O co chodzi w równaniach wielomianowych?
Równanie wielomianowe to równanie, w którym po jednej stronie występuje wielomian, a po drugiej najczęściej zero.
gdzie \(W(x)\) jest wielomianem, na przykład:
\[ x^3+3x^2-x-3=0 \]Na poziomie szkolnym dla równań stopnia trzeciego i wyższych najczęściej nie korzystamy z gotowego jednego wzoru. Zamiast tego próbujemy przekształcić wielomian tak, aby dało się zapisać go w postaci iloczynowej.
Chcemy doprowadzić równanie do postaci:
\[ A(x)\cdot B(x)\cdot C(x)=0 \]Wtedy możemy osobno przyrównać każdy czynnik do zera.
Dzielimy wyrazy na grupy tak, aby w obu grupach pojawił się taki sam nawias.
Szukamy czynnika, który występuje w każdym wyrazie, i zapisujemy go przed nawiasem.
Stosujemy podstawienie \(x^2=t\), dzięki czemu otrzymujemy równanie kwadratowe.
Licznik musi być równy zero, a mianownik musi być różny od zera.
Reguła iloczynu
To najważniejsza zasada, bez której nie rozwiążemy równań zapisanych w postaci iloczynowej.
Taki iloczyn jest równy zero wtedy, gdy:
\[ A=0 \quad{}\text{lub}\quad{} B=0 \]Odpowiedź: \(x=-5\) lub \(x=2\).
Regułę iloczynu stosujemy dopiero wtedy, gdy po jednej stronie równania mamy iloczyn, a po drugiej stronie jest zero.
Równania wielomianowe metodą grupowania
Metoda grupowania polega na takim połączeniu wyrazów, aby w kilku miejscach pojawił się ten sam nawias.
Rozwiąż równanie \(x^3+3x^2-x-3=0\).
Grupujemy wyrazy po dwa:
\[ x^3+3x^2-x-3=0 \] \[ (x^3+3x^2)+(-x-3)=0 \]Z pierwszej grupy wyłączamy \(x^2\), a z drugiej grupy wyłączamy \(-1\):
\[ x^2(x+3)-1(x+3)=0 \]Widzimy wspólny nawias \(x+3\), więc wyłączamy go przed nawias:
\[ (x+3)(x^2-1)=0 \]Zauważmy, że \(x^2-1\) to różnica kwadratów:
\[ x^2-1=(x-1)(x+1) \]Otrzymujemy:
\[ (x+3)(x-1)(x+1)=0 \]Stosujemy regułę iloczynu:
\[ x+3=0 \] \[ x=-3 \] \[ x-1=0 \] \[ x=1 \] \[ x+1=0 \] \[ x=-1 \]Rozwiąż równanie \(x^3+x^2-4x-4=0\).
Zastosujmy metodę grupowania wyrazów:
\[ x^3+x^2-4x-4=0 \] \[ (x^3+x^2)+(-4x-4)=0 \]Z pierwszej grupy wyłączamy \(x^2\), z drugiej \(-4\):
\[ x^2(x+1)-4(x+1)=0 \]Teraz wyłączamy wspólny nawias \(x+1\):
\[ (x+1)(x^2-4)=0 \]Rozpoznajemy różnicę kwadratów w drugim nawiasie:
\[ x^2-4=(x-2)(x+2) \]Otrzymujemy:
\[ (x+1)(x-2)(x+2)=0 \]Stosujemy regułę iloczynu:
\[ x+1=0 \] \[ x=-1 \] \[ x-2=0 \] \[ x=2 \] \[ x+2=0 \] \[ x=-2 \]Rozwiąż równanie \(2x^3+x^2-8x-4=0\).
