Definicja trójkąta
Trójkąt to jedna z najważniejszych figur w geometrii. W wielu zadaniach bardziej złożone figury rozbijamy właśnie na trójkąty, bo łatwo korzystać wtedy ze znanych własności boków, kątów i pól.
Trójkąt to figura płaska utworzona z trzech odcinków, które łączą trzy punkty nieleżące na jednej prostej.
Te trzy punkty nazywamy wierzchołkami, odcinki między nimi bokami, a kąty przy wierzchołkach kątami wewnętrznymi trójkąta.
Oznaczenia w trójkącie
Standardowo bok leżący naprzeciw wierzchołka \(A\) oznaczamy przez \(a\), naprzeciw \(B\) przez \(b\), a naprzeciw \(C\) przez \(c\).
Co składa się na trójkąt?
Warunek istnienia trójkąta
Nie z każdych trzech odcinków da się zbudować trójkąt. Najdłuższy bok musi być krótszy niż suma dwóch pozostałych boków.
Dla boków \(a\), \(b\), \(c\) trójkąt istnieje wtedy, gdy spełnione są trzy nierówności:
\[ a + b \gt c, \qquad a + c \gt b, \qquad b + c \gt a \]W praktyce wystarczy sprawdzić, czy suma dwóch krótszych boków jest większa od najdłuższego boku. Jeżeli tak, to trójkąt można zbudować.
Sprawdź, czy z odcinków długości \(4\), \(6\), \(9\) można zbudować trójkąt.
Jeżeli suma dwóch krótszych boków jest równa najdłuższemu bokowi, trójkąt nie powstaje. Odcinki ułożą się wtedy w jedną linię, a nie w figurę płaską.
Rodzaje trójkątów
Trójkąty możemy klasyfikować na dwa sposoby: ze względu na boki oraz ze względu na kąty. W zadaniach oba podziały często występują jednocześnie.
| Podział | Rodzaj trójkąta | Opis | Co warto zapamiętać? |
|---|---|---|---|
| Ze względu na boki | Równoboczny | Wszystkie boki są równe. | Wszystkie kąty mają po \(60^\circ\). |
| Równoramienny | Dwa boki są równe. | Kąty przy podstawie są równe. | |
| Różnoboczny | Wszystkie boki mają różne długości. | Najczęściej nie ma dodatkowych równości boków ani kątów. | |
| Ze względu na kąty | Ostrokątny | Wszystkie kąty są ostre. | Każdy kąt jest mniejszy niż \(90^\circ\). |
| Prostokątny | Jeden kąt jest prosty. | Bok naprzeciw kąta prostego to przeciwprostokątna. | |
| Rozwartokątny | Jeden kąt jest rozwarty. | Tylko jeden kąt może być większy niż \(90^\circ\). |
Trójkąt równoboczny
Wszystkie boki są równe i wszystkie kąty mają po \(60^\circ\).
Trójkąt równoramienny
Dwa ramiona są równe, a kąty przy podstawie mają takie same miary.
Trójkąt prostokątny
Ma jeden kąt prosty. Najdłuższy bok leży naprzeciw tego kąta.
Trójkąt rozwartokątny
Ma jeden kąt rozwarty. Pozostałe dwa kąty muszą być ostre.
W trójkącie równoramiennym kąt przy wierzchołku ma \(40^\circ\). Oblicz miary kątów przy podstawie.
Suma kątów w trójkącie
Jedna z najważniejszych własności trójkąta mówi, że suma jego kątów wewnętrznych zawsze wynosi \(180^\circ\).
Interpretacja graficzna
W trójkącie dwa kąty mają miary \(48^\circ\) i \(77^\circ\). Oblicz trzeci kąt.
Obwód i pole trójkąta
Obwód liczymy przez dodanie długości boków, a pole najczęściej z podstawy i wysokości opuszczonej na tę podstawę.
Obwód to suma długości wszystkich boków trójkąta.
W tym wzorze \(a\) oznacza podstawę, a \(h\) wysokość opuszczoną na tę podstawę.
Podstawa i wysokość
Oblicz pole trójkąta, którego podstawa ma długość \(12\), a wysokość opuszczona na tę podstawę ma długość \(7\).
Wysokość zawsze musi być opuszczona na tę podstawę, którą podstawiamy do wzoru. Jeżeli zmieniamy podstawę, to zwykle zmienia się też odpowiadająca jej wysokość.
Punkty szczególne w trójkącie
W trójkącie występują specjalne proste i punkty, które często pojawiają się w zadaniach geometrycznych. Na tym etapie warto znać ich nazwy i podstawową interpretację.
| Element | Co oznacza? | Co powstaje? |
|---|---|---|
| Wysokości | Proste przechodzące przez wierzchołek i prostopadłe do przeciwległego boku. | Przecinają się w ortocentrum. |
| Środkowe | Odcinki łączące wierzchołek ze środkiem przeciwległego boku. | Przecinają się w środku ciężkości. |
| Dwusieczne kątów | Proste dzielące kąty trójkąta na połowy. | Przecinają się w środku okręgu wpisanego. |
| Symetralne boków | Proste prostopadłe do boków i przechodzące przez ich środki. | Przecinają się w środku okręgu opisanego. |
Środkowa trójkąta
Środkowa łączy wierzchołek ze środkiem przeciwległego boku.
Wysokość trójkąta
Wysokość jest prostopadła do boku lub do jego przedłużenia.
Okrąg wpisany
Okrąg wpisany jest styczny do wszystkich boków trójkąta.
Okrąg opisany
Okrąg opisany przechodzi przez wszystkie wierzchołki trójkąta.
Środek okręgu wpisanego leży tam, gdzie spotykają się dwusieczne kątów, bo taki punkt ma równe odległości od boków. Środek okręgu opisanego leży tam, gdzie spotykają się symetralne boków, bo taki punkt ma równe odległości od wierzchołków.
Sprawdź, czy istnieje trójkąt
Wpisz trzy długości boków. Kalkulator sprawdzi warunek istnienia trójkąta i poda podstawową klasyfikację ze względu na boki.
Co trzeba zapamiętać?
Trójkąty są podstawowym narzędziem planimetrii. W kolejnych lekcjach będziemy korzystać z tych własności przy twierdzeniu Pitagorasa, podobieństwie, czworokątach i okręgach.