Wzór ogólny funkcji liniowej
Funkcja liniowa jest jedną z najprostszych funkcji. Jej wykres zawsze jest prostą.
Funkcja liniowa to funkcja, którą możemy zapisać w postaci:
Współczynnik \(a\)
Współczynnik kierunkowy. Określa, czy wykres idzie w górę, w dół, czy jest poziomy.
Współczynnik \(b\)
Wyraz wolny. Odpowiada za przecięcie wykresu z osią \(OY\), czyli za wartość \(f(0)\).
W funkcji liniowej \(a\) stoi przy \(x\), a \(b\) jest liczbą bez \(x\). Najpierw porządkujemy wzór, a dopiero potem odczytujemy współczynniki.
Jak rozpoznać współczynniki \(a\) i \(b\)?
Autorzy zadań nie zawsze zapisują funkcję w idealnej kolejności, dlatego trzeba patrzeć na sens wzoru, a nie tylko na kolejność wyrazów.
Przykład 1 — klasyczna postać
Dla funkcji \(f(x)=3x+9\) mamy:
\[ a=3, \qquad b=9 \]Przykład 2 — inna kolejność wyrazów
Dla funkcji \(f(x)=5+\frac{2}{3}x\) mamy:
\[ a=\frac{2}{3}, \qquad b=5 \]Funkcja nie musi być zapisana jako najpierw wyraz z \(x\), a potem liczba. Współczynnik \(a\) to wszystko, co stoi przy \(x\), a \(b\) to część niezależna od \(x\).
Przykład 3 — najpierw upraszczamy
Dla funkcji \(f(x)=2x+3-\frac{1}{2}x\) najpierw łączymy wyrazy podobne:
\[ a=2-\frac{1}{2}=\frac{4}{2}-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}, \qquad b=3 \]Nie zawsze wzór funkcji jest od razu skrócony. Najpierw upraszczamy wyrażenie, a dopiero potem rozpoznajemy \(a\) i \(b\).
Przykład 4
Dla funkcji \(f(x)=6x-4\) mamy:
\[ a=6, \qquad b=-4 \]Zapis \(6x-4\) możemy traktować jako \(6x+(-4)\).
Przykład 5
Dla funkcji \(f(x)=-6x-4\) mamy:
\[ a=-6, \qquad b=-4 \]Współczynnik kierunkowy może być dodatni, ujemny albo równy zero.
Monotoniczność funkcji liniowej
Monotoniczność mówi, czy funkcja rośnie, maleje, czy cały czas ma taką samą wartość.
Funkcję liniową możemy sklasyfikować na podstawie współczynnika \(a\). Wystarczy spojrzeć na liczbę stojącą przy \(x\).
Funkcja rosnąca
\[ a\gt 0 \]Im większy argument \(x\), tym większa wartość funkcji.
Funkcja malejąca
\[ a\lt 0 \]Im większy argument \(x\), tym mniejsza wartość funkcji.
Funkcja stała
\[ a=0 \]Wartość funkcji nie zależy od \(x\). Wykres jest poziomą prostą.
Przykłady rozpoznawania monotoniczności
W funkcji stałej wartość \(f(x)\) nie zależy od argumentu \(x\). Niezależnie, co podstawimy, wynik będzie taki sam. To nadal jest poprawna funkcja, bo jednemu argumentowi przypisujemy dokładnie jedną wartość.
Badanie monotoniczności przez porównanie wartości
Jeżeli nie chcesz patrzeć tylko na współczynnik \(a\), możesz sprawdzić wartości funkcji dla dwóch rosnących argumentów.
Wybieramy dwa argumenty takie, że \(x_1\lt x_2\), a następnie porównujemy \(f(x_1)\) i \(f(x_2)\):
- jeśli \(f(x_1)\lt f(x_2)\), funkcja jest rosnąca,
- jeśli \(f(x_1)\gt f(x_2)\), funkcja jest malejąca,
- jeśli \(f(x_1)=f(x_2)\), funkcja jest stała.
Przykład — funkcja rosnąca
\(f(x)=6x-4\)Weźmy dwa argumenty:
\[ x_1=3, \qquad x_2=4 \]Obliczamy wartości funkcji:
\[ f(3)=6\cdot3-4=14 \] \[ f(4)=6\cdot4-4=20 \]Ponieważ \(x_1\lt x_2\) oraz \(f(x_1)\lt f(x_2)\), funkcja jest rosnąca.