Spróbujmy pogrupować wyrazy:
\[ 2x^3+x^2-8x-4=0 \] \[ (2x^3+x^2)+(-8x-4)=0 \]Z pierwszej grupy wyłączamy \(x^2\), z drugiej \(-4\):
\[ x^2(2x+1)-4(2x+1)=0 \]Widzimy wspólny nawias \(2x+1\), więc wyłączamy go:
\[ (2x+1)(x^2-4)=0 \]Drugi nawias to różnica kwadratów:
\[ x^2-4=(x-2)(x+2) \]Zatem:
\[ (2x+1)(x-2)(x+2)=0 \]Stosujemy regułę iloczynu:
\[ 2x+1=0 \] \[ 2x=-1 \] \[ x=-\frac{1}{2} \] \[ x-2=0 \] \[ x=2 \] \[ x+2=0 \] \[ x=-2 \]Wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias
Ta metoda jest szczególnie przydatna wtedy, gdy każdy wyraz równania ma wspólny czynnik, na przykład \(x\), \(x^2\), \(2x\), \(4x\).
Rozwiąż równanie \(x^3-3x^2=0\).
Widzimy, że w obu wyrazach występuje \(x^2\):
\[ x^3-3x^2=0 \]Wyłączamy \(x^2\) przed nawias:
\[ x^2(x-3)=0 \]Stosujemy regułę iloczynu:
\[ x^2=0 \] \[ x=0 \] \[ x-3=0 \] \[ x=3 \]Rozwiąż równanie \(4x^2+8x=0\).
Widzimy, że w obu wyrazach występuje wspólny czynnik \(4x\):
\[ 4x^2+8x=0 \]Wyłączamy \(4x\) przed nawias:
\[ 4x(x+2)=0 \]Stosujemy regułę iloczynu:
\[ 4x=0 \] \[ x=0 \] \[ x+2=0 \] \[ x=-2 \]Jeżeli równanie ma postać \(x^2(x-3)=0\), to czynnik \(x^2\) również może być równy zero. Dlatego zawsze trzeba sprawdzić każdy czynnik.
Równania dwukwadratowe
Równanie dwukwadratowe to szczególny typ równania wielomianowego, w którym zmienna występuje tylko przy potęgach parzystych: \(x^4\), \(x^2\) oraz ewentualnie jako wyraz wolny.
gdzie \(a\neq 0\). W takim równaniu nie pojawia się składnik z \(x^3\) ani składnik z \(x\).
Stosujemy podstawienie:
\[ x^2=t \] \[ x^4=t^2 \]Dzięki temu równanie dwukwadratowe zamieniamy na zwykłe równanie kwadratowe:
\[ at^2+bt+c=0 \]Po wyznaczeniu wartości \(t\) wracamy do zmiennej \(x\), czyli rozwiązujemy równania:
\[ x^2=t_1 \quad{}\text{oraz}\quad{} x^2=t_2 \]Jeżeli \(t\lt 0\), to równanie \(x^2=t\) nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych.
Podstaw \(x^2=t\), a więc \(x^4=t^2\).
Otrzymasz równanie postaci \(at^2+bt+c=0\).
Dla każdego otrzymanego rozwiązania \(t\) rozwiąż równanie \(x^2=t\).
Jeżeli \(t\lt 0\), odrzucamy je w zbiorze liczb rzeczywistych.
Rozwiąż równanie \(x^4+2x^2-8=0\).
Zastosujmy podstawienie:
\[ x^2=t \quad{}\text{oraz}\quad{} x^4=t^2 \]Podstawiamy do równania:
\[ t^2+2t-8=0 \]Liczymy deltę:
\[ \Delta=2^2-4\cdot 1\cdot(-8)=4+32=36 \]Rozwiązania równania kwadratowego:
\[ t_1=\frac{-2-\sqrt{36}}{2}=\frac{-2-6}{2}=-4 \] \[ t_2=\frac{-2+\sqrt{36}}{2}=\frac{-2+6}{2}=2 \]Teraz wracamy do zmiennej \(x\):
\[ x^2=-4 \] \[ \text{brak rozwiązań rzeczywistych} \] \[ x^2=2 \] \[ x=\pm\sqrt{2} \]Rozwiąż równanie \(x^4-13x^2+36=0\).
