Czym jest układ równań?
Układ równań to kilka równań, które muszą być spełnione jednocześnie. Oznacza to, że szukamy takich wartości niewiadomych, które pasują do każdego równania z układu.
Każde równanie liniowe z dwiema niewiadomymi opisuje prostą. Rozwiązaniem układu jest taka para liczb \((x,y)\), która leży jednocześnie na obu prostych.
Rozwiązaniem układu dwóch równań z niewiadomymi \(x\) i \(y\) jest para uporządkowana \((x,y)\). Na przykład zapis \((4,5)\) oznacza, że \(x=4\) oraz \(y=5\).
Sprawdźmy, czy para \((4,5)\) jest rozwiązaniem układu:
\[ \begin{cases} x+y=9 \\ 2x-y=3 \end{cases} \]Podstawiamy \(x=4\) oraz \(y=5\):
\[ 4+5=9 \] \[ 2\cdot 4-5=8-5=3 \]Sposoby rozwiązywania układów równań
Ten sam układ można często rozwiązać kilkoma sposobami. Najważniejsze jest dobranie metody do postaci równań, żeby nie komplikować obliczeń.
Metoda podstawiania
Wyznaczamy jedną zmienną z jednego równania, a następnie podstawiamy otrzymane wyrażenie do drugiego równania.
- dobra, gdy łatwo wyznaczyć \(x\) albo \(y\),
- często pojawia się przy równaniu typu \(x-y=1\),
- sprowadza układ do jednego równania z jedną niewiadomą.
Metoda przeciwnych współczynników
Przekształcamy równania tak, aby przy jednej zmiennej pojawiły się współczynniki przeciwne, a potem dodajemy równania stronami.
- dobra, gdy współczynniki już są przeciwne,
- sprawdza się przy układach zapisanych w postaci ogólnej,
- pozwala szybko usunąć jedną niewiadomą.
Metoda graficzna
Rysujemy wykresy obu równań i odczytujemy punkt przecięcia prostych.
- dobra do zrozumienia sensu układu,
- pomaga sprawdzić wynik,
- przy odczycie z rysunku może dawać wynik przybliżony.
Na maturze najbezpieczniej jest rozwiązywać układy rachunkowo, czyli metodą podstawiania albo metodą przeciwnych współczynników. Metoda graficzna bardzo dobrze pokazuje sens rozwiązania, ale sam odczyt z wykresu bywa niedokładny.
Kiedy którą metodę wybrać?
Nie chodzi o to, żeby zawsze używać jednej ulubionej metody. Chodzi o to, żeby zobaczyć, która metoda w danym przykładzie da najkrótsze rachunki.
Jeżeli w układzie widzisz równanie typu \(x-y=1\), \(y=7-2x\) albo \(x=3y+2\), najczęściej wygodna będzie metoda podstawiania.
Jeżeli przy \(y\) masz \(2y\) oraz \(-2y\), możesz od razu dodać równania stronami. To idealny moment na metodę przeciwnych współczynników.
Wtedy popatrz geometrycznie. Jeżeli proste przecinają się, jest jedno rozwiązanie. Jeżeli są równoległe, rozwiązań nie ma. Jeżeli się pokrywają, rozwiązań jest nieskończenie wiele.
Można rozwiązać układ i otrzymać jedną liczbę, na przykład \(x=4\), ale zapomnieć o obliczeniu drugiej niewiadomej. W układzie dwóch równań z dwiema niewiadomymi pełna odpowiedź to najczęściej para \((x,y)\).
Rodzaje układów równań
Układy równań dzielimy ze względu na liczbę rozwiązań. To ważne, bo nie każdy układ musi mieć dokładnie jedno rozwiązanie.
Ma dokładnie jedno rozwiązanie.
\[ \begin{cases} x+y=4 \\ x-y=2 \end{cases} \] \[ x=3,\quad y=1 \]Ma nieskończenie wiele rozwiązań, ponieważ równania są równoważne.
\[ \begin{cases} x+y=4 \\ 2x+2y=8 \end{cases} \]Drugie równanie jest pierwszym równaniem pomnożonym przez \(2\).
Nie ma żadnego rozwiązania, ponieważ równania wzajemnie się wykluczają.
\[ \begin{cases} x+y=4 \\ x+y=1 \end{cases} \]Ta sama lewa strona nie może być jednocześnie równa \(4\) i \(1\).
- Jeżeli po przekształceniach otrzymasz konkretną wartość, na przykład \(x=4\), układ najczęściej jest oznaczony.
- Jeżeli otrzymasz prawdę, na przykład \(0=0\), układ jest nieoznaczony.
- Jeżeli otrzymasz fałsz, na przykład \(0=5\), układ jest sprzeczny.
Interpretacja geometryczna układu równań
Dwa równania liniowe z dwiema niewiadomymi można traktować jako dwie proste na płaszczyźnie. Liczba rozwiązań zależy od wzajemnego położenia tych prostych.
Układ oznaczony
Proste przecinają się w jednym punkcie.
Układ nieoznaczony
Proste pokrywają się.
Układ sprzeczny
Proste są równoległe.
Jeżeli układ ma jedno rozwiązanie, to algebraicznie dostajemy jedną parę \((x,y)\), a geometrycznie jest to punkt przecięcia dwóch prostych.
