← Wróć do działów

Funkcje

W tym dziale nauczysz się rozumieć funkcję jako zależność między argumentem a wartością. Zaczniemy od podstawowych pojęć, potem przejdziemy do obliczania wartości funkcji, pełnego odczytywania własności z wykresu, funkcji liniowej, funkcji kwadratowej, przekształceń wykresów oraz funkcji wykładniczej i logarytmicznej.

Idea funkcji

Funkcja działa jak maszynka: do środka wkładamy argument \(x\), a na wyjściu otrzymujemy dokładnie jedną wartość \(f(x)\).

Rozpocznij naukę Zobacz moduły

Moduły działu

Dział funkcji jest bardziej rozbudowany, dlatego został podzielony na większą liczbę logicznych modułów. Najpierw poznajemy język funkcji i podstawowe obliczenia, następnie odczytujemy pełny zestaw własności z wykresu, poznajemy funkcję liniową i kwadratową, przekształcenia wykresów, funkcje wykładnicze i logarytmiczne, proporcjonalność odwrotną, a na końcu optymalizację.

f(x)

Czym jest funkcja i jak liczyć jej wartości?

Ten moduł wyjaśnia, czym jest funkcja, czym różni się argument od wartości funkcji oraz dlaczego jednemu argumentowi może odpowiadać dokładnie jedna wartość. Pojawiają się też dwa podstawowe pojęcia: dziedzina i zbiór wartości.

Czym jest funkcja? Funkcja jako maszynka, która przetwarza argument \(x\) na wartość \(f(x)\). › Dziedzina funkcji Wszystkie argumenty, dla których funkcja ma sens, np. zakaz dzielenia przez zero. › Zbiór wartości funkcji Wszystkie wartości \(y\), które funkcja może przyjąć dla argumentów z dziedziny. › Miejsce zerowe funkcji Szukamy takiego argumentu, dla którego \(f(x)=0\). › Czy punkt należy do wykresu funkcji? Podstawiamy współrzędną \(x\) punktu i sprawdzamy, czy otrzymujemy współrzędną \(y\). ›
Rozpocznij podstawy funkcji
↗↘

Pełne odczytywanie własności z wykresu

Naucz się systematycznie odczytywać dziedzinę, zbiór wartości, zera, monotoniczność, nierówności oraz wartości największe i najmniejsze na przedziale domkniętym — także z kilku wykresów jednocześnie.

Dziedzina i zbiór wartości Rzuty wykresu na osie \(OX\) i \(OY\), przerwy oraz otwarte i domknięte końce. › Zera i monotoniczność Punkty przecięcia z osią \(OX\) oraz przedziały wzrostu, spadku i stałości. › Nierówności z wykresu Porównywanie wartości funkcji z poziomem \(y=c\) i poprawny zapis przedziałów. › Ekstrema na przedziale Wartości największe i najmniejsze oraz wszystkie argumenty, dla których są osiągane. › Porównywanie kilku wykresów Wspólna dziedzina, przecięcia i nierówności między dwiema funkcjami. ›
Przejdź do odczytywania wykresów
ax+b

Funkcja liniowa

W tym module poznajemy funkcję liniową, jej wzór ogólny, współczynniki \(a\) i \(b\), monotoniczność oraz sposób rysowania wykresu za pomocą dwóch punktów. Omówiona zostanie również funkcja stała. 

Wzór ogólny funkcji liniowej Postać \(f(x)=ax+b\) oraz znaczenie współczynników \(a\) i \(b\). › Rozpoznawanie współczynników Odczytywanie \(a\) i \(b\), także gdy wzór nie jest zapisany w klasycznej kolejności. › Monotoniczność funkcji liniowej Funkcja rosnąca, malejąca lub stała w zależności od znaku \(a\). › Rysowanie wykresu funkcji liniowej Wyznaczamy dwa punkty, np. miejsce zerowe i przecięcie z osią \(OY\). › Funkcja stała Przypadek \(a=0\), czyli wykres będący linią poziomą. ›
Rozpocznij funkcję liniową
x²

Funkcja kwadratowa

Ten moduł wprowadza funkcję kwadratową, parabolę, kierunek ramion, deltę, miejsca zerowe oraz wierzchołek paraboli. To najważniejsza część działu funkcji na poziomie maturalnym.

Wzór funkcji kwadratowej \(f(x)=ax^2+bx+c\)
Delta \(\Delta=b^2-4ac\)
Wzór funkcji kwadratowej Postać \(f(x)=ax^2+bx+c\), gdzie \(a\neq0\). › Kierunek ramion paraboli Parabola „uśmiechnięta” dla \(a\gt0\) i „smutna” dla \(a\lt0\). › Miejsca zerowe funkcji kwadratowej Dwa, jedno albo brak miejsc zerowych w zależności od delty. › Wierzchołek paraboli Obliczanie punktu \(W=(p,q)\), czyli minimum albo maksimum funkcji. › Zastosowania funkcji kwadratowej Zadania praktyczne, w których wierzchołek oznacza największą lub najmniejszą wartość. ›
Przejdź do funkcji kwadratowej
W

Wykres funkcji kwadratowej

W tym module funkcja kwadratowa jest analizowana graficznie i algebraicznie. Nauczysz się szkicować parabolę oraz przechodzić między postacią ogólną, iloczynową i kanoniczną.