Podstawiamy:
\[ x^2=t \quad{}\text{oraz}\quad{} x^4=t^2 \]Otrzymujemy równanie kwadratowe:
\[ t^2-13t+36=0 \]Szukamy dwóch liczb, których suma wynosi \(13\), a iloczyn \(36\). Są to liczby \(9\) i \(4\), więc:
\[ t^2-13t+36=(t-9)(t-4) \]Zatem:
\[ (t-9)(t-4)=0 \] \[ t=9 \quad{}\text{lub}\quad{} t=4 \]Wracamy do zmiennej \(x\):
\[ x^2=9 \] \[ x=\pm 3 \] \[ x^2=4 \] \[ x=\pm 2 \]Rozwiąż równanie \(-x^4+6x^2+7=0\).
Zacznijmy od uporządkowania. Przemnożymy obustronnie przez \(-1\), aby współczynnik przy \(x^4\) był dodatni:
\[ x^4-6x^2-7=0 \]Teraz podstawiamy:
\[ x^2=t \quad{}\text{oraz}\quad{} x^4=t^2 \]Otrzymujemy równanie:
\[ t^2-6t-7=0 \]Obliczamy deltę:
\[ \Delta=(-6)^2-4\cdot 1\cdot(-7)=36+28=64 \]Wyznaczamy rozwiązania równania kwadratowego:
\[ t_1=\frac{6-\sqrt{64}}{2}=\frac{6-8}{2}=-1 \] \[ t_2=\frac{6+\sqrt{64}}{2}=\frac{6+8}{2}=7 \]Wracamy do zmiennej \(x\):
\[ x^2=-1 \] \[ \text{brak rozwiązań rzeczywistych} \] \[ x^2=7 \] \[ x=\pm\sqrt{7} \]Sprawdź, czy w równaniu występują tylko potęgi \(x^4\), \(x^2\) oraz wyraz wolny. Jeżeli pojawia się na przykład \(x^3\) albo \(x\), to nie jest to zwykłe równanie dwukwadratowe.
Równania wymierne równe zero
Jeżeli mamy wyrażenie wymierne równe zero, to korzystamy z jednej bardzo ważnej zasady: licznik musi być równy zero, ale mianownik nie może być równy zero.
Wtedy:
\[ V(x)=0 \quad{}\text{oraz}\quad{} W(x)\neq 0 \]Nawet jeśli jakaś liczba zeruje licznik, musimy jeszcze sprawdzić, czy nie zeruje mianownika. Jeżeli zeruje mianownik, to nie może być rozwiązaniem równania.
Rozwiąż równanie \(\frac{(x-3)(x+2)}{(x-5)(x+1)}=0\).
Krok 1. Zapisujemy warunek na dziedzinę. Mianownik nie może być równy zero:
\[ (x-5)(x+1)\neq 0 \] \[ x\neq 5 \quad{}\text{oraz}\quad{} x\neq -1 \]Krok 2. Rozwiązujemy równanie: licznik \(=0\).
\[ (x-3)(x+2)=0 \] \[ x=3 \quad{}\text{lub}\quad{} x=-2 \]Oba rozwiązania należą do dziedziny, więc są poprawne.
Rozwiąż równanie \(\frac{(x+1)^2(x-4)}{x(x-2)}=0\).
Krok 1. Wyznaczamy dziedzinę:
\[ x(x-2)\neq 0 \] \[ x\neq 0 \quad{}\text{oraz}\quad{} x\neq 2 \]Krok 2. Rozwiązujemy równanie: licznik \(=0\).
\[ (x+1)^2(x-4)=0 \] \[ x=-1 \quad{}\text{lub}\quad{} x=4 \]Liczba \(-1\) jest pierwiastkiem podwójnym, ale w samym równaniu nadal zapisujemy ją w odpowiedzi tylko raz. Oba rozwiązania należą do dziedziny.
