← Wróć do liczby rzeczywistych

Ułamki

W tej lekcji omówimy, czym jest ułamek, jak dodawać, odejmować, mnożyć i dzielić ułamki oraz jak zamieniać ułamki dziesiętne i okresowe na zwykłe.

Czym jest ułamek?

W zapisie ułamkowym wyróżniamy trzy rzeczy: licznik, mianownik oraz kreskę ułamkową.

(a) Licznik górna część ułamka
a b
(b) Mianownik dolna część ułamka
Ważną rzeczą jest tutaj fakt, że w mianowniku nie możemy mieć zera, ponieważ nie można dzielić przez 0.
\(a\in\mathbb{Z}\) oraz \(b\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}\)
? ℤ oznacza zbiór liczb całkowitych, na przykład -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3. Ponieważ liczba b znajduje się w mianowniku, nie może być równa zeru. Dlatego wyłączamy 0 ze zbioru dozwolonych wartości b.
Przykład — kilka często występujących ułamków
  • 0,5 = \(\frac{1}{2}\)
  • 0,125 = \(\frac{1}{8}\)
  • 0,(3) = 0,33333... = \(\frac{1}{3}\)

Dodawanie i odejmowanie ułamków

Samo dodawanie ułamków jest bardzo schematyczne, ale musimy pamiętać o jednej bardzo ważnej zasadzie.

Ułamki możemy dodać lub odjąć wtedy, gdy mają te same mianowniki.
Przykład — dodawanie ułamków o tych samych mianownikach
\(\frac{3}{5}\) + \(\frac{11}{5}\) = \(\frac{3 + 11}{5}\) = \(\frac{14}{5}\)
\(\frac{3}{2}\) + \(\frac{5}{2}\) = \(\frac{3 + 5}{2}\) = \(\frac{8}{2}\) = 4

Dodając ułamki o tym samym mianowniku, dodajemy liczniki, a mianownik pozostaje bez zmian.

Co zrobić, gdy mianowniki są różne?

Jednak takie zadania szybko nam się skończą i będziemy musieli dodać ułamki, które mają różne mianowniki. Wtedy musimy sprowadzić je do wspólnego mianownika.

Dodaj \(\frac{11}{3}\) oraz \(\frac{33}{4}\).

Najłatwiejszą metodą jest pomnożenie jednego mianownika przez drugi. U nas:

3 · 4 = 12

Otrzymujemy więc wspólny mianownik 12. Nazywam tę metodę siłową, ponieważ sprawdzi się w każdym przypadku, ale czasami nie jest najbardziej efektywna.

Rozszerzamy pierwszy ułamek:

\(\frac{11}{3}\) · \(\frac{4}{4}\) = \(\frac{11 \cdot 4}{3 \cdot 4}\) = \(\frac{44}{12}\)

Jak widać, rozszerzenie ułamka polega na przemnożeniu licznika i mianownika przez tę samą liczbę. Ponieważ \(\frac{4}{4}\) = 1, to nie zmieniamy wartości ułamka.

To samo robimy z drugim ułamkiem:

\(\frac{33}{4}\) · \(\frac{3}{3}\) = \(\frac{33 \cdot 3}{4 \cdot 3}\) = \(\frac{99}{12}\)

Mając już ułamki o tych samych mianownikach, dodajemy liczniki, a mianownik zostawiamy bez zmian.

\(\frac{44}{12}\) + \(\frac{99}{12}\) = \(\frac{44 + 99}{12}\) = \(\frac{143}{12}\)

Dodawanie ułamków z liczbą całkowitą

Załóżmy, że chcemy dodać \(\frac{4}{3}\) i 5. Zrobimy to w dwóch krokach.

  1. Sprowadzamy liczbę całkowitą do postaci ułamka.
  2. Sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika.
  3. Dodajemy liczniki, a mianownik zostawiamy bez zmian.

Liczbę całkowitą zapisujemy jako ułamek o mianowniku 1:

5 = \(\frac{5}{1}\)

Chcemy mieć mianownik 3, dlatego rozszerzamy ułamek przez \(\frac{3}{3}\).

5 = \(\frac{5}{1}\) = \(\frac{5}{1}\) · \(\frac{3}{3}\) = \(\frac{15}{3}\)

Teraz możemy dodać ułamki:

\(\frac{4}{3}\) + \(\frac{15}{3}\) = \(\frac{19}{3}\)
Przy odejmowaniu postępujemy dokładnie tak samo. Najpierw sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika, a następnie odejmujemy liczniki.

Mnożenie ułamków

Mnożąc ułamki, nie musimy sprowadzać ich do wspólnego mianownika. Mnożymy osobno liczniki i osobno mianowniki.

\(\frac{a}{b}\) · \(\frac{c}{d}\) = \(\frac{a \cdot c}{b \cdot d}\)
Przykład — wykonaj mnożenie
\(\frac{1}{3}\) · \(\frac{4}{2}\) = \(\frac{1 \cdot 4}{3 \cdot 2}\) = \(\frac{4}{6}\) = \(\frac{2}{3}\)
\(\frac{4}{3}\) · \(\frac{7}{9}\) = \(\frac{28}{27}\) = 1 \(\frac{1}{27}\)
\(\frac{2}{8}\) · \(\frac{2}{7}\) = \(\frac{4}{56}\)

W pierwszym przykładzie skróciliśmy ułamek, ponieważ licznik i mianownik były liczbami parzystymi, więc mogliśmy podzielić je przez 2.

