Na czym polega połączenie równania liniowego i kwadratowego?
Taki układ najczęściej ma postać, w której oba równania opisują tę samą zmienną \(y\). Jedno równanie jest liniowe, czyli jego wykresem jest prosta, a drugie jest kwadratowe, czyli jego wykresem jest parabola.
Skoro oba wyrażenia są równe \(y\), to możemy je do siebie przyrównać:
\[ 2x + 1 = x^2 - 4x + 3 \]Po przyrównaniu otrzymujemy równanie kwadratowe. Rozwiązania tego równania dają nam wartości \(x\). Potem każdą z tych wartości podstawiamy do jednego z równań, aby obliczyć \(y\).
Równanie kwadratowe i delta
Po podstawieniu bardzo często otrzymujemy równanie kwadratowe. Dlatego warto przypomnieć, jak działa delta i co mówi nam o liczbie rozwiązań.
Równanie ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste:
\[ x_1 = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}, \qquad x_2 = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \]Równanie ma jeden pierwiastek podwójny:
\[ x_0 = \frac{-b}{2a} \]Równanie nie ma pierwiastków rzeczywistych.
Na poziomie maturalnym oznacza to brak rozwiązań rzeczywistych.
Gdy równanie łatwo rozłożyć na czynniki, wyłączyć wspólny czynnik albo użyć wzoru skróconego mnożenia.
Delta mówi nie tylko o liczbie pierwiastków równania kwadratowego. W układzie równań mówi również, ile punktów wspólnych ma prosta i parabola.
Jak rozwiązywać układ równania liniowego i kwadratowego?
Najbezpieczniejszy sposób to metoda podstawiania. Trzymamy się kilku prostych kroków.
Samo obliczenie wartości \(x\) nie kończy zadania. Układ równań ma rozwiązania w postaci par \((x,y)\), dlatego zawsze trzeba jeszcze wyznaczyć odpowiadające wartości \(y\).
Co oznaczają rozwiązania na wykresie?
Równanie liniowe opisuje prostą, a równanie kwadratowe opisuje parabolę. Rozwiązania układu to punkty, w których te wykresy się przecinają.
Prosta przecina parabolę w dwóch punktach.
Prosta jest styczna do paraboli, czyli dotyka jej w jednym punkcie.
Prosta i parabola nie mają punktów wspólnych.
Wykresy przecinają się w punktach \((-1,1)\) oraz \((3,9)\), dlatego układ ma dwa rozwiązania:
\[ (-1,1) \quad \text{oraz} \quad (3,9) \]Układ z prostymi pierwiastkami
Krok 1. Podstawiamy \(y = 2x + 3\) do pierwszego równania.
\[ \begin{aligned} x^2 &= 2x + 3 \\ x^2 - 2x - 3 &= 0 &&\quad \text{przenosimy wyrazy na jedną stronę} \end{aligned} \]Krok 2. Obliczamy deltę i pierwiastki równania kwadratowego.
\[ \Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \] \[ x_1 = \frac{-(-2)-\sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2-4}{2} = -1 \] \[ x_2 = \frac{-(-2)+\sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2+4}{2} = 3 \]Krok 3. Obliczamy odpowiadające wartości \(y\).
\[ y_1 = 2(-1) + 3 = -2 + 3 = 1 \] \[ y_2 = 2 \cdot 3 + 3 = 6 + 3 = 9 \]Wykresy funkcji \(y=x^2\) oraz \(y=2x+3\) przecinają się w dwóch punktach: \((-1,1)\) oraz \((3,9)\).
Układ z pierwiastkami niewymiernymi
Krok 1. Podstawiamy wyrażenie z drugiego równania do pierwszego.
\[ \begin{aligned} x^2 - 4x + 3 &= y \\ x^2 - 4x + 3 &= 2x - 1 &&\quad \text{podstawiamy } y = 2x - 1 \end{aligned} \]Krok 2. Przenosimy wszystkie wyrazy na jedną stronę.
\[ \begin{aligned} x^2 - 4x + 3 - 2x + 1 &= 0 &&\quad \text{odejmujemy } 2x - 1 \text{ od obu stron} \\ x^2 - 6x + 4 &= 0 &&\quad \text{redukujemy wyrazy podobne} \end{aligned} \]Otrzymaliśmy równanie kwadratowe:
\[ x^2 - 6x + 4 = 0 \]Krok 3. Wyznaczamy deltę.
