Na czym polegają zadania tekstowe?
Zadanie tekstowe nie polega tylko na liczeniu. Najpierw musimy zrozumieć sytuację, wybrać niewiadomą, a następnie zapisać zależności podane w treści.
Jeżeli w zadaniu pojawia się zdanie typu „coś jest o 8 większe”, „razem jest 30”, „łączna wartość wynosi 90 zł” albo „spotkali się po 2 godzinach”, to zwykle jest to informacja, którą trzeba zamienić na równanie.
Zdanie: „bilet normalny kosztuje o 8 zł więcej niż ulgowy”.
Jeżeli oznaczymy cenę biletu ulgowego przez \(x\), to cena biletu normalnego wynosi:
\[ x + 8 \]Jeżeli dodatkowo oznaczymy cenę biletu normalnego przez \(y\), możemy zapisać:
\[ y = x + 8 \]Jak rozwiązywać zadania tekstowe?
W każdym zadaniu tekstowym warto trzymać się stałej kolejności. Dzięki temu nie gubimy informacji z treści i łatwiej sprawdzamy, czy wynik ma sens.
W zadaniach tekstowych sam wynik liczbowy nie wystarczy. Odpowiedź powinna zawierać jednostkę i krótkie zdanie, np. „bilet ulgowy kosztuje 14 zł”, a nie tylko „14”.
Typowe sytuacje, które prowadzą do równań
Wiele zadań tekstowych powtarza ten sam schemat. Gdy rozpoznasz typ zadania, łatwiej ułożysz równanie.
Używamy zależności:
\[ \text{wartość} = \text{cena jednej sztuki} \cdot \text{liczba sztuk} \]Zwykle zapisujemy dwa równania:
\[ \text{liczba monet} \quad \text{oraz} \quad \text{łączna wartość} \]Najważniejsza jest wydajność, czyli część pracy wykonana w 1 godzinę:
\[ \text{wydajność} = \frac{1}{\text{czas wykonania całej pracy}} \]Najczęściej korzystamy ze wzoru:
\[ \text{droga} = \text{prędkość} \cdot \text{czas} \]Zadanie tekstowe o cenach biletów
W kinie bilet normalny kosztuje o 8 zł więcej niż bilet ulgowy. Za 3 bilety normalne i 2 ulgowe zapłacono 94 zł. Ile kosztuje bilet normalny, a ile ulgowy?
Oznaczmy:
\[ x \quad \text{— cena biletu ulgowego [zł]}, \qquad y \quad \text{— cena biletu normalnego [zł]} \]Z treści mamy dwa warunki:
- bilet normalny kosztuje o 8 zł więcej niż ulgowy: \(y = x + 8\),
- trzy bilety normalne i dwa ulgowe kosztują razem 94 zł: \(3y + 2x = 94\).
Zapisujemy układ równań:
\[ \begin{cases} y = x + 8 \\ 3y + 2x = 94 \end{cases} \]Podstawiamy \(y = x + 8\) do drugiego równania:
\[ \begin{aligned} 3(x + 8) + 2x &= 94 &&\quad \text{podstawiamy za } y \\ 3x + 24 + 2x &= 94 &&\quad \text{rozwijamy nawias} \\ 5x + 24 &= 94 &&\quad |-24 \\ 5x &= 70 &&\quad |:5 \\ x &= 14 \end{aligned} \]Obliczamy \(y\):
\[ y = x + 8 = 14 + 8 = 22 \]Zadanie tekstowe o wspólnej pracy
Dwie maszyny pracujące razem mogą wykonać pewne zlecenie w 6 godzin. Gdyby pierwsza z nich pracowała samodzielnie, wykonałaby to zlecenie w 10 godzin. Ile czasu potrzebowałaby druga maszyna, aby wykonać to samo zlecenie pracując samodzielnie?
Oznaczmy:
\[ x \quad \text{— czas pracy drugiej maszyny samodzielnie [godz]} \]Jeżeli maszyna wykonuje całe zlecenie w 10 godzin, to w 1 godzinę wykonuje \(\frac{1}{10}\) zlecenia. W zadaniach o pracy dodajemy wydajności.
Wydajności maszyn:
\[ \text{pierwsza maszyna: } \frac{1}{10}, \qquad \text{druga maszyna: } \frac{1}{x}, \qquad \text{obie razem: } \frac{1}{6} \]Układamy równanie:
\[ \frac{1}{10} + \frac{1}{x} = \frac{1}{6} \]Rozwiązujemy równanie:
\[ \begin{aligned} \frac{1}{10} + \frac{1}{x} &= \frac{1}{6} &&\quad \text{odejmujemy } \frac{1}{10} \\ \frac{1}{x} &= \frac{1}{6} - \frac{1}{10} \\ \frac{1}{x} &= \frac{5 - 3}{30} \\ \frac{1}{x} &= \frac{2}{30} \\ \frac{1}{x} &= \frac{1}{15} \\ x &= 15 \end{aligned} \]Zadanie tekstowe o zakupach
W sklepie klient kupił łącznie 12 jabłek i gruszek. Jabłko kosztuje 1,50 zł, a gruszka 2 zł. Za wszystkie owoce zapłacił 21 zł. Ile jabłek i ile gruszek kupił klient?
