Wysokości trójkąta i ortocentrum
Wysokość to odcinek poprowadzony z wierzchołka trójkąta prostopadle do przeciwległego boku albo do prostej zawierającej ten bok.
Wysokość trójkąta to odcinek łączący wierzchołek trójkąta z prostą zawierającą przeciwległy bok, poprowadzony pod kątem prostym.
Każdy trójkąt ma trzy wysokości. Proste zawierające te wysokości przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt nazywamy ortocentrum i zwykle oznaczamy literą \(H\).
W trójkącie ostrokątnym wszystkie wysokości leżą wewnątrz trójkąta. W trójkącie prostokątnym dwie wysokości pokrywają się z przyprostokątnymi. W trójkącie rozwartokątnym część wysokości wypada poza trójkąt, dlatego przedłuża się odpowiednie boki.
Trójkąt ostrokątny
Ortocentrum leży wewnątrz trójkąta.
Trójkąt prostokątny
Ortocentrum leży w wierzchołku kąta prostego.
Trójkąt rozwartokątny
Ortocentrum leży na zewnątrz trójkąta.
Mamy trójkąt prostokątny \(ABC\), w którym \(\angle C = 90^\circ\). Gdzie znajduje się ortocentrum?
Środkowe trójkąta i środek ciężkości
Środkowa łączy wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku. Trzy środkowe przecinają się w jednym punkcie zwanym środkiem ciężkości.
Środkowa trójkąta to odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku. Punkt przecięcia trzech środkowych to środek ciężkości, oznaczany często literą \(S\) albo \(G\).
Środek ciężkości dzieli każdą środkową w stosunku \(2:1\), licząc od wierzchołka.
Jeżeli punkt \(S\) leży na środkowej poprowadzonej z wierzchołka \(A\) do środka boku \(BC\), to odcinek od wierzchołka do środka ciężkości jest dwa razy dłuższy niż odcinek od środka ciężkości do środka boku:
\[ AS:SD = 2:1 \]Środkowa trójkąta ma długość \(18\). Środek ciężkości dzieli ją w stosunku \(2:1\), licząc od wierzchołka. Oblicz długości obu części.
Odpowiedź: środkowa została podzielona na odcinki długości \(12\) i \(6\).
Jeżeli wierzchołki trójkąta mają współrzędne \(A=(x_A,y_A)\), \(B=(x_B,y_B)\), \(C=(x_C,y_C)\), to środek ciężkości ma współrzędne:
\[ S=\left(\frac{x_A+x_B+x_C}{3},\frac{y_A+y_B+y_C}{3}\right) \]Dwusieczne i środek okręgu wpisanego
Dwusieczna kąta dzieli kąt na dwa kąty o równych miarach. Dwusieczne kątów trójkąta przecinają się w środku okręgu wpisanego w trójkąt.
Dwusieczna kąta to półprosta, która dzieli kąt na dwa kąty równej miary. W trójkącie trzy dwusieczne kątów przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt.
Okrąg wpisany w trójkąt jest styczny do wszystkich trzech boków trójkąta. Jego środek leży w takiej samej odległości od każdego boku. Ta odległość jest promieniem okręgu wpisanego.
Środek okręgu wpisanego
Leży na przecięciu dwusiecznych kątów trójkąta.
Odległości od boków
Odległości środka okręgu wpisanego od wszystkich boków są równe.
Jeżeli \(r\) oznacza promień okręgu wpisanego, a \(p\) połowę obwodu trójkąta, to pole trójkąta można zapisać jako:
\[ P = p\cdot r \]gdzie
\[ p=\frac{a+b+c}{2} \]Boki trójkąta mają długości \(6\), \(8\), \(10\), a promień okręgu wpisanego ma długość \(2\). Oblicz pole trójkąta.
Odpowiedź: pole trójkąta wynosi \(24\).
Symetralne boków i środek okręgu opisanego
Symetralna odcinka jest prostopadła do odcinka i przechodzi przez jego środek. Symetralne boków trójkąta przecinają się w środku okręgu opisanego na trójkącie.
Symetralna boku to prosta prostopadła do danego boku i przechodząca przez jego środek. Trzy symetralne boków trójkąta przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie.
Okrąg opisany na trójkącie przechodzi przez wszystkie trzy wierzchołki trójkąta. Jego środek jest tak samo oddalony od każdego wierzchołka.
Trójkąt ostrokątny
Środek okręgu opisanego leży wewnątrz trójkąta.
Trójkąt prostokątny
Środek okręgu opisanego leży w środku przeciwprostokątnej.
Trójkąt rozwartokątny
Środek okręgu opisanego leży na zewnątrz trójkąta.
W trójkącie prostokątnym środek okręgu opisanego leży w środku przeciwprostokątnej. Dlatego promień okręgu opisanego jest równy połowie przeciwprostokątnej:
\[ R=\frac{c}{2} \]gdzie \(c\) oznacza długość przeciwprostokątnej.
Trójkąt prostokątny ma przeciwprostokątną długości \(14\). Oblicz promień okręgu opisanego na tym trójkącie.
Odpowiedź: promień okręgu opisanego wynosi \(7\).
Jak nie pomylić punktów szczególnych?
Najczęstszy problem polega na myleniu dwusiecznych z symetralnymi albo środka okręgu wpisanego ze środkiem okręgu opisanego. Poniższa tabela porządkuje cały temat.
| Konstrukcja | Co robimy? | Punkt przecięcia | Najważniejsza własność |
|---|---|---|---|
| Wysokości | Prowadzimy prostopadłe z wierzchołków do przeciwległych boków. | Ortocentrum \(H\) | Położenie zależy od rodzaju trójkąta: wewnątrz, w wierzchołku albo na zewnątrz. |
| Środkowe | Łączymy wierzchołki ze środkami przeciwległych boków. | Środek ciężkości \(S\) | Dzieli każdą środkową w stosunku \(2:1\). |
| Dwusieczne | Dzielimy kąty trójkąta na połowy. | Środek okręgu wpisanego \(I\) | Jest jednakowo odległy od wszystkich boków. |
| Symetralne | Prowadzimy proste przez środki boków prostopadle do tych boków. | Środek okręgu opisanego \(O\) | Jest jednakowo odległy od wszystkich wierzchołków. |
Dwusieczna dotyczy kąta, a symetralna dotyczy boku. Dwusieczne prowadzą do okręgu wpisanego, a symetralne do okręgu opisanego.
Kalkulator środka ciężkości
Wpisz współrzędne wierzchołków trójkąta, a kalkulator obliczy współrzędne środka ciężkości.
Co trzeba zapamiętać?
Punkty szczególne w trójkącie są obowiązkowym elementem planimetrii, bo łączą własności prostych, odcinków, kątów i okręgów.