Przykłady krok po kroku
Teraz przechodzimy przez kilka układów. Zwróć uwagę nie tylko na obliczenia, ale też na to, dlaczego w danym przykładzie wybieramy konkretną metodę.
Rozwiąż układ równań:
\[ \begin{cases} x+y=9 \\ 2x-y=3 \end{cases} \]Krok 1. Wyznaczamy jedną zmienną z jednego równania.
Z pierwszego równania wyznaczamy \(x\):
\[ x=9-y \]Krok 2. Podstawiamy wyrażenie do drugiego równania.
\[ \begin{aligned} 2x-y&=3 \\ 2(9-y)-y&=3 && \text{podstawiamy za } x \\ 18-2y-y&=3 && \text{rozwijamy nawias} \\ 18-3y&=3 && |-18 \\ -3y&=-15 && |:(-3) \\ y&=5 \end{aligned} \]Krok 3. Obliczamy drugą zmienną.
\[ \begin{aligned} x&=9-y \\ x&=9-5 \\ x&=4 \end{aligned} \]Proste przecinają się w punkcie \((4,5)\), dlatego układ ma dokładnie jedno rozwiązanie.
Rozwiąż układ równań:
\[ \begin{cases} 3x+2y=16 \\ x-y=1 \end{cases} \]Krok 1. Z drugiego równania wyznaczamy \(x\).
\[ x=y+1 \]Krok 2. Podstawiamy do pierwszego równania.
\[ \begin{aligned} 3x+2y&=16 \\ 3(y+1)+2y&=16 && \text{podstawiamy za } x \\ 3y+3+2y&=16 && \text{rozwijamy nawias} \\ 5y+3&=16 && |-3 \\ 5y&=13 && |:5 \\ y&=\frac{13}{5} \end{aligned} \]Krok 3. Obliczamy \(x\).
\[ \begin{aligned} x&=y+1 \\ x&=\frac{13}{5}+1 \\ x&=\frac{13}{5}+\frac{5}{5} \\ x&=\frac{18}{5} \end{aligned} \]Rozwiąż układ równań:
\[ \begin{cases} 4x-3y=5 \\ 2x+y=7 \end{cases} \]Krok 1. Z drugiego równania wyznaczamy \(y\).
\[ \begin{aligned} 2x+y&=7 \\ y&=7-2x \end{aligned} \]Krok 2. Podstawiamy do pierwszego równania.
\[ \begin{aligned} 4x-3y&=5 \\ 4x-3(7-2x)&=5 && \text{podstawiamy za } y \\ 4x-21+6x&=5 && \text{rozwijamy nawias} \\ 10x-21&=5 && |+21 \\ 10x&=26 && |:10 \\ x&=\frac{13}{5} \end{aligned} \]Krok 3. Obliczamy \(y\).
\[ \begin{aligned} y&=7-2x \\ y&=7-2\cdot\frac{13}{5} \\ y&=\frac{35}{5}-\frac{26}{5} \\ y&=\frac{9}{5} \end{aligned} \]Rozwiąż układ równań:
\[ \begin{cases} 3x+2y=16 \\ 5x-2y=4 \end{cases} \]Widzimy, że przy \(y\) stoją współczynniki \(2\) oraz \(-2\). Po dodaniu równań stronami zmienna \(y\) się wyzeruje.
\[ \begin{aligned} 3x+2y&=16 \\ 5x-2y&=4 \\ 8x&=20 \end{aligned} \]Wyliczamy \(x\):
\[ \begin{aligned} 8x&=20 && |:8 \\ x&=\frac{20}{8} \\ x&=\frac{5}{2} \end{aligned} \]Podstawiamy \(x=\frac{5}{2}\) do pierwszego równania:
\[ \begin{aligned} 3x+2y&=16 \\ 3\cdot\frac{5}{2}+2y&=16 \\ \frac{15}{2}+2y&=16 && |-\frac{15}{2} \\ 2y&=\frac{17}{2} && |:2 \\ y&=\frac{17}{4} \end{aligned} \]Rozwiąż układ równań:
\[ \begin{cases} 2x-3y=6 \\ 4x-6y=10 \end{cases} \]Krok 1. Porównujemy równania.
Lewa strona drugiego równania jest dwukrotnością lewej strony pierwszego równania:
\[ 2\cdot(2x-3y)=4x-6y \]Gdyby równania opisywały tę samą prostą, prawa strona też musiałaby być pomnożona przez \(2\). Sprawdzamy:
\[ 2\cdot 6=12 \]W drugim równaniu po prawej stronie mamy jednak \(10\), a nie \(12\).
Obie proste mają ten sam kierunek, ale są przesunięte względem siebie. Są równoległe, więc nigdy się nie przecinają.
Sprawdź typ układu równań
Wpisz współczynniki układu w postaci \(a_1x+b_1y=c_1\) oraz \(a_2x+b_2y=c_2\). Kalkulator określi, czy układ jest oznaczony, nieoznaczony czy sprzeczny. Jeżeli układ ma jedno rozwiązanie, pokaże także wartości \(x\) i \(y\).
Podsumowanie lekcji
Układy równań warto rozumieć jednocześnie rachunkowo i geometrycznie. Dzięki temu łatwiej zauważyć, czy wynik ma sens.