Działania na wielomianach | Matematyka Krok po Kroku

Wprowadzenie

Wielomian to suma jednomianów, czyli wyrazów takich jak \(3x^2\), \(-5x\), \(7\), \(-2x^3\). Każdy taki wyraz ma współczynnik liczbowy oraz część związaną z potęgą zmiennej.

\[ W(x)=3x^4-2x^3+5x^2-7x+9 \]

W powyższym przykładzie mamy wielomian czwartego stopnia, ponieważ najwyższa potęga zmiennej \(x\) to \(x^4\). W działaniach na wielomianach będziemy wykonywać podobne czynności jak przy zwykłych wyrażeniach algebraicznych: usuwać nawiasy, łączyć wyrazy podobne i porządkować wynik.

Najważniejsza zasada: możemy łączyć tylko wyrazy podobne, czyli takie, które mają tę samą potęgę zmiennej. Dlatego \(3x^2\) można dodać do \(5x^2\), ale nie można go połączyć z \(5x\).

Jak czytać rozwiązania? W tej lekcji każda kolejna linia obliczeń będzie wynikała z poprzedniej. Najpierw zapiszemy działanie, potem usuniemy nawiasy, następnie pogrupujemy wyrazy podobne, a dopiero na końcu podamy uporządkowany wynik.

Postać uporządkowana wielomianu

Wynik działania na wielomianach najczęściej zapisujemy od najwyższej potęgi do najniższej. Dzięki temu od razu widzimy stopień wielomianu, współczynnik przy najwyższej potędze oraz wyraz wolny.

\[ -4+7x^2-2x^3+5x \]

Ten zapis nie jest błędny, ale jest mało czytelny. Porządkujemy go według potęg:

\[ -2x^3+7x^2+5x-4 \]

Najwyższa potęga

W uporządkowanym zapisie od razu widzimy, że najwyższą potęgą jest \(x^3\).

Współczynnik główny

Współczynnik przy najwyższej potędze to \(-2\).

Wyraz wolny

Wyraz bez \(x\), czyli wyraz wolny, to \(-4\).

Dlaczego to ważne? W kolejnych tematach, na przykład przy pierwiastkach wielomianu, dzieleniu wielomianów i nierównościach wielomianowych, uporządkowana postać bardzo ułatwia dalsze obliczenia.

Wyrazy podobne

Wyrazy podobne to wyrazy z tą samą zmienną podniesioną do tej samej potęgi. W działaniach na wielomianach jest to kluczowe, bo tylko takie wyrazy możemy ze sobą połączyć.

Możemy połączyć

\[ 3x^2+5x^2=8x^2 \]

Oba wyrazy mają tę samą część literową: \(x^2\). Dodajemy więc tylko współczynniki: \(3+5=8\).

Nie możemy połączyć

\[ 3x^2+5x \]

Pierwszy wyraz zawiera \(x^2\), a drugi \(x\). Są to różne potęgi, więc zostawiamy je osobno.

Wyrażenie	Czy można połączyć?	Dlaczego?
\(4x^3-2x^3\)	Tak	Oba wyrazy mają \(x^3\).
\(7x^2+3x\)	Nie	To są różne potęgi: \(x^2\) oraz \(x\).
\(-5x+9x\)	Tak	Oba wyrazy mają \(x\).
\(8-3\)	Tak	To są wyrazy wolne, czyli zwykłe liczby.

Proste skojarzenie: \(x\), \(x^2\), \(x^3\) traktujemy jak różne rodzaje obiektów. Tak jak nie dodajemy jabłek do gruszek jako jednego rodzaju owoców, tak nie łączymy \(x\) z \(x^2\).

Uniwersalny schemat działań na wielomianach

Niezależnie od tego, czy dodajemy, odejmujemy czy mnożymy wielomiany, warto trzymać się jednego porządku działania. Dzięki temu łatwiej uniknąć błędów.

1

Zapisujemy całe działanie.

Nie pomijamy nawiasów i nie skracamy zapisu zbyt wcześnie. Na początku ważne jest, żeby widzieć całe wyrażenie.

2

Usuwamy nawiasy.

Przy dodawaniu nawias można zwykle po prostu opuścić. Przy odejmowaniu trzeba zmienić znaki w drugim nawiasie. Przy mnożeniu każdy wyraz mnożymy przez każdy.

3

Grupujemy wyrazy podobne.

Układamy obok siebie wyrazy z \(x^3\), potem z \(x^2\), potem z \(x\), a na końcu wyrazy wolne.

4

Łączymy współczynniki.

Dodajemy lub odejmujemy liczby stojące przy tych samych potęgach. Część literowa zostaje taka sama.

5

Zapisujemy wynik w postaci uporządkowanej.

Wynik zapisujemy od najwyższej potęgi do najniższej. To jest najczytelniejsza forma odpowiedzi.

Dodawanie wielomianów

Dodawanie wielomianów polega na dodaniu do siebie wyrazów podobnych. Jeżeli między nawiasami znajduje się znak plus, to po opuszczeniu nawiasów znaki wyrazów się nie zmieniają.

