Sprawdź boki
Ile par boków jest równoległych? Czy wszystkie boki są równe? To zwykle pierwszy krok klasyfikacji.
Od czworokąta ogólnego do kwadratu
Czworokąty tworzą rodzinę figur. Każda dodatkowa własność — na przykład równoległość boków albo kąty proste — pozwala przejść do bardziej szczególnego rodzaju czworokąta.
Sprawdź kąty
Cztery kąty proste wskazują prostokąt. Równość kątów przy podstawie pomaga rozpoznać trapez równoramienny.
Sprawdź przekątne
Mogą być równe, prostopadłe, dzielić się na połowy lub dzielić kąty. Każda z tych informacji ma inne znaczenie.
\[\alpha+\beta+\gamma+\delta=360^\circ\]
Przyjęta definicja: na tej stronie trapez ma co najmniej jedną parę boków równoległych. W takim ujęciu każdy równoległobok jest również trapezem, ale w zadaniach najczęściej używa się jego dokładniejszej nazwy.
Równoległobok
Równoległobok ma dwie pary boków równoległych. Wiele zadań można rozwiązać, wykorzystując jego symetrię, równość boków i fakt, że przekątne przecinają się w swoich połowach.
- Przeciwległe boki są równoległe i mają równe długości.
- Przeciwległe kąty są równe.
- Kąty leżące przy jednym boku sumują się do \(180^\circ\).
- Przekątne dzielą się wzajemnie na połowy.
- Wysokość jest zawsze prostopadła do wybranej podstawy.
Przykład: pole i obwód
Podstawa ma długość \(9\), bok \(6\), a wysokość opuszczona na podstawę wynosi \(4\).
Pole: \(P=9\cdot4=36\).
Obwód: \(O=2\cdot9+2\cdot6=30\).
Odpowiedź: \(P=36\), \(O=30\).
Przykład: kąty
Jeden z kątów równoległoboku ma miarę \(68^\circ\). Oblicz pozostałe.
Kąt przeciwległy również ma \(68^\circ\).
Każdy sąsiedni kąt ma \(180^\circ-68^\circ=112^\circ\).
Kąty: \(68^\circ,112^\circ,68^\circ,112^\circ\).
Prostokąt i kwadrat
Prostokąt i kwadrat są równoległobokami, więc dziedziczą wszystkie jego własności. Mają jednak dodatkowe cechy, które pozwalają stosować twierdzenie Pitagorasa i rozpoznawać je po przekątnych.
Prostokąt
- Ma cztery kąty proste.
- Przeciwległe boki są równe.
- Przekątne są równe i dzielą się na połowy.
- Przekątna ma długość \(d=\sqrt{a^2+b^2}\).
Kwadrat
- Ma cztery równe boki i cztery kąty proste.
- Przekątne są równe i prostopadłe.
- Przekątne dzielą kąty kwadratu na połowy.
- Przekątna ma długość \(d=a\sqrt2\).
Prostokąt z przekątnej
Prostokąt ma bok \(8\) i przekątną \(10\). Oblicz drugi bok i pole.
Z twierdzenia Pitagorasa: \(b^2+8^2=10^2\).
\(b^2=36\), więc \(b=6\).
\(P=8\cdot6=48\).
Drugi bok ma długość \(6\), a pole wynosi \(48\).
Kwadrat z przekątnej
Przekątna kwadratu ma długość \(6\sqrt2\). Oblicz bok i pole.
\(a=\frac{d}{\sqrt2}=\frac{6\sqrt2}{\sqrt2}=6\).
\(P=a^2=6^2=36\).
Bok ma długość \(6\), a pole wynosi \(36\).
Romb — równoległobok o równych bokach
Romb nie musi mieć kątów prostych. Jego najważniejszym wyróżnikiem są cztery równe boki oraz prostopadłe przekątne, które dzielą się na połowy.
- Wszystkie cztery boki mają tę samą długość.
- Przeciwległe kąty są równe.
- Przekątne są prostopadłe i dzielą się na połowy.
- Każda przekątna dzieli dwa kąty rombu na połowy.
Romb — przykład krok po kroku
Przekątne rombu mają długości \(6\) i \(8\). Oblicz pole, bok i obwód.
Pole: \(P=\frac{6\cdot8}{2}=24\).
Połówki przekątnych mają długości \(3\) i \(4\).
Z twierdzenia Pitagorasa bok rombu ma długość \(a=\sqrt{3^2+4^2}=5\).
Obwód: \(O=4\cdot5=20\).
Odpowiedź: pole \(24\), bok \(5\), obwód \(20\).
Trapez
W trapezie podstawami nazywamy boki równoległe, a pozostałe dwa boki są ramionami. Wysokość to odległość między prostymi zawierającymi podstawy.
Trapez równoramienny
Ramiona są równe, kąty przy każdej podstawie są równe, a przekątne mają tę samą długość.
Trapez prostokątny
Jedno ramię jest prostopadłe do podstaw, dlatego jest jednocześnie wysokością. Ma dwa kąty proste.
Przykład: pole trapezu
Podstawy mają długości \(8\) i \(14\), a wysokość wynosi \(5\).
Dodaj podstawy: \(8+14=22\).
\(P=\frac{22\cdot5}{2}=55\).
Pole trapezu wynosi \(55\).
Przykład: odcinek środkowy
Odcinek środkowy ma długość \(9\), a jedna podstawa \(6\). Oblicz drugą podstawę.
