Czym jest okrąg?
Okrąg to zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, które są równoodległe od jednego ustalonego punktu. Ten punkt nazywamy środkiem okręgu, a stałą odległość od środka nazywamy promieniem.
To punkt, od którego wszystkie punkty okręgu są tak samo oddalone.
\[ S=(a,b) \]To odległość od środka do dowolnego punktu na okręgu.
\[ r\gt 0 \]Postać kanoniczna okręgu
Najwygodniejsza postać równania okręgu pozwala od razu odczytać środek i promień.
W tej postaci środek okręgu to \(S=(a,b)\), a promień to \(r\).
Jeżeli środek okręgu znajduje się w początku układu współrzędnych, czyli \(S=(0,0)\), to równanie ma prostszą postać:
\[ x^2+y^2=r^2 \]Okrąg o środku \(S=(2,-3)\) i promieniu \(5\) ma równanie:
\[ (x-2)^2+(y+3)^2=5^2 \]Zwróć uwagę na znak przy drugiej współrzędnej środka. Skoro \(b=-3\), to w nawiasie mamy:
\[ y-b=y-(-3)=y+3 \]Równanie ogólne okręgu
Okrąg może być zapisany także w postaci ogólnej. Wtedy najczęściej trzeba przekształcić równanie do postaci kanonicznej.
Aby odczytać środek i promień, grupujemy wyrazy z \(x\) oraz \(y\), a następnie dopełniamy kwadraty.
Oddziel część z \(x\), część z \(y\) i samą liczbę.
Dodane liczby muszą pojawić się po obu stronach równania.
Po lewej stronie powinna pojawić się postać \((x-a)^2+(y-b)^2\).
Przekształć równanie ogólne do postaci kanonicznej i odczytaj środek oraz promień:
\[ x^2+y^2-6x+4y-3=0 \]Krok 1. Grupujemy wyrazy z \(x\) i \(y\).
\[ (x^2-6x)+(y^2+4y)=3 \]Krok 2. Dopełniamy kwadrat w obu nawiasach.
\[ (x^2-6x+9)+(y^2+4y+4)=3+9+4 \]Krok 3. Zapisujemy pełne kwadraty.
\[ (x-3)^2+(y+2)^2=16 \]Ostatecznie:
\[ \boxed{(x-3)^2+(y+2)^2=4^2} \]Interpretacja geometryczna
Równanie okręgu opisuje wszystkie punkty \((x,y)\), które leżą w tej samej odległości od środka \((a,b)\).
Jeżeli punkt \(P=(x,y)\) leży na okręgu, to po podstawieniu jego współrzędnych do równania okręgu otrzymamy zdanie prawdziwe. Jeżeli nie leży, lewa strona równania będzie inna niż \(r^2\).
Wzajemne położenie dwóch okręgów
Dwa okręgi porównujemy za pomocą odległości między ich środkami oraz sumy i różnicy promieni.
\(d\gt r_1+r_2\)
Okręgi nie mają punktów wspólnych.
\(d=r_1+r_2\)
Okręgi mają dokładnie jeden punkt wspólny.
\(|r_1-r_2|\lt d\lt r_1+r_2\)
Okręgi mają dwa punkty wspólne.
\(d=|r_1-r_2|\)
Okręgi mają jeden punkt wspólny.
\(d\lt |r_1-r_2|\)
Brak punktów wspólnych.
\(d=0\) i \(r_1=r_2\)
Okręgi pokrywają się.
Krok 1. Wyznaczamy środki i promienie.
\[ S_1=(2,1),\quad r_1=3 \] \[ S_2=(-1,1),\quad r_2=2 \]Krok 2. Obliczamy odległość między środkami.
\[ d=\sqrt{(2-(-1))^2+(1-1)^2}=\sqrt{3^2+0}=3 \]Krok 3. Porównujemy z sumą i różnicą promieni.
\[ r_1+r_2=3+2=5 \] \[ |r_1-r_2|=|3-2|=1 \]Widzimy, że:
\[ |r_1-r_2|\lt d\lt r_1+r_2 \] \[ 1\lt 3\lt 5 \]Jak znaleźć punkty przecięcia dwóch okręgów?
Jeżeli dwa okręgi przecinają się, możemy potraktować je jako układ równań. Punkty wspólne są rozwiązaniami tego układu.
Rozwiąż układ:
\[ \begin{cases} (x-2)^2+(y-1)^2=9\\ (x+1)^2+(y-1)^2=4 \end{cases} \]Krok 1. Odejmujemy równania stronami.