Postać kanoniczna \(f(x)=a(x-p)^2+q\)
Postać iloczynowa \(f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\)
Etapy analizy funkcji kwadratowej Kierunek ramion, miejsca zerowe, wierzchołek i punkty charakterystyczne. › Rysowanie wykresu funkcji kwadratowej Zaznaczamy miejsca zerowe, wierzchołek i szkicujemy parabolę. › Jeden, dwa albo brak punktów przecięcia z osią \(OX\) Interpretacja przypadków \(\Delta\gt0\), \(\Delta=0\), \(\Delta\lt0\). › Postać ogólna funkcji kwadratowej Najczęściej spotykany zapis \(ax^2+bx+c\). › Postać iloczynowa funkcji kwadratowej Zapis wykorzystujący miejsca zerowe funkcji. › Postać kanoniczna funkcji kwadratowej Zapis, z którego łatwo odczytać wierzchołek paraboli. ›
Przejdź do wykresów parabol
↔

Przesunięcia i przekształcenia wykresów funkcji

Ten moduł pokazuje, jak zmienia się wykres funkcji po przesunięciu w prawo, w lewo, w górę, w dół oraz po odbiciu względem osi \(OX\) i \(OY\). Pojawia się również wartość bezwzględna funkcji.

Przesunięcie poziome \(g(x)=f(x-p)\)
Odbicie względem osi \(OX\) \(g(x)=-f(x)\)
Przesunięcia w prawo i w lewo Zasady \(f(x-p)\) oraz \(f(x+p)\), czyli zmiany na poziomie argumentu. › Przesunięcia w górę i w dół Zasady \(f(x)+q\) oraz \(f(x)-q\), czyli zmiany wartości funkcji. › Odbicie względem osi \(OX\) Przekształcenie \(g(x)=-f(x)\), czyli zmiana znaku wartości funkcji. › Odbicie względem osi \(OY\) Przekształcenie \(g(x)=f(-x)\), czyli zmiana znaku argumentu. › Wartość bezwzględna funkcji Część wykresu poniżej osi \(OX\) zostaje odbita do góry. Rozszerzenie ›
Przejdź do przekształceń
log

Funkcja wykładnicza i funkcja logarytmiczna

Ten moduł wprowadza funkcję wykładniczą i logarytmiczną. Poznasz ich wzory, dziedziny, punkty charakterystyczne, monotoniczność oraz zależność między funkcją wykładniczą i logarytmiczną jako funkcjami odwrotnymi.

Funkcja wykładnicza \(f(x)=a^x\)
Funkcja logarytmiczna \(f(x)=\log_a x\)
Funkcja wykładnicza Zmienna znajduje się w wykładniku, a wykres przechodzi przez punkt \((0,1)\). › Monotoniczność funkcji wykładniczej Funkcja rośnie dla \(a\gt1\), a maleje dla \(0\lt a\lt1\). › Funkcja logarytmiczna Funkcja postaci \(f(x)=\log_a x\), określona tylko dla \(x\gt0\). › Własności funkcji logarytmicznej Dziedzina, zbiór wartości, punkt \((1,0)\) i monotoniczność. › Wykładnicza i logarytmiczna jako funkcje odwrotne Wykresy są symetryczne względem prostej \(y=x\). ›
Przejdź do funkcji wykładniczej i logarytmicznej
a/x

Proporcjonalność odwrotna

Poznaj zależność, w której iloczyn argumentu i wartości jest stały. Nauczysz się odczytywać własności hiperboli i rozwiązywać zadania praktyczne.

Wzór funkcji \(f(x)=\frac{a}{x}\)
Stały iloczyn \(x\cdot f(x)=a\)
Wykres proporcjonalności odwrotnej Hiperbola, jej gałęzie oraz wpływ znaku współczynnika \(a\). › Dziedzina i zbiór wartości Dlaczego argument i wartość funkcji nie mogą być równe zero. › Zastosowania praktyczne Prędkość i czas, liczba pracowników oraz podział stałej wielkości. ›
Przejdź do proporcjonalności odwrotnej
max

Optymalizacja z funkcją kwadratową

Wykorzystaj wierzchołek paraboli do wyznaczania największej albo najmniejszej wartości w zadaniach o polach, wymiarach, kosztach i ruchu.

Argument ekstremum \(x=-\frac{b}{2a}\)
Wartość ekstremum \(f(x_W)\)
Budowanie funkcji celu Zamiana warunków zadania na funkcję jednej zmiennej. › Największa i najmniejsza wartość Odczytywanie ekstremum z wierzchołka paraboli i kontrola dziedziny. › Zadania praktyczne Maksymalne pole, minimalny koszt i interpretacja otrzymanego wyniku. ›
Przejdź do optymalizacji

Sprawdź wiedzę z funkcji

Rozwiąż 30 pytań obejmujących cały dział. Po sprawdzeniu otrzymasz osobny wynik dla najważniejszych obszarów i linki do materiału wymagającego powtórki.

Rozpocznij test działowy →