\(9=\frac{6+b}{2}\).
\(18=6+b\), zatem \(b=12\).
Druga podstawa ma długość \(12\).
Czworokąt wpisany w okrąg i opisany na okręgu
W zadaniach z okręgiem trzeba odróżnić dwie sytuacje: albo wszystkie wierzchołki czworokąta leżą na okręgu, albo wszystkie jego boki są styczne do okręgu.
Czworokąt wpisany w okrąg
Wszystkie cztery wierzchołki leżą na okręgu. Warunkiem koniecznym i wystarczającym jest suma przeciwległych kątów równa \(180^\circ\).
\(\alpha+\gamma=180^\circ\)
Przykład: jeśli jeden kąt ma \(112^\circ\), to kąt przeciwległy ma \(68^\circ\).
Czworokąt opisany na okręgu
Każdy bok jest styczny do okręgu. Sumy długości przeciwległych boków muszą być równe.
\(a+c=b+d\)
Przykład: dla boków \(5,7,8,x\) zapisujemy \(5+8=7+x\), więc \(x=6\).
Porównanie własności czworokątów
Tabela pomaga zobaczyć, które własności są wystarczające do rozpoznania figury. Słowo „zawsze” jest tu kluczowe — szkic może wyglądać regularnie, ale liczą się wyłącznie podane informacje.
| Figura | 2 pary boków równoległych | 4 równe boki | 4 kąty proste | Równe przekątne | Prostopadłe przekątne |
|---|---|---|---|---|---|
| Trapez | czasami | czasami | czasami | czasami | czasami |
| Równoległobok | tak | czasami | czasami | czasami | czasami |
| Prostokąt | tak | czasami | tak | tak | czasami |
| Romb | tak | tak | czasami | czasami | tak |
| Kwadrat | tak | tak | tak | tak | tak |
Sprawdź własności i obliczenia
Skorzystaj z analizatora, aby utrwalić klasyfikację, albo wybierz figurę w kalkulatorze i sprawdź sposób obliczenia pola oraz obwodu.
Rozpoznaj czworokąt
Zaznacz informacje, które wynikają z treści zadania. Analizator poda najbardziej szczegółową nazwę figury.
Wybierz własności i kliknij „Rozpoznaj figurę”.
Analizator zakłada, że zaznaczone informacje są pewnymi własnościami figury, a nie tylko cechami niedokładnego rysunku.
Kalkulator pól i obwodów
Wybierz figurę. Pola dopasują się do danych potrzebnych w odpowiednich wzorach.
Wpisz dodatnie długości, a następnie wykonaj obliczenia.
Długości możesz podawać jako liczby całkowite lub dziesiętne. Kalkulator zaokrągla wyniki tylko wtedy, gdy jest to potrzebne.
Typowe błędy
Ukośny bok trapezu lub równoległoboku nie jest wysokością. Wysokość musi tworzyć z podstawą kąt prosty.
Równe przekątne nie zawsze oznaczają kwadrat. Ma je również każdy prostokąt i trapez równoramienny.
Wzoru \(P=\frac{ef}{2}\) nie stosujemy do dowolnego czworokąta. Działa między innymi dla rombu i kwadratu.
Figura narysowana „jak prostokąt” nie musi nim być. Kąty proste lub odpowiednie własności muszą wynikać z danych.
Ćwiczenia utrwalające
Najpierw rozwiąż każde zadanie samodzielnie. Następnie rozwiń odpowiedź i porównaj tok rozumowania.
W czworokącie trzy kąty mają miary \(72^\circ\), \(98^\circ\) i \(115^\circ\). Oblicz czwarty kąt.
Suma podanych kątów wynosi \(285^\circ\), więc czwarty kąt ma \(360^\circ-285^\circ=75^\circ\).
Równoległobok ma pole \(54\) i podstawę długości \(9\). Oblicz wysokość opuszczoną na tę podstawę.
Z równania \(54=9h\) otrzymujemy \(h=6\).
Prostokąt ma pole \(60\), a jeden bok ma długość \(12\). Oblicz drugi bok, obwód i przekątną.
Drugi bok: \(60:12=5\). Obwód: \(2(12+5)=34\). Przekątna: \(\sqrt{12^2+5^2}=13\).
Przekątne rombu mają długości \(10\) i \(24\). Oblicz pole, bok i obwód.
Pole: \(120\). Połówki przekątnych mają długości \(5\) i \(12\), więc bok wynosi \(13\), a obwód \(52\).
Trapez ma podstawy długości \(7\) i \(13\), wysokość \(6\) oraz ramiona \(6\) i \(8\). Oblicz pole i obwód.
Pole: \(P=\frac{(7+13)\cdot6}{2}=60\). Obwód: \(O=7+13+6+8=34\).
Czworokąt opisany na okręgu ma kolejne boki długości \(6\), \(9\), \(11\) i \(x\). Wyznacz \(x\).
Sumy przeciwległych boków są równe: \(6+11=9+x\). Stąd \(x=8\).
Najważniejsze wnioski
Kąty
Suma kątów wewnętrznych każdego czworokąta wynosi \(360^\circ\).
Równoległość
Jedna para prowadzi do trapezu, a dwie pary do równoległoboku.
Wysokość
We wzorze na pole wysokość musi być prostopadła do podstawy.
Przekątne
Ich równość, prostopadłość i dzielenie na połowy pomagają rozpoznać figurę.