Przykład — funkcja malejąca
\(f(x)=-6x-4\)Weźmy te same argumenty:
\[ x_1=3, \qquad x_2=4 \]Obliczamy wartości funkcji:
\[ f(3)=-6\cdot3-4=-22 \] \[ f(4)=-6\cdot4-4=-28 \]Tutaj \(f(x_1)\gt f(x_2)\), więc funkcja jest malejąca.
Dla funkcji liniowej najszybciej jest spojrzeć na współczynnik \(a\). Metoda z porównywaniem wartości jest jednak bardzo dobra do zrozumienia, co tak naprawdę oznacza rośnięcie i malenie funkcji.
Rysowanie wykresu funkcji liniowej
Wykres funkcji liniowej jest prostą, a do narysowania prostej wystarczą dwa punkty.
Najwygodniej wyznaczyć dwa charakterystyczne punkty:
Miejsce zerowe funkcji
Przyrównujemy wzór do zera, czyli rozwiązujemy równanie \(f(x)=0\). Otrzymujemy punkt przecięcia z osią \(OX\), czyli punkt \((x;0)\).
Przecięcie z osią \(OY\)
Podstawiamy \(x=0\). Dla funkcji \(f(x)=ax+b\) od razu otrzymujemy \(f(0)=b\), więc punkt przecięcia z osią \(OY\) to \((0;b)\).
Rysujemy prostą
Zaznaczamy oba punkty w układzie współrzędnych i prowadzimy przez nie prostą.
Punkty można wybrać dowolnie, ale miejsce zerowe i przecięcie z osią \(OY\) są najwygodniejsze, bo często pojawiają się też w innych zadaniach.
Przykłady rysowania wykresów
Zobacz trzy przypadki: funkcję rosnącą, malejącą oraz stałą.
Rysowanie funkcji \(f(x)=3x-9\)
Zaczynamy od wyznaczenia dwóch punktów.
1. Miejsce zerowe — rozwiązujemy równanie \(f(x)=0\):
\[ \begin{aligned} 3x-9&=0 &&\text{| przyrównujemy do zera}\\ 3x&=9 &&\text{| dodajemy 9 do obu stron}\\ x&=\frac{9}{3} &&\text{| dzielimy przez 3}\\ x&=3 \end{aligned} \]Zatem funkcja przecina oś \(OX\) w punkcie \((3;0)\).
2. Przecięcie z osią \(OY\) — podstawiamy \(x=0\):
\[ f(0)=3\cdot0-9=-9 \]Zatem funkcja przecina oś \(OY\) w punkcie \((0;-9)\).
Mając dwa punkty \((3;0)\) i \((0;-9)\), możemy narysować prostą przechodzącą przez te punkty.
Rysowanie funkcji \(f(x)=-2x+4\)
1. Miejsce zerowe — rozwiązujemy równanie \(f(x)=0\):
\[ \begin{aligned} -2x+4&=0 &&\text{| przyrównujemy do zera}\\ -2x&=-4 &&\text{| odejmujemy 4 od obu stron}\\ x&=\frac{-4}{-2} &&\text{| dzielimy przez } -2\\ x&=2 \end{aligned} \]Zatem funkcja przecina oś \(OX\) w punkcie \((2;0)\).
2. Przecięcie z osią \(OY\) — podstawiamy \(x=0\):
\[ f(0)=-2\cdot0+4=4 \]Zatem funkcja przecina oś \(OY\) w punkcie \((0;4)\).
Mając dwa punkty \((2;0)\) i \((0;4)\), rysujemy prostą przechodzącą przez te punkty.
Rysowanie funkcji \(f(x)=-3\)
Funkcja stała nie zależy od argumentu \(x\). Oznacza to, że niezależnie od tego, jaką wartość podstawimy za \(x\), funkcja zawsze przyjmie tę samą wartość.
1. Punkt przecięcia z osią \(OY\) — obliczamy \(f(0)\):
\[ f(0)=-3 \]Zatem wykres przecina oś \(OY\) w punkcie \((0;-3)\).
2. Drugi punkt — wybieramy dowolne inne \(x\), na przykład \(x=2\):
\[ f(2)=-3 \]Zatem mamy też punkt \((2;-3)\).
Wszystkie punkty wykresu mają taką samą wartość \(y\). Wykresem funkcji stałej jest linia pozioma.
Kalkulator funkcji liniowej
Wpisz współczynniki \(a\) i \(b\), a kalkulator pokaże wzór funkcji, monotoniczność, miejsce zerowe oraz punkty potrzebne do narysowania wykresu.
Podsumowanie lekcji
Po tej lekcji powinieneś umieć odczytać wzór funkcji liniowej, określić jej monotoniczność i narysować wykres.