M
Matematyka Krok po Kroku Równania i nierówności
📘 Lekcja — równania liniowe

Równania liniowe

W tej lekcji nauczysz się, czym jest równanie, jak rozpoznać jego rodzaj oraz jak krok po kroku przekształcać równania liniowe tak, aby wyznaczyć niewiadomą.

Cel równania Chcemy znaleźć taką wartość niewiadomej, która spełnia równość.
3 rodzaje równań Oznaczone, sprzeczne oraz tożsamościowe.
Zasada równowagi To, co robimy po jednej stronie, robimy również po drugiej.
Definicja

Czym jest równanie?

Równanie to zapis przedstawiający dwa wyrażenia algebraiczne, które są sobie równe. W równaniu najczęściej pojawia się niewiadoma, zwykle oznaczana literą \(x\).

Najprostszy zapis równania
\[ \text{Lewa strona }(L)=\text{Prawa strona }(P) \]

Rozwiązanie równania polega na znalezieniu takiej wartości niewiadomej, dla której lewa strona równania ma taką samą wartość jak prawa strona.

Ważna intuicja

Równanie można potraktować jak wagę. Jeżeli do jednej szalki coś dodamy, to aby zachować równowagę, musimy zrobić to samo z drugiej strony.

Klasyfikacja

Rodzaje równań

Po rozwiązaniu równania możemy otrzymać jedno rozwiązanie, brak rozwiązań albo równanie prawdziwe dla każdej liczby rzeczywistej.

Równanie oznaczone Ma dokładnie jedno rozwiązanie. \[ x+5=12 \] \[ x=7 \]
Równanie sprzeczne Nie ma żadnego rozwiązania. \[ x+2=x+5 \] \[ 2=5 \]
Równanie tożsamościowe Jest prawdziwe dla każdej liczby rzeczywistej. \[ x+2=x+2 \] \[ 0=0 \]
Jak to rozpoznać?

Jeżeli na końcu otrzymasz \(x=\text{liczba}\), równanie jest oznaczone. Jeżeli otrzymasz fałsz, na przykład \(0=3\), równanie jest sprzeczne. Jeżeli otrzymasz prawdę, na przykład \(0=0\), równanie jest tożsamościowe.

Przekształcenia

Operacje równoważne

Rozwiązując równania, wykonujemy takie operacje, które nie zmieniają zbioru rozwiązań.

Możemy wykonywać
  • dodawanie tej samej liczby po obu stronach,
  • odejmowanie tej samej liczby po obu stronach,
  • mnożenie obu stron przez tę samą liczbę różną od zera,
  • dzielenie obu stron przez tę samą liczbę różną od zera,
  • upraszczanie wyrażeń algebraicznych.
Najczęściej robimy to po to, aby
  • usunąć nawiasy,
  • przenieść wyrazy z \(x\) na jedną stronę,
  • przenieść liczby na drugą stronę,
  • podzielić przez współczynnik stojący przy \(x\),
  • otrzymać wynik w postaci \(x=\ldots\).
Uwaga na dzielenie

Nie wolno dzielić obu stron równania przez wyrażenie, o którym nie wiemy, czy jest różne od zera. Dlatego przy równaniach z mianownikiem trzeba pilnować dziedziny.

Schemat

Jak rozwiązywać równania liniowe?

W większości prostych równań liniowych wystarczy trzymać się kilku powtarzalnych kroków.

1
Uprość obie strony równania.

Jeżeli są nawiasy, wymnóż je. Jeżeli są wyrazy podobne, zredukuj je.

2
Przenieś wyrazy z niewiadomą na jedną stronę.

Najczęściej zostawiamy \(x\) po lewej stronie, ale nie jest to obowiązkowe.

3
Przenieś liczby na drugą stronę.

Pamiętaj, że przy przenoszeniu wyrazu na drugą stronę zmienia się jego znak.

4
Podziel przez liczbę stojącą przy \(x\).

Na końcu chcemy otrzymać postać \(x=\text{liczba}\).

5
Sprawdź wynik.

Podstaw otrzymaną wartość do równania i sprawdź, czy lewa strona jest równa prawej.

Postać ogólna

Równanie liniowe w postaci \(ax+b=cx+d\)

Wiele równań liniowych można sprowadzić do postaci, w której po obu stronach mamy wyrażenia pierwszego stopnia.

Ogólny schemat przekształcenia
\[ \begin{aligned} ax+b &= cx+d \\ ax-cx &= d-b \\ (a-c)x &= d-b \end{aligned} \]
Jedno rozwiązanie Gdy \(a-c \neq 0\), dzielimy przez \(a-c\). \[ x=\frac{d-b}{a-c} \]
Brak rozwiązań Gdy po uproszczeniu otrzymamy fałsz. \[ 0=5 \]
Nieskończenie wiele rozwiązań Gdy po uproszczeniu otrzymamy prawdę. \[ 0=0 \]
Przykłady

Rozwiązywanie równań krok po kroku

W przykładach zapisujemy obok równania operację, którą wykonujemy obustronnie.