Rozwiąż równanie \(\frac{(x-2)(x+1)}{(x+1)(x-5)}=0\).
Krok 1. Wyznaczamy dziedzinę:
\[ (x+1)(x-5)\neq 0 \] \[ x\neq -1 \quad{}\text{oraz}\quad{} x\neq 5 \]Krok 2. Rozwiązujemy równanie: licznik \(=0\).
\[ (x-2)(x+1)=0 \] \[ x=2 \quad{}\text{lub}\quad{} x=-1 \]Krok 3. Sprawdzamy dziedzinę:
- \(x=2\) należy do dziedziny, więc zostaje w odpowiedzi.
- \(x=-1\) nie należy do dziedziny, bo zeruje mianownik.
Jak rozwiązywać równania wielomianowe krok po kroku?
W zadaniach maturalnych warto trzymać się jednej procedury, bo wtedy łatwiej uniknąć błędów.
Najlepiej doprowadzić równanie do postaci \(W(x)=0\).
Zobacz, czy można wyłączyć wspólny czynnik, pogrupować wyrazy albo zastosować podstawienie \(x^2=t\).
Może to być postać iloczynowa albo równanie kwadratowe po podstawieniu.
Przy iloczynie stosujemy regułę iloczynu, a przy równaniu dwukwadratowym wracamy z \(t\) do \(x\).
W równaniach dwukwadratowych sprawdź, czy \(t\geq 0\). W równaniach wymiernych sprawdź dziedzinę.
Wypisz wszystkie rozwiązania, najlepiej od najmniejszego do największego.
Szybkie sprawdzenie rozwiązania
Każde otrzymane rozwiązanie podstaw do równania wyjściowego, szczególnie gdy pojawiły się dzielenie, pierwiastki lub warunki dziedziny.
Dla (W(x)=0) oblicz (W(x_0)). Liczba (x_0) jest rozwiązaniem dokładnie wtedy, gdy wynik wynosi (0).
Najpierw sprawdź, czy (x_0) należy do dziedziny, a dopiero później porównaj wartości obu stron równania.
Typowe błędy przy równaniach wielomianowych
W tych zadaniach najczęściej nie problemem jest sama metoda, ale drobny błąd w przekształceniach.
Przy równaniu \(x^3-3x^2=0\) nie wolno po prostu podzielić przez \(x^2\), bo wtedy tracimy rozwiązanie \(x=0\).
W zapisie \((-x-3)\) warto wyłączyć \(-1\), aby otrzymać \(-1(x+3)\), a nie \(-1(x-3)\).
Jeżeli mamy \((x+1)(x^2-4)=0\), to trzeba jeszcze rozłożyć \(x^2-4\) na \((x-2)(x+2)\).
W równaniu \(x^2=9\) mamy dwa rozwiązania: \(x=-3\) oraz \(x=3\).
Jeżeli po podstawieniu otrzymamy \(x^2=-4\), to nie ma rozwiązań rzeczywistych.
Rozwiązanie z licznika może odpaść, jeżeli zeruje mianownik.
Co trzeba zapamiętać?
Równania wielomianowe najczęściej rozwiązujemy przez rozkład na czynniki albo przez podstawienie.
Dążymy do zapisu typu \((x-a)(x-b)(x-c)=0\).
Łączymy wyrazy tak, aby powstał wspólny nawias.
Każdy czynnik przyrównujemy osobno do zera.
Podstawiamy \(x^2=t\), rozwiązujemy równanie kwadratowe i wracamy do \(x\).
Jeżeli \(t\lt 0\), to równanie \(x^2=t\) nie ma rozwiązań rzeczywistych.
Licznik musi być równy zero, a mianownik różny od zera.
Najpierw rozpoznaj typ równania. Potem albo rozłóż wielomian na czynniki, albo zastosuj podstawienie \(x^2=t\). Na końcu zawsze sprawdź warunki i zapisz wszystkie poprawne rozwiązania.