Przykład: dodawanie wielomianów

Dodaj wielomiany:

\[ P(x)=3x^3+5x^2-2x+7 \] \[ Q(x)=2x^3-x^2+6x-4 \]

Krok 1. Zapisujemy sumę wielomianów. Na tym etapie niczego jeszcze nie liczymy, tylko podstawiamy całe wielomiany do działania \(P(x)+Q(x)\).

\[ P(x)+Q(x) = (3x^3+5x^2-2x+7)+(2x^3-x^2+6x-4) \]

Krok 2. Opuszczamy nawiasy. Ponieważ między nawiasami jest znak plus, wszystkie znaki w drugim nawiasie zostają bez zmian.

\[ 3x^3+5x^2-2x+7+2x^3-x^2+6x-4 \]

Krok 3. Grupujemy wyrazy podobne. Obok siebie zapisujemy wyrazy z \(x^3\), potem z \(x^2\), potem z \(x\), a na końcu liczby.

\[ 3x^3+2x^3+5x^2-x^2-2x+6x+7-4 \]

Krok 4. Dodajemy współczynniki przy tych samych potęgach: \(3+2=5\), \(5-1=4\), \(-2+6=4\), \(7-4=3\).

\[ P(x)+Q(x)=5x^3+4x^2+4x+3 \]

Odpowiedź: \[ 5x^3+4x^2+4x+3 \]

Odejmowanie wielomianów

Odejmowanie wielomianów wygląda podobnie jak dodawanie, ale pojawia się jeden bardzo ważny moment: minus przed nawiasem zmienia znaki wszystkich wyrazów w tym nawiasie.

Uwaga: jeżeli mamy \(-(x^2-3x+4)\), to po opuszczeniu nawiasu otrzymujemy \(-x^2+3x-4\). Znak zmienia każdy wyraz, nie tylko pierwszy.

Przykład: odejmowanie wielomianów

Odejmij wielomiany:

\[ P(x)=4x^3-2x^2+5x-8 \] \[ Q(x)=x^3+3x^2-7x+2 \]

Krok 1. Zapisujemy działanie \(P(x)-Q(x)\). Drugi wielomian zapisujemy w nawiasie, ponieważ odejmujemy całe wyrażenie, a nie tylko jego pierwszy wyraz.

\[ P(x)-Q(x) = (4x^3-2x^2+5x-8)-(x^3+3x^2-7x+2) \]

Krok 2. Opuszczamy pierwszy nawias bez zmian. Przed drugim nawiasem stoi minus, więc zmieniamy znaki wszystkich wyrazów z drugiego nawiasu.

\[ 4x^3-2x^2+5x-8-x^3-3x^2+7x-2 \]

Krok 3. Grupujemy wyrazy podobne: osobno potęgi trzecie, osobno potęgi drugie, osobno wyrazy z \(x\) i osobno liczby.

\[ 4x^3-x^3-2x^2-3x^2+5x+7x-8-2 \]

Krok 4. Wykonujemy działania na współczynnikach: \(4-1=3\), \(-2-3=-5\), \(5+7=12\), \(-8-2=-10\).

\[ P(x)-Q(x)=3x^3-5x^2+12x-10 \]

Odpowiedź: \[ 3x^3-5x^2+12x-10 \]

Mnożenie wielomianu przez jednomian

Jeżeli mnożymy wielomian przez jednomian, to ten jednomian musi zostać pomnożony przez każdy składnik wielomianu. Jest to zastosowanie rozdzielności mnożenia względem dodawania i odejmowania.

\[ a(b+c+d)=ab+ac+ad \]

Przykład: mnożenie przez jednomian

Wymnóż:

\[ 3x(2x^2-5x+4) \]

Krok 1. Widzimy, że przed nawiasem stoi jednomian \(3x\). Musimy pomnożyć go przez każdy wyraz w nawiasie.

\[ 3x\cdot 2x^2+3x\cdot(-5x)+3x\cdot4 \]

Krok 2. Mnożymy współczynniki liczbowe oraz potęgi zmiennej \(x\). Przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie dodajemy wykładniki.

\[ \begin{aligned} 3x\cdot 2x^2 &= 6x^3 \\ 3x\cdot(-5x) &= -15x^2 \\ 3x\cdot4 &= 12x \end{aligned} \]

Krok 3. Zapisujemy wszystkie otrzymane składniki w jednym wyrażeniu.

\[ 3x(2x^2-5x+4)=6x^3-15x^2+12x \]

Odpowiedź: \[ 6x^3-15x^2+12x \]

Mnożenie wielomianów

Przy mnożeniu dwóch wielomianów każdy wyraz z pierwszego nawiasu mnożymy przez każdy wyraz z drugiego nawiasu. Dopiero po pełnym wymnożeniu nawiasów łączymy wyrazy podobne.

Ważne: nie można pomnożyć tylko pierwszych wyrazów i zapomnieć o pozostałych. Każdy składnik musi zostać uwzględniony.