Przykład 1 — proste równanie
jedno działanie

Rozwiąż równanie \(x+5=12\).

\[ \begin{aligned} x+5 &= 12 \quad{} | -5 \ \text{(odejmujemy obustronnie 5)} \\ x &= 7 \end{aligned} \]
Sprawdzenie
\[ 7+5=12 \]

Lewa strona jest równa prawej, więc wynik jest poprawny.

Przykład 2 — równanie z mnożeniem przez liczbę
dwa kroki

Rozwiąż równanie \(2x-3=7\).

\[ \begin{aligned} 2x-3 &= 7 \quad{} | +3 \ \text{(dodajemy obustronnie 3)} \\ 2x &= 10 \quad{} | :2 \ \text{(dzielimy obustronnie przez 2)} \\ x &= 5 \end{aligned} \]
Przykład 3 — równanie z nawiasem
usuwanie nawiasu

Rozwiąż równanie \(3(x-2)=9\).

\[ \begin{aligned} 3(x-2) &= 9 \quad{} | \ \text{(mnożymy nawias)} \\ 3x-6 &= 9 \quad{} | +6 \ \text{(dodajemy obustronnie 6)} \\ 3x &= 15 \quad{} | :3 \ \text{(dzielimy obustronnie przez 3)} \\ x &= 5 \end{aligned} \]
Przykład 4 — równanie z ułamkiem
współczynnik ułamkowy

Rozwiąż równanie \(\frac{1}{2}x+4=6\).

\[ \begin{aligned} \frac{1}{2}x+4 &= 6 \quad{} | -4 \ \text{(odejmujemy obustronnie 4)} \\ \frac{1}{2}x &= 2 \quad{} | \cdot 2 \ \text{(mnożymy obustronnie przez 2)} \\ x &= 4 \end{aligned} \]
Przykład 5 — niewiadoma po obu stronach
przenoszenie wyrazów

Rozwiąż równanie \(4x+2=2x+10\).

\[ \begin{aligned} 4x+2 &= 2x+10 \quad{} | -2x \ \text{(odejmujemy \(2x\) obustronnie)} \\ 2x+2 &= 10 \quad{} | -2 \ \text{(odejmujemy 2 obustronnie)} \\ 2x &= 8 \quad{} | :2 \ \text{(dzielimy obustronnie przez 2)} \\ x &= 4 \end{aligned} \]
Przykład 6 — nawiasy po obu stronach
pełne przekształcenie

Rozwiąż równanie \(5(x-1)=3(x+2)\).

\[ \begin{aligned} 5(x-1) &= 3(x+2) \quad{} | \ \text{(mnożymy nawiasy)} \\ 5x-5 &= 3x+6 \quad{} | -3x \ \text{(odejmujemy \(3x\) obustronnie)} \\ 2x-5 &= 6 \quad{} | +5 \ \text{(dodajemy 5 obustronnie)} \\ 2x &= 11 \quad{} | :2 \ \text{(dzielimy obustronnie przez 2)} \\ x &= \frac{11}{2} \end{aligned} \]
Przykład 7 — równanie z mianownikiem
dziedzina

Rozwiąż równanie \(\frac{1}{x}+2=\frac{3}{x}\).

Najpierw dziedzina

W mianowniku znajduje się \(x\), więc musimy założyć:

\[ x \neq 0 \]
\[ \begin{aligned} \frac{1}{x}+2 &= \frac{3}{x} \quad{} | \cdot x \ \text{(mnożymy obustronnie przez \(x\))} \\ 1+2x &= 3 \\ 2x &= 2 \quad{} | :2 \\ x &= 1 \end{aligned} \]

Otrzymane rozwiązanie \(x=1\) należy do dziedziny, więc jest poprawne.

Kalkulator

Kalkulator równania \(ax+b=cx+d\)

Wpisz współczynniki równania liniowego, a kalkulator pokaże wynik oraz rodzaj równania.

Postać równania
\[ ax+b=cx+d \]
Podsumowanie

Co trzeba zapamiętać?

Równania liniowe są jednym z najważniejszych tematów, bo pojawiają się później w funkcjach, geometrii, układach równań i zadaniach tekstowych.

1. Równanie to równość Porównujemy lewą stronę z prawą stroną.
2. Działamy obustronnie Każdą operację wykonujemy po obu stronach równania.
3. Szukamy \(x\) Na końcu chcemy otrzymać postać \(x=\ldots\), chyba że równanie jest sprzeczne lub tożsamościowe.
Typowe błędy
  • zmiana znaku tylko po jednej stronie równania,
  • zapomnienie o wymnożeniu całego nawiasu,
  • dzielenie przez liczbę stojącą przy \(x\), ale tylko jednej strony,
  • pominięcie dziedziny w równaniach z mianownikiem,
  • uznanie równania \(0=0\) za brak rozwiązania, mimo że oznacza ono równanie tożsamościowe.