczytasz sinus i cosinus z okręgu jednostkowego.