Układy równań

W tym dziale nauczysz się rozwiązywać układy równań krok po kroku. Zaczniemy od układów liniowych z dwiema niewiadomymi, potem przejdziemy do zadań tekstowych, układów z równaniami kwadratowymi oraz równań okręgu.

Idea układu równań

Układ równań opisuje sytuację, w której kilka warunków musi być spełnionych jednocześnie. Dla dwóch równań liniowych rozwiązaniem jest punkt przecięcia prostych.

Rozpocznij naukę Zobacz moduły

Moduły działu

Tematy są pogrupowane w większe części. Najpierw poznajemy podstawy i metody, potem przechodzimy do zadań tekstowych, następnie do układów z parabolą, a na końcu do okręgów i geometrii analitycznej.

x,y

Podstawy i metody rozwiązywania układów

Ten moduł zbiera wszystko, co jest potrzebne na start: definicję układu równań, rodzaje układów, interpretację geometryczną oraz dwie główne metody rozwiązywania: podstawianie i metodę przeciwnych współczynników.

Przykładowy układ \(\begin{cases}x+y=9\\2x-y=3\end{cases}\)

Przykładowe rozwiązanie \((x,y)=(4,5)\)

Czym jest układ równań? Dwa równania, dwie niewiadome i jedna para liczb spełniająca oba warunki. › Rodzaje układów równań Układ oznaczony, nieoznaczony i sprzeczny oraz ich znaczenie geometryczne. › Metoda podstawiania Wyznaczamy jedną zmienną i podstawiamy ją do drugiego równania. › Metoda przeciwnych współczynników Dodajemy równania stronami tak, aby jedna niewiadoma się zredukowała. › Interpretacja geometryczna Proste mogą się przecinać, być równoległe albo pokrywać się. ›

Rozpocznij podstawy układów

tekst

Zadania tekstowe i modelowanie sytuacji

W tym module uczymy się zamieniać treść zadania na równania. Najważniejsze jest poprawne oznaczenie niewiadomych, zapisanie zależności z treści i rozwiązanie otrzymanego układu.

Przykładowy zapis \(\begin{cases}x+y=12\\1{,}5x+2y=21\end{cases}\)

Droga, prędkość, czas \(s=v\cdot t\)

Oznaczanie niewiadomych i układanie równań Ustalamy, co oznacza \(x\), co oznacza \(y\), i zapisujemy warunki z treści. › Zadania z cenami, produktami i monetami Bilety, owoce, liczba przedmiotów i łączna wartość zakupów. › Zadania z drogą, prędkością i czasem Sytuacje z ruchem, spotkaniem i zależnością \(s=v\cdot t\). › Zadania z wydajnością pracy Praca wykonana w jednostce czasu, np. \(\frac{1}{10}+\frac{1}{x}=\frac{1}{6}\). ›

Przejdź do zadań tekstowych

x²

Układy z równaniem kwadratowym

Tutaj przechodzimy do układów, w których jedno równanie jest liniowe, a drugie kwadratowe. Geometrycznie oznacza to szukanie punktów przecięcia prostej i paraboli.

Prosta i parabola \(\begin{cases}y=x^2\\y=2x+3\end{cases}\)

Po podstawieniu \(x^2=2x+3\)

Prosta i parabola jako układ równań Punkty wspólne wykresów są rozwiązaniami układu. › Podstawianie i sprowadzenie do równania kwadratowego Z dwóch równań otrzymujemy jedno równanie z jedną niewiadomą. › Delta i liczba punktów wspólnych Dwa, jeden albo zero punktów przecięcia prostej i paraboli. › Przykłady układów liniowo-kwadratowych Obliczanie wartości \(x\), a potem odpowiadających im wartości \(y\). ›

Rozpocznij układy z parabolą

○

Okręgi i geometria analityczna

Ten moduł łączy układy równań z geometrią analityczną. Poznasz równanie okręgu, przekształcanie postaci ogólnej, dopełnianie do pełnych kwadratów oraz szukanie punktów wspólnych okręgów i prostych.

Równanie okręgu \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)

Odległość środków \(d=\sqrt{(a_1-a_2)^2+(b_1-b_2)^2}\)

Równanie okręgu i jego postacie Postać kanoniczna, środek, promień oraz szczególny przypadek \(x^2+y^2=r^2\). › Postać ogólna i dopełnianie do pełnych kwadratów Przekształcanie równania \(x^2+y^2+cx+dy+f=0\). › Wzajemne położenie dwóch okręgów Porównanie odległości środków z sumą i różnicą promieni. › Układ równań dwóch okręgów Odejmowanie równań stronami i wyznaczanie punktów przecięcia. › Równanie liniowe i równanie okręgu Podstawianie prostej do równania okręgu i szukanie punktów wspólnych. ›

Przejdź do okręgów

Sprawdź wiedzę z układów równań

Rozwiąż 30 pytań podsumowujących metody rozwiązywania, zadania tekstowe, układy liniowo-kwadratowe oraz okręgi. Po sprawdzeniu otrzymasz osobny wynik dla każdego modułu.

Rozpocznij test działowy →