Oznaczmy:
\[ x \quad \text{— liczba jabłek}, \qquad y \quad \text{— liczba gruszek} \]W drugim równaniu przemnażamy cenę jednego jabłka przez liczbę jabłek. To samo robimy dla gruszek.
Z treści zadania:
\[ \begin{cases} x + y = 12 \quad \text{łącznie 12 owoców} \\ 1{,}5x + 2y = 21 \quad \text{razem 21 zł} \end{cases} \]Krok 1. Wyznaczamy \(x\) z pierwszego równania:
\[ x = 12 - y \]Krok 2. Podstawiamy do drugiego równania:
\[ \begin{aligned} 1{,}5(12 - y) + 2y &= 21 &&\quad \text{podstawiamy za } x \\ 18 - 1{,}5y + 2y &= 21 &&\quad \text{rozwijamy nawias} \\ 18 + 0{,}5y &= 21 &&\quad |-18 \\ 0{,}5y &= 3 &&\quad |:0{,}5 \\ y &= 6 \end{aligned} \]Krok 3. Obliczamy \(x\):
\[ x = 12 - y = 12 - 6 = 6 \]Zadanie tekstowe o monetach
W portfelu znajduje się 30 monet: 2-złotowych i 5-złotowych. Ich łączna wartość wynosi 90 zł. Ile jest monet każdego rodzaju?
Oznaczmy:
\[ x \quad \text{— liczba monet 2-złotowych}, \qquad y \quad \text{— liczba monet 5-złotowych} \]Z treści zadania mamy dwa równania:
\[ \begin{cases} x + y = 30 \quad \text{łącznie 30 monet} \\ 2x + 5y = 90 \quad \text{łączna wartość monet to 90 zł} \end{cases} \]Krok 1. Wyznaczamy \(x\) z pierwszego równania:
\[ x = 30 - y \]Krok 2. Podstawiamy wyrażenie do drugiego równania:
\[ \begin{aligned} 2x + 5y &= 90 \\ 2(30 - y) + 5y &= 90 &&\quad \text{podstawiamy za } x \\ 60 - 2y + 5y &= 90 &&\quad \text{rozwijamy nawias} \\ 60 + 3y &= 90 &&\quad |-60 \\ 3y &= 30 &&\quad |:3 \\ y &= 10 \end{aligned} \]Krok 3. Obliczamy \(x\):
\[ x = 30 - y = 30 - 10 = 20 \]Zadanie tekstowe o ruchu
Dwie miejscowości A i B dzieli 90 km. Rowerzysta wyruszył z miejscowości A do B z pewną prędkością. W tym samym czasie z miejscowości B wyruszył jego kolega jadący w stronę A, z prędkością o 6 km/h większą. Spotkali się po 2 godzinach. Oblicz prędkość każdego z nich.
Oznaczmy:
\[ x \quad \text{— prędkość pierwszego rowerzysty [km/h]} \] \[ x + 6 \quad \text{— prędkość drugiego rowerzysty [km/h]} \]Ponieważ spotkali się po 2 godzinach, mnożymy prędkość każdego rowerzysty przez czas.
\[ \text{droga pierwszego rowerzysty: } 2x \] \[ \text{droga drugiego rowerzysty: } 2(x + 6) \]Suma ich dróg daje odległość między miejscowościami:
\[ 2x + 2(x + 6) = 90 \]Rozwiązujemy równanie:
\[ \begin{aligned} 2x + 2(x + 6) &= 90 \\ 2x + 2x + 12 &= 90 &&\quad \text{rozwijamy nawias} \\ 4x + 12 &= 90 &&\quad |-12 \\ 4x &= 78 &&\quad |:4 \\ x &= 19{,}5 \end{aligned} \]Obliczamy prędkość drugiego rowerzysty:
\[ x + 6 = 19{,}5 + 6 = 25{,}5 \]Najczęstsze błędy w zadaniach tekstowych
W zadaniach tekstowych błąd często pojawia się nie w obliczeniach, tylko na etapie układania równania.
Warto dopisywać, czy \(x\) oznacza złote, godziny, kilometry, sztuki czy prędkość.
„O 6 więcej” oznacza \(x+6\), a „6 razy więcej” oznacza \(6x\).
Jeżeli normalny jest o 8 zł droższy od ulgowego, to normalny ma cenę \(x+8\), a nie \(x-8\).
Po obliczeniu wyniku warto sprawdzić, czy spełnia wszystkie warunki z treści zadania.
W zadaniach o ruchu i pracy czas zwykle trzeba przemnożyć przez prędkość albo wydajność.
Na końcu zapisz pełną odpowiedź, aby było jasne, czego dotyczy wynik.
Pomocnik wyboru równania
Wybierz typ zadania, a zobaczysz, od jakiej zależności zwykle warto zacząć. To nie jest gotowy solver, tylko pomoc w rozpoznawaniu schematu.