Dzielenie ułamków

Aby podzielić dwa ułamki, korzystamy z zasady, że dzielenie przez ułamek oznacza mnożenie przez jego odwrotność.

Odwrotność ułamka otrzymujemy przez zamianę licznika z mianownikiem.
\(\frac{a}{b}\) : \(\frac{c}{d}\) = \(\frac{a}{b}\) · \(\frac{d}{c}\)
Przykład — wykonaj dzielenie
\(\frac{8}{11}\) : \(\frac{3}{10}\) = \(\frac{8}{11}\) · \(\frac{10}{3}\) = \(\frac{80}{33}\)
\(\frac{3}{8}\) : \(\frac{2}{9}\) = \(\frac{3}{8}\) · \(\frac{9}{2}\) = \(\frac{27}{16}\)
\(\frac{6}{4}\) : \(\frac{2}{6}\) = \(\frac{6}{4}\) · \(\frac{6}{2}\) = \(\frac{36}{8}\) = \(\frac{18}{4}\) = \(\frac{9}{2}\) = 4,5

Ułamki dziesiętne

Powiemy, że liczba jest ułamkiem dziesiętnym, jeżeli występuje w niej przecinek.

Przykład — ułamki dziesiętne
  • 0,2 = \(\frac{2}{10}\)
  • 3,5 = \(\frac{35}{10}\) = 3 \(\frac{5}{10}\)
  • 3,48 = \(\frac{348}{100}\) = 3 \(\frac{48}{100}\)
  • 4,736 = \(\frac{4736}{1000}\) = 4 \(\frac{736}{1000}\)
Jeżeli mamy jedną cyfrę po przecinku, to w mianowniku jest 10. Jeżeli mamy dwie cyfry po przecinku, to w mianowniku jest 100. Jeżeli trzy cyfry, to 1000 i tak dalej.

Zamiana liczby okresowej na ułamek

W matematyce występują również liczby nieskończone okresowe, czyli takie, w których pewien fragment cyfr powtarza się bez końca.

Przykłady liczb okresowych
  • 0,333333... = 0,(3)
  • 0,142857142857... = 0,(142857)
  • 1,252525... = 1,(25)
  • 0,0909... = 0,(09)
  • 0,123333... = 0,12(3)

Chcąc zamienić liczbę okresową na ułamek, możemy użyć prostego równania algebraicznego.

  1. Określamy okres liczby, czyli powtarzający się fragment.
  2. Zapisujemy daną liczbę jako zmienną, na przykład x.
  3. Mnożymy x przez odpowiednią potęgę 10, aby okres zaczynał się zaraz po przecinku.
  4. Mnożymy x przez odpowiednią potęgę 10, aby cały okres znalazł się przed przecinkiem.
  5. Odejmujemy pierwsze równanie od drugiego.
  6. Rozwiązujemy równanie.
  7. Sprawdzamy wynik.
Przykład — zapisz 0,333333... w postaci ułamka

Okres naszej liczby to 3, czyli jedna powtarzająca się cyfra.

x = 0,333333...

Okres zaczyna się od razu po przecinku, więc od razu mnożymy równanie przez 10.

10x = 3,333333...

Teraz odejmujemy równania:

10x
= 3,333333...
x
= 0,333333...
9x
= 3

Zauważmy, że po takim odejmowaniu część okresowa znika.

Rozwiązujemy równanie:

9x = 3
x = \(\frac{3}{9}\)
x = \(\frac{1}{3}\)

Sprawdzamy: \(\frac{1}{3}\) = 0,333333...

Przykład — zapisz 0,123333... w postaci ułamka

Mamy liczbę 0,123333..., czyli okres zaczyna się dopiero od cyfry 3.

x = 0,123333...

Najpierw mnożymy przez 100, żeby okres zaczynał się zaraz po przecinku:

100x = 12,333333...

Następnie mnożymy przez 1000, żeby cały okres znalazł się przed przecinkiem:

1000x = 123,333333...

Odejmujemy równania:

1000x
= 123,333333...
100x
= 12,333333...
900x
= 111

Rozwiązujemy równanie:

900x = 111
x = \(\frac{111}{900}\)
x = \(\frac{37}{300}\)

Sprawdzamy: \(\frac{37}{300}\) = 0,123333...

Podsumowanie

  • Ułamek składa się z licznika, mianownika i kreski ułamkowej.
  • Mianownik nigdy nie może być równy 0.
  • Dodajemy i odejmujemy ułamki dopiero wtedy, gdy mają wspólny mianownik.
  • Mnożąc ułamki, mnożymy licznik przez licznik i mianownik przez mianownik.
  • Dzieląc ułamki, mnożymy przez odwrotność drugiego ułamka.
  • Ułamki dziesiętne można zapisywać jako ułamki zwykłe.
  • Liczby okresowe można zamieniać na ułamki za pomocą równania.
← Wróć do liczb rzeczywistych Sprawdź wiedzę →