Matematyka Krok po Kroku← Planimetria
Planimetria

Podobieństwo i twierdzenie Talesa

Figury podobne mają ten sam kształt, ale mogą mieć różne rozmiary — jak zdjęcie i jego powiększenie. Nauczysz się dobierać odpowiadające sobie boki, układać proporcje i korzystać z twierdzenia Talesa.

1. Podobieństwo figur

Figury są podobne, gdy mają taki sam kształt: odpowiadające sobie kąty są równe, a długości odpowiadających boków pozostają w stałym stosunku.

\[k=\frac{a'}a=\frac{b'}b=\frac{c'}c.\]

Liczba \(k>0\) jest skalą podobieństwa. Dla \(k>1\) figura jest powiększona, a dla \(0

2. Cechy podobieństwa trójkątów

CechaCo sprawdzamy?
kąt–kątDwie pary równych kątów.
bok–kąt–bokProporcjonalne boki i równy kąt między nimi.
bok–bok–bokWszystkie trzy pary boków są proporcjonalne.

Po ustaleniu podobieństwa koniecznie zapisz kolejność odpowiadających wierzchołków.

3. Twierdzenie Talesa

Jeżeli proste równoległe przecinają ramiona kąta, wyznaczają na nich odcinki proporcjonalne. W trójkącie \(ABC\), gdy \(DE\parallel BC\):

\[\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC},\qquad \frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}.\]

4. Tales — przykład krok po kroku

Równoległa przecina ramiona kąta na odcinki \(3\), \(2\) oraz \(x\), \(4\). Odcinki leżą w tej samej kolejności, więc:

\[\frac32=\frac{x}{4},\qquad 12=2x,\qquad x=6.\]
Zaznacz na rysunku odpowiadające odcinki tym samym kolorem — ogranicza to błędy w proporcji.

5. Obwody i pola figur podobnych

Przy skali długości \(k\), obwody zmieniają się \(k\)-krotnie, a pola \(k^2\)-krotnie:

\[\frac{O'}O=k,\qquad \frac{P'}P=k^2.\]

Jeżeli pola podobnych figur pozostają w stosunku \(25:9\), skala długości wynosi \(5:3\).

6. Odwrotne twierdzenie Talesa

Jeśli punkty na dwóch ramionach kąta dzielą je w tej samej proporcji, odcinek łączący te punkty jest równoległy do odcinka łączącego końce ramion. Twierdzenie służy do udowadniania równoległości.

7. Skala map i modeli

Skala \(1:50\,000\) oznacza, że \(1\) cm na mapie odpowiada \(50\,000\) cm, czyli \(500\) m w terenie. Przed obliczeniem zawsze sprowadź długości do tej samej jednostki.

8. Pomiar wysokości z cienia

Kij długości \(1{,}5\) m rzuca cień \(2\) m, a drzewo cień \(12\) m. Promienie Słońca są równoległe, więc trójkąty są podobne:

\[\frac{h}{12}=\frac{1{,}5}{2},\qquad h=9\text{ m}.\]

9. Typowe błędy

  • Łączenie boków, które sobie nie odpowiadają.
  • Używanie skali \(k\) zamiast \(k^2\) dla pól.
  • Stosowanie twierdzenia Talesa bez równoległości.
  • Mieszanie jednostek długości.

10. Ćwiczenia

  1. Skala podobieństwa wynosi \(3\). Jak zmienia się pole?
  2. Boki podobnych trójkątów są w stosunku \(2:5\). Podaj stosunek obwodów i pól.
  3. Rozwiąż \(\frac{x}{6}=\frac43\).
  4. Na mapie w skali \(1:25\,000\) odległość wynosi \(8\) cm. Oblicz odległość rzeczywistą.
Odpowiedzi

\(9\) razy; \(2:5\) i \(4:25\); \(x=8\); \(2\) km.

11. Podsumowanie

Najpierw ustal odpowiadające elementy i zapisz podobieństwo w prawidłowej kolejności. Dopiero później układaj proporcję.