W obu równaniach występuje składnik \((y-1)^2\), więc po odjęciu się skróci.
\[ \begin{aligned} \left[(x-2)^2+(y-1)^2\right]-\left[(x+1)^2+(y-1)^2\right]&=9-4\\ (x-2)^2-(x+1)^2&=5 \end{aligned} \]Krok 2. Rozwijamy nawiasy i upraszczamy.
\[ \begin{aligned} (x-2)^2&=x^2-4x+4\\ (x+1)^2&=x^2+2x+1\\ x^2-4x+4-(x^2+2x+1)&=5\\ -6x+3&=5\\ -6x&=2\\ x&=-\frac{1}{3} \end{aligned} \]Krok 3. Podstawiamy do jednego z równań.
Podstawiamy \(x=-\frac{1}{3}\) do drugiego równania:
\[ (x+1)^2+(y-1)^2=4 \] \[ \begin{aligned} \left(-\frac{1}{3}+1\right)^2+(y-1)^2&=4\\ \left(\frac{2}{3}\right)^2+(y-1)^2&=4\\ \frac{4}{9}+(y-1)^2&=4\\ (y-1)^2&=4-\frac{4}{9}\\ (y-1)^2&=\frac{32}{9}\\ y-1&=\pm\sqrt{\frac{32}{9}}\\ y-1&=\pm\frac{4\sqrt{2}}{3}\\ y&=1\pm\frac{4\sqrt{2}}{3} \end{aligned} \]Odpowiedź:
\[ \boxed{ \begin{aligned} (x_1,y_1)&=\left(-\frac{1}{3},\ 1+\frac{4\sqrt{2}}{3}\right)\\ (x_2,y_2)&=\left(-\frac{1}{3},\ 1-\frac{4\sqrt{2}}{3}\right) \end{aligned} } \]Rozwiąż układ równań okręgów:
\[ \begin{cases} (x-1)^2+(y+2)^2=16\\ (x+3)^2+(y+2)^2=25 \end{cases} \]Krok 1. Odejmujemy równania stronami.
\[ \begin{aligned} \left[(x-1)^2+(y+2)^2\right]-\left[(x+3)^2+(y+2)^2\right]&=16-25\\ (x-1)^2-(x+3)^2&=-9 \end{aligned} \]Krok 2. Rozwijamy nawiasy i upraszczamy.
\[ \begin{aligned} (x-1)^2&=x^2-2x+1\\ (x+3)^2&=x^2+6x+9\\ x^2-2x+1-(x^2+6x+9)&=-9\\ -8x-8&=-9\\ -8x&=-1\\ x&=\frac{1}{8} \end{aligned} \]Krok 3. Podstawiamy do pierwszego równania.
\[ \begin{aligned} \left(\frac{1}{8}-1\right)^2+(y+2)^2&=16\\ \left(-\frac{7}{8}\right)^2+(y+2)^2&=16\\ \frac{49}{64}+(y+2)^2&=16\\ (y+2)^2&=16-\frac{49}{64}\\ (y+2)^2&=\frac{975}{64}\\ y+2&=\pm\frac{\sqrt{975}}{8}\\ y&=-2\pm\frac{\sqrt{975}}{8} \end{aligned} \]Odpowiedź:
\[ \boxed{ \begin{aligned} (x_1,y_1)&=\left(\frac{1}{8},\ -2+\frac{\sqrt{975}}{8}\right)\\ (x_2,y_2)&=\left(\frac{1}{8},\ -2-\frac{\sqrt{975}}{8}\right) \end{aligned} } \]Równanie liniowe i równanie okręgu
Jeżeli w układzie mamy okrąg i prostą, najczęściej podstawiamy równanie prostej do równania okręgu. Otrzymujemy wtedy równanie kwadratowe.
- Jeżeli prosta jest zapisana jako \(y=mx+n\), podstawiamy to wyrażenie za \(y\) w równaniu okręgu.
- Po uproszczeniu otrzymujemy równanie kwadratowe z niewiadomą \(x\).
- Liczba rozwiązań równania kwadratowego mówi, ile jest punktów wspólnych.
Rozwiąż układ:
\[ \begin{cases} (x-2)^2+(y-3)^2=25\\ y=x+1 \end{cases} \]Krok 1. Podstawiamy \(y=x+1\) do równania okręgu.
\[ \begin{aligned} (x-2)^2+((x+1)-3)^2&=25\\ (x-2)^2+(x-2)^2&=25\\ 2(x-2)^2&=25\\ (x-2)^2&=\frac{25}{2}\\ x-2&=\pm\sqrt{\frac{25}{2}}\\ x-2&=\pm\frac{5\sqrt{2}}{2}\\ x&=2\pm\frac{5\sqrt{2}}{2} \end{aligned} \]Krok 2. Obliczamy odpowiadające wartości \(y\).
