← Wróć do liczb rzeczywistych

Potęgi

W tej lekcji zobaczysz, czym jest potęgowanie, jak działają nawiasy przy potęgach, jak korzystać ze wzorów oraz jak rozwiązywać podstawowe zadania z potęgami.

\(a^{n}\) = a · a · a · ... · a

Potęgowanie jest skróconym zapisem mnożenia tej samej liczby przez samą siebie.

Czym jest potęga?

Potęgowanie to sposób skróconego zapisu mnożenia danej liczby przez samą siebie określoną liczbę razy.

\(a^{n}\) = a · a · a · ... · a
Liczba a to podstawa potęgi, a liczba n to wykładnik potęgi. Wykładnik mówi nam, ile razy mnożymy podstawę przez samą siebie.
Przykład — zapis potęgi jako mnożenia
  1. \(4^{3}\) = 4 · 4 · 4 = 64
  2. \(2^{6}\) = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 64
  3. \(x^{4}\) = x · x · x · x
  4. \((2x)^{2}\) = (2x) · (2x) = \(4x^{2}\)
  5. \((3x - 5)^{3}\) = (3x - 5) · (3x - 5) · (3x - 5)
  6. \((-2)^{3}\) = (-2) · (-2) · (-2) = -8
  7. \((-2)^{2}\) = (-2) · (-2) = 4
  8. \(-2^{2}\) = -(\(2^{2}\)) = -4
Uwaga na nawiasy. Przykłady \((-2)^{2}\) = 4 oraz \(-2^{2}\) = -4 pokazują, że nawiasy w potęgowaniu mają ogromne znaczenie.

Potęga zerowa, parzysta i nieparzysta

W matematyce warto rozróżniać kilka rodzajów potęg, ponieważ dzięki temu łatwiej przewidzieć znak wyniku.

0

Potęga zerowa

Każda liczba różna od zera podniesiona do potęgi zerowej daje 1.

\(a^{0}\) = 1, dla a ≠ 0
P

Potęga parzysta

Ujemna liczba podniesiona do potęgi parzystej daje wynik dodatni.

\((-2)^{4}\) = 16
N

Potęga nieparzysta

Ujemna liczba podniesiona do potęgi nieparzystej daje wynik ujemny.

\((-2)^{3}\) = -8
Ważna obserwacja: jeżeli podstawa potęgi jest ujemna, to wykładnik decyduje o znaku wyniku. Przy potędze parzystej wynik będzie dodatni, a przy potędze nieparzystej wynik będzie ujemny.

Ten fakt jest ważny również przy pierwiastkach. Nie istnieje pierwiastek stopnia parzystego z liczby ujemnej w zbiorze liczb rzeczywistych, ale istnieje pierwiastek stopnia nieparzystego z liczby ujemnej.

3 \(\sqrt{-8}\) = -2

Wzory na potęgi

Aby sprawnie rozwiązywać zadania z potęgami, trzeba znać kilka podstawowych wzorów.

\(a^{1}\) = a potęga pierwsza
\(a^{0}\) = 1 dla a ≠ 0
\(a^{n}\) · \(a^{m}\) = \(a^{n + m}\) mnożenie potęg o tej samej podstawie
\(a^{n}\) : \(a^{m}\) = \(a^{n - m}\) dzielenie potęg o tej samej podstawie
\[(a^n)^m=a^{n\cdot m}\] potęga potęgi
\(a^{n}\) · \(b^{n}\) = \((a · b)^{n}\) wspólny wykładnik
\(\frac{a^n}{b^n}=\left(\frac{a}{b}\right)^n\) dla b ≠ 0
\(a^{-n}\) = \(\frac{1}{a^{n}}\) dla a ≠ 0
\(\left(\frac{a}{b}\right)^{-n}=\left(\frac{b}{a}\right)^n\) dla a ≠ 0 i b ≠ 0
\(a^{\frac{n}{m}}=\sqrt[m]{a^n}\) dla a > 0

Przykłady zastosowania wzorów

Przykład — potęga ilorazu
  1. \(\frac{9^2}{3^2}=\left(\frac{9}{3}\right)^2=3^2=9\)
  2. \(\frac{16^3}{4^3}=\left(\frac{16}{4}\right)^3=4^3=64\)
  3. \(\frac{25^2}{5^2}=\left(\frac{25}{5}\right)^2=5^2=25\)
Przykład — ujemna potęga ułamka
  1. \(\left(\frac{2}{3}\right)^{-2}=\left(\frac{3}{2}\right)^2=\frac94\)
  2. \(\left(\frac54\right)^{-3}=\left(\frac45\right)^3=\frac{64}{125}\)
  3. \(\left(\frac12\right)^{-4}=\left(\frac21\right)^4=16\)
Przykład — potęga wymierna
  1. \(4^{\frac32}=\sqrt{4^3}=\sqrt{64}=8\)
  2. \(9^{\frac12}=\sqrt9=3\)
  3. \(8^{\frac23}=\sqrt[3]{8^2}=\sqrt[3]{64}=4\)

Podsumowanie

Najważniejsze informacje z tej lekcji:

  • Potęgowanie to skrócony zapis mnożenia tej samej liczby przez samą siebie.
  • Nawiasy przy potęgach mają znaczenie: \((-2)^{2}\) ≠ \(-2^{2}\).
  • Potęga parzysta liczby ujemnej daje wynik dodatni.
  • Potęga nieparzysta liczby ujemnej daje wynik ujemny.
  • Przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie dodajemy wykładniki.
  • Przy dzieleniu potęg o tej samej podstawie odejmujemy wykładniki.
  • Przy potędze potęgi mnożymy wykładniki.