Wyłączanie jednomianu przed nawias
Wyłączanie jednomianu przed nawias z sumy algebraicznej polega na wyciągnięciu wspólnego czynnika z kilku wyrazów sumy. Dzięki temu wyrażenie zapisujemy w prostszej postaci iloczynowej.
Sprawdź, jaka liczba oraz jakie zmienne występują w każdym wyrazie.
W nawiasie zapisujesz dokładnie to, co zostaje po podzieleniu.
Wspólny czynnik stawiasz przed nawiasem, a wyniki dzielenia wpisujesz do nawiasu.
Załóżmy, że mamy wielomian:
Zidentyfikujmy wspólny czynnik. Widzimy, że przy każdym jednomianie występuje co najmniej \(x\) w pierwszej potędze. Możemy więc wyciągnąć \(x\) przed nawias:
Zauważmy również, że każda liczba stojąca przy jednomianach jest podzielna przez \(5\). Możemy więc wyciągnąć także \(5\):
Rozważmy wielomian:
Krok 1. Szukamy wspólnego czynnika
Wszystkie wyrazy są podzielne przez \(6\) oraz mają wspólny czynnik \(xy\). Wspólnym czynnikiem będzie więc:
Krok 2. Dzielimy każdy wyraz przez \(6xy\)
Krok 3. Zapisujemy wyrażenie w postaci iloczynu
Rozkład wielomianu metodą grupowania
Metoda grupowania jest szczególnie przydatna, gdy wielomian ma co najmniej cztery wyrazy albo gdy na pierwszy rzut oka nie da się wyłączyć jednego wspólnego czynnika ze wszystkich wyrazów.
Najczęściej grupujemy wyrazy parami.
Robimy to tak, aby w nawiasach pojawiło się to samo wyrażenie.
Jeżeli dwa fragmenty mają ten sam nawias, możemy potraktować go jak wspólny czynnik.
Rozważmy wyrażenie:
Grupujemy wyrazy:
Wyłączamy wspólny czynnik w każdej grupie:
Widzimy wspólny nawias \((x+y)\), więc wyłączamy go przed nawias:
Rozważmy wielomian:
Na pierwszy rzut oka możemy połączyć pierwszy i trzeci wyraz oraz drugi i czwarty. Otrzymujemy:
Wyłączamy wspólny czynnik w obu grupach:
W obu częściach pojawił się wspólny nawias \((x^2+2)\), więc:
Rozważmy ponownie wielomian:
Tym razem połączmy pierwszy i drugi wyraz oraz trzeci i czwarty:
Wyłączamy wspólny czynnik przed nawias:
Widzimy wspólny nawias \((2x-\sqrt{3})\), dlatego:
Pierwiastki wielomianu
Pierwiastkiem wielomianu nazywamy taką liczbę, która po podstawieniu do wielomianu daje wartość \(0\). Innymi słowy, liczba \(a\) jest pierwiastkiem wielomianu \(W(x)\), gdy \(W(a)=0\).
Przy szukaniu pierwiastków całkowitych zwracamy szczególną uwagę na dwa współczynniki:
Znajdź pierwiastek wielomianu:
Wyraz wolny to \(a_0=10\). Jego dzielniki całkowite to:
Podstawiamy kolejne liczby i sprawdzamy, czy wielomian się zeruje.
Zatem \(-1\) nie jest pierwiastkiem tego wielomianu. Sprawdźmy kolejną liczbę:
Znajdź pierwiastek wielomianu:
Wyraz wolny to \(a_0=12\). Jego dzielniki całkowite to:
Zacznijmy podstawiać kolejne liczby:
Dzielenie wielomianu przez dwumian
Jeżeli znamy jeden pierwiastek wielomianu, możemy wykorzystać go do podzielenia wielomianu przez odpowiedni dwumian i rozłożyć wielomian dalej.
Wielomian \(W(x)\) możemy zapisać w postaci:
gdzie \(Q(x)\) to wynik dzielenia wielomianu przez dwumian \((x-a)\), a \(r\) to reszta z dzielenia.
Znajdź wszystkie pierwiastki wielomianu:
Z poprzedniego przykładu wiemy, że jednym z pierwiastków jest \(2\). Oznacza to, że dzielimy przez dwumian \((x-2)\).
Zatem:
Teraz musimy sprawdzić, czy trójmian \(2x^2+x-6\) da się jeszcze rozłożyć. Korzystamy z delty:
Mamy \(\sqrt{\Delta}=7\), więc są dwa pierwiastki:
Znajdź wszystkie pierwiastki wielomianu:
Musimy najpierw znaleźć jeden pierwiastek wielomianu. Wyraz wolny to \(a_0=6\), więc wypisujemy jego dzielniki:
Sprawdzamy, czy \(1\) jest pierwiastkiem:
Liczba \(1\) jest pierwiastkiem, więc dzielimy wielomian przez \((x-1)\).
Otrzymujemy:
Teraz rozkładamy trójmian kwadratowy \(x^2-x-6\). Liczymy deltę:
Mamy \(\sqrt{\Delta}=5\), więc:
Kalkulator: sprawdź pierwiastek i dzielenie przez \((x-a)\)
Wpisz współczynniki wielomianu trzeciego stopnia \(W(x)=ax^3+bx^2+cx+d\) oraz liczbę \(r\), którą chcesz sprawdzić. Kalkulator obliczy \(W(r)\) i pokaże wynik dzielenia przez \((x-r)\).
Podsumowanie lekcji
Rozkład wielomianów polega na takim przekształceniu, aby zamiast sumy otrzymać iloczyn. To bardzo pomaga przy znajdowaniu pierwiastków i rozwiązywaniu równań wielomianowych.