\[ \begin{aligned} y_1&=x_1+1=2+\frac{5\sqrt{2}}{2}+1=3+\frac{5\sqrt{2}}{2}\\ y_2&=x_2+1=2-\frac{5\sqrt{2}}{2}+1=3-\frac{5\sqrt{2}}{2} \end{aligned} \]Odpowiedź:
\[ \boxed{ \begin{aligned} (x_1,y_1)&=\left(2+\frac{5\sqrt{2}}{2},\ 3+\frac{5\sqrt{2}}{2}\right)\\ (x_2,y_2)&=\left(2-\frac{5\sqrt{2}}{2},\ 3-\frac{5\sqrt{2}}{2}\right) \end{aligned} } \]Dany jest okrąg:
\[ x^2+y^2-6x+4y-3=0 \]oraz prosta:
\[ y=x-1 \]Wyznacz punkty wspólne okręgu i prostej.
Krok 1. Przekształcamy równanie okręgu do postaci kanonicznej.
\[ \begin{aligned} x^2+y^2-6x+4y-3&=0\\ (x^2-6x)+(y^2+4y)&=3\\ (x^2-6x+9)+(y^2+4y+4)&=3+9+4\\ (x-3)^2+(y+2)^2&=16 \end{aligned} \]Otrzymujemy okrąg o środku \(S=(3,-2)\) i promieniu \(r=4\).
Krok 2. Podstawiamy \(y=x-1\) do równania okręgu.
\[ \begin{aligned} (x-3)^2+((x-1)+2)^2&=16\\ (x-3)^2+(x+1)^2&=16\\ (x^2-6x+9)+(x^2+2x+1)&=16\\ 2x^2-4x+10&=16 \end{aligned} \]Krok 3. Rozwiązujemy równanie kwadratowe.
\[ \begin{aligned} 2x^2-4x-6&=0\\ x^2-2x-3&=0\\ \Delta&=(-2)^2-4\cdot1\cdot(-3)=16\\ x_1&=\frac{2+\sqrt{16}}{2}=3\\ x_2&=\frac{2-\sqrt{16}}{2}=-1 \end{aligned} \]Krok 4. Podstawiamy do \(y=x-1\).
\[ x_1=3,\quad y_1=2 \] \[ x_2=-1,\quad y_2=-2 \]Odpowiedź:
\[ \boxed{P_1=(3,2),\quad P_2=(-1,-2)} \]Dopełnianie do pełnych kwadratów
Ta metoda jest kluczowa przy przekształcaniu równania ogólnego okręgu do postaci kanonicznej.
Jeżeli dodamy odpowiednią liczbę, otrzymamy pełny kwadrat:
\[ x^2+bx+\left(\frac{b}{2}\right)^2=\left(x+\frac{b}{2}\right)^2 \]Wyrażenie z \(x\):
\[ \begin{aligned} x^2+8x&=x^2+8x+16-16\\ &= (x+4)^2-16 \end{aligned} \]Obliczamy \(\left(\frac{8}{2}\right)^2=16\). Dodajemy i odejmujemy \(16\), aby nie zmienić wartości wyrażenia.
Wyrażenie z \(y\):
\[ \begin{aligned} y^2-10y&=y^2-10y+25-25\\ &= (y-5)^2-25 \end{aligned} \]Obliczamy \(\left(\frac{-10}{2}\right)^2=25\).
- Grupujemy wyrazy z \(x\) oraz \(y\).
- Dopełniamy każdy nawias tak, aby był pełnym kwadratem.
- Dodane wartości dopisujemy również po drugiej stronie równania.
- Dążymy do postaci \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\).
Pomocnik do okręgów
Ten prosty pomocnik pozwala szybko sprawdzić postać kanoniczną okręgu, przekształcić równanie ogólne, zbadać wzajemne położenie dwóch okręgów albo sprawdzić liczbę punktów wspólnych prostej i okręgu.
Wpisz współczynniki z równania \(x^2+y^2+cx+dy+f=0\).
Zakładamy okrąg \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\) i prostą \(y=mx+n\).
Co trzeba zapamiętać?
Okręgi w układzie współrzędnych są bardzo schematyczne. Kluczem jest odczytanie środka i promienia, a potem dobranie właściwej metody rozwiązania.
\((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\). Odczytujemy z niej \(S=(a,b)\) oraz \(r\).
\(x^2+y^2+cx+dy+f=0\). Przekształcamy przez dopełnianie kwadratów.
Porównujemy \(d\), \(r_1+r_2\) oraz \(|r_1-r_2|\).
Podstawiamy równanie prostej do równania okręgu i rozwiązujemy równanie kwadratowe.