\[ a=1,\qquad b=-6,\qquad c=4 \] \[ \Delta = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 36 - 16 = 20 \]Krok 4. Obliczamy pierwiastki równania kwadratowego.
\[ x_1 = \frac{-(-6)-\sqrt{20}}{2 \cdot 1} = \frac{6-\sqrt{20}}{2} \] \[ x_2 = \frac{-(-6)+\sqrt{20}}{2 \cdot 1} = \frac{6+\sqrt{20}}{2} \]Upraszczamy pierwiastek:
\[ \sqrt{20}=\sqrt{4\cdot 5}=2\sqrt{5} \] \[ x_1 = \frac{6-2\sqrt{5}}{2}=3-\sqrt{5} \] \[ x_2 = \frac{6+2\sqrt{5}}{2}=3+\sqrt{5} \]Krok 5. Obliczamy odpowiadające wartości \(y\).
Podstawiamy do równania liniowego \(y=2x-1\).
\[ y_1 = 2(3-\sqrt{5})-1 = 6-2\sqrt{5}-1 = 5-2\sqrt{5} \] \[ y_2 = 2(3+\sqrt{5})-1 = 6+2\sqrt{5}-1 = 5+2\sqrt{5} \]Układ z bardziej rozbudowanymi współrzędnymi
Krok 1. Podstawiamy \(y=-x+5\) do pierwszego równania.
\[ \begin{aligned} x^2 - 6x + 2 &= -x + 5 &&\quad \text{za } y \text{ wstawiamy } -x+5 \\ x^2 - 5x - 3 &= 0 &&\quad \text{przenosimy wszystko na jedną stronę} \end{aligned} \]Krok 2. Obliczamy deltę.
\[ a=1,\qquad b=-5,\qquad c=-3 \] \[ \Delta = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 25 + 12 = 37 \]Krok 3. Obliczamy pierwiastki.
\[ x_1 = \frac{-(-5)-\sqrt{37}}{2 \cdot 1} = \frac{5-\sqrt{37}}{2} \] \[ x_2 = \frac{-(-5)+\sqrt{37}}{2 \cdot 1} = \frac{5+\sqrt{37}}{2} \]Krok 4. Obliczamy odpowiadające wartości \(y\).
Podstawiamy do równania \(y=-x+5\).
\[ y_1 = -\left(\frac{5-\sqrt{37}}{2}\right)+5 = \frac{-5+\sqrt{37}}{2}+\frac{10}{2} = \frac{5+\sqrt{37}}{2} \] \[ y_2 = -\left(\frac{5+\sqrt{37}}{2}\right)+5 = \frac{-5-\sqrt{37}}{2}+\frac{10}{2} = \frac{5-\sqrt{37}}{2} \]Co delta mówi o układzie równań?
Po podstawieniu otrzymujemy równanie kwadratowe. Liczba jego rozwiązań odpowiada liczbie punktów wspólnych prostej i paraboli.
Układ ma dwa rozwiązania.
Prosta przecina parabolę w dwóch punktach.
Układ ma jedno rozwiązanie.
Prosta jest styczna do paraboli.
Układ nie ma rozwiązań rzeczywistych.
Prosta nie przecina paraboli.
Nie zapisujemy tylko wartości \(x\). Odpowiedzią są pary \((x,y)\).
Pomocnik delty dla równania po podstawieniu
Wpisz współczynniki równania \(ax^2+bx+c=0\). Pomocnik pokaże deltę, liczbę rozwiązań oraz krótką interpretację geometryczną.
Co trzeba zapamiętać?
Jeżeli oba równania są zapisane jako \(y=\), przyrównujemy prawe strony.
Po przekształceniach dostajemy postać \(ax^2+bx+c=0\).
Delta pomaga określić, ile będzie rozwiązań układu.
Pierwiastki równania kwadratowego to współrzędne \(x\) punktów przecięcia.
Każde \(x\) podstawiamy do jednego z równań układu.
Odpowiedź zapisujemy jako pary uporządkowane \((x,y)\).