Przykład: mnożenie dwóch wielomianów

Wymnóż:

\[ (2x+3)(x^2-4x+5) \]

Krok 1. Rozbijamy pierwszy nawias na dwa składniki: \(2x\) oraz \(3\). Każdy z nich pomnożymy przez cały drugi nawias.

\[ (2x+3)(x^2-4x+5) = 2x(x^2-4x+5)+3(x^2-4x+5) \]

Krok 2. Mnożymy \(2x\) przez każdy wyraz drugiego nawiasu.

\[ 2x(x^2-4x+5)=2x^3-8x^2+10x \]

Krok 3. Mnożymy \(3\) przez każdy wyraz drugiego nawiasu.

\[ 3(x^2-4x+5)=3x^2-12x+15 \]

Krok 4. Łączymy otrzymane wyniki w jedno wyrażenie.

\[ 2x^3-8x^2+10x+3x^2-12x+15 \]

Krok 5. Grupujemy i łączymy wyrazy podobne: \(-8x^2+3x^2=-5x^2\) oraz \(10x-12x=-2x\).

\[ (2x+3)(x^2-4x+5)=2x^3-5x^2-2x+15 \]

Odpowiedź: \[ 2x^3-5x^2-2x+15 \]

Przykład: mnożenie dwóch dwumianów

Wymnóż:

\[ (x+4)(x-7) \]

Krok 1. Mnożymy każdy wyraz z pierwszego nawiasu przez każdy wyraz z drugiego nawiasu.

\[ (x+4)(x-7)=x\cdot x+x\cdot(-7)+4\cdot x+4\cdot(-7) \]

Krok 2. Wykonujemy pojedyncze mnożenia.

\[ x^2-7x+4x-28 \]

Krok 3. Łączymy wyrazy podobne: \(-7x+4x=-3x\).

\[ (x+4)(x-7)=x^2-3x-28 \]

Typowe błędy

Poniższe błędy pojawiają się bardzo często. Warto je zapamiętać, bo później wracają przy równaniach, nierównościach i funkcjach wielomianowych.

Łączenie różnych potęg

Nie wolno zrobić tak:

\[ 3x^2+5x=8x^2 \]

To błąd, bo \(x^2\) i \(x\) nie są wyrazami podobnymi.

Minus przed nawiasem

Poprawne opuszczenie nawiasu:

\[ -(x^2-3x+4)=-x^2+3x-4 \]

Minus zmienia znak każdego składnika w nawiasie.

Pomijanie składników przy mnożeniu

Poprawnie:

\[ 2x(x^2-3x+1)=2x^3-6x^2+2x \]

Jednomian \(2x\) mnożymy przez każdy wyraz nawiasu.

Nieporządkowanie wyniku

Mniej czytelnie:

\[ 5x-2x^3+7x^2 \]

Czytelniej:

\[ -2x^3+7x^2+5x \]

Zadania treningowe

Spróbuj samodzielnie uprościć poniższe wyrażenia. Po rozwiązaniu możesz sprawdzić odpowiedź i krótkie wyjaśnienie przejścia.

Zadanie 1

\[ (2x^2+3x-5)+(4x^2-x+7) \]

Opuszczamy nawiasy i łączymy wyrazy podobne:

\[ 2x^2+4x^2+3x-x-5+7=6x^2+2x+2 \]

Zadanie 2

\[ (5x^3-2x^2+x-1)-(2x^3+x^2-4x+6) \]

Przed drugim nawiasem jest minus, więc zmieniamy znaki:

\[ 5x^3-2x^2+x-1-2x^3-x^2+4x-6 \]

Po połączeniu wyrazów podobnych:

\[ 3x^3-3x^2+5x-7 \]

Zadanie 3

\[ 4x(3x^2-2x+5) \]

Mnożymy \(4x\) przez każdy wyraz nawiasu:

\[ 4x\cdot3x^2+4x\cdot(-2x)+4x\cdot5 \] \[ 12x^3-8x^2+20x \]

Zadanie 4

\[ (x+2)(x^2-3x+4) \]

Rozbijamy pierwszy nawias:

\[ x(x^2-3x+4)+2(x^2-3x+4) \]

Następnie mnożymy i porządkujemy wynik:

\[ x^3-3x^2+4x+2x^2-6x+8=x^3-x^2-2x+8 \]

Zadanie 5

\[ (x-5)^2 \]

Korzystamy ze wzoru \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\):

\[ (x-5)^2=x^2-2\cdot x\cdot5+5^2=x^2-10x+25 \]

Podsumowanie

Działania na wielomianach wymagają przede wszystkim porządku. Jeżeli dokładnie zapisujemy każde przejście, dużo łatwiej zauważyć, gdzie należy zmienić znak, gdzie trzeba wymnożyć nawiasy i które wyrazy można ze sobą połączyć.

Zapamiętaj: najpierw zapisujemy działanie, potem usuwamy nawiasy, następnie grupujemy wyrazy podobne, łączymy współczynniki i zapisujemy wynik w postaci uporządkowanej.

\[ \text{nawiasy} \quad \text{wyrazy podobne} \quad \text{współczynniki} \quad \text{uporządkowany wynik} \]