M Matematyka Krok po Kroku Funkcje

Funkcja kwadratowa

W tej lekcji poznasz parabolę, współczynniki funkcji kwadratowej, wierzchołek, deltę, miejsca zerowe oraz praktyczne zastosowanie funkcji kwadratowej w zadaniach.

\(ax^2+bx+c\) postać ogólna
\(W=(p,q)\) wierzchołek paraboli
\(\Delta\) liczba miejsc zerowych
parabola wykres funkcji kwadratowej

Czym jest funkcja kwadratowa?

Funkcja kwadratowa to jedna z najbardziej klasycznych funkcji w matematyce. Rozpoznajemy ją po tym, że najwyższa potęga zmiennej \(x\) wynosi \(2\).

Najważniejszy wzór
\[ f(x)=ax^2+bx+c \]

gdzie \(a\), \(b\), \(c\) to współczynniki liczbowe oraz koniecznie \(a\neq 0\).

Ważna uwaga

Jeśli \(a=0\), to znika wyraz z \(x^2\). Funkcja przestaje być kwadratowa i staje się funkcją liniową.

Współczynnik \(a\)

Decyduje o kierunku ramion paraboli i o jej „szerokości”.

Współczynnik \(b\)

Wpływa między innymi na położenie osi symetrii i wierzchołka.

Współczynnik \(c\)

Pokazuje punkt przecięcia wykresu z osią \(OY\), czyli \(f(0)=c\).

1 Rozpoznawanie współczynników

Rozważmy funkcję:

\[ f(x)=2x^2-5x+2 \]

Tutaj:

\[ a=2,\quad b=-5,\quad c=2 \]
Komentarz

Ponieważ \(a=2\gt 0\), parabola będzie „uśmiechnięta”, czyli otwarta do góry.

Parabola i kierunek ramion

Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola. Jej wygląd zależy przede wszystkim od współczynnika \(a\).

Gdy \(a\gt 0\)

Parabola jest „uśmiechnięta”, czyli jej ramiona są skierowane do góry.

Gdy \(a\lt 0\)

Parabola jest „smutna”, czyli jej ramiona są skierowane do dołu.

Parabola dla \(a\gt 0\)

Wierzchołek x y

Funkcja osiąga wartość najmniejszą w wierzchołku.

Parabola dla \(a\lt 0\)

Wierzchołek x y

Funkcja osiąga wartość największą w wierzchołku.

Jak to zapamiętać?

Dodatnie \(a\) daje parabolę otwartą do góry, a ujemne \(a\) daje parabolę otwartą do dołu. To jedna z pierwszych rzeczy, które warto sprawdzać w zadaniu.

Wierzchołek paraboli

Wierzchołek paraboli to punkt, w którym funkcja kwadratowa osiąga minimum albo maksimum.

Minimum

Gdy \(a\gt 0\), parabola jest otwarta do góry i ma wartość najmniejszą.

Maksimum

Gdy \(a\lt 0\), parabola jest otwarta do dołu i ma wartość największą.

Współrzędne wierzchołka
\[ W=(p,q) \] \[ p=x_w=-\frac{b}{2a} \] \[ q=y_w=f(p) \]
Drugi sposób obliczania \(q\)
\[ q=\frac{-\Delta}{4a} \]

Możesz więc albo podstawić \(p\) do funkcji, albo policzyć deltę i skorzystać ze wzoru na \(q\).

Komentarz

Wierzchołek ma zawsze współrzędne \(W=(p,q)\). Oś symetrii paraboli przechodzi przez wierzchołek i ma równanie \(x=p\).

2 Wyznaczanie wierzchołka

Wyznaczmy wierzchołek funkcji:

\[ f(x)=2x^2-5x+2 \]

Wypisujemy współczynniki:

\[ a=2,\quad b=-5,\quad c=2 \]
1

Obliczamy współrzędną \(p\)

\[ p=\frac{-b}{2a}=\frac{-(-5)}{2\cdot 2}=\frac{5}{4} \]
2

Obliczamy współrzędną \(q\)

\[ q=f\left(\frac{5}{4}\right) \] \[ f\left(\frac{5}{4}\right) = 2\cdot\left(\frac{5}{4}\right)^2 - 5\cdot\frac{5}{4} +2 \] \[ = 2\cdot\frac{25}{16} - \frac{25}{4} +2 = \frac{50}{16} - \frac{100}{16} + \frac{32}{16} = -\frac{18}{16} = -\frac{9}{8} \]

Wniosek: wierzchołek paraboli to punkt:

\[ W=\left(\frac{5}{4},-\frac{9}{8}\right) \]
Schemat

Jak obliczać współrzędne wierzchołka?

Poniżej masz gotowy schemat, który możesz stosować praktycznie w każdym zadaniu z wierzchołkiem funkcji kwadratowej.

Schemat działania
  1. Sprawdź, czy funkcja jest zapisana w postaci \(f(x)=ax^2+bx+c\).
  2. Wypisz współczynniki \(a\), \(b\), \(c\).
  3. Oblicz deltę: \(\Delta=b^2-4ac\), jeśli chcesz korzystać ze wzoru na \(q\).
  4. Oblicz \(p=-\frac{b}{2a}\).
  5. Oblicz \(q=f(p)\) albo \(q=\frac{-\Delta}{4a}\).
  6. Zapisz wynik jako \(W=(p,q)\).
3 Wierzchołek z wykorzystaniem delty

Mamy funkcję kwadratową:

\[ f(x)=2x^2-5x+2 \]

Krok 1. Wypisujemy współczynniki:

\[ a=2,\quad b=-5,\quad c=2 \]

Krok 2. Liczymy deltę:

\[ \Delta=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot 2\cdot 2=25-16=9 \]
Komentarz

Ponieważ \(\Delta\gt 0\), funkcja ma dwa miejsca zerowe. Dodatkowo \(a=2\gt 0\), więc parabola jest otwarta do góry.

Krok 3. Obliczamy współrzędne wierzchołka:

\[ p=\frac{-b}{2a}=\frac{-(-5)}{2\cdot 2}=\frac{5}{4}=1{,}25 \] \[ q=\frac{-\Delta}{4a}=\frac{-9}{4\cdot 2}=-\frac{9}{8}=-1{,}125 \]

Wniosek:

\[ W=(p,q)=\left(\frac{5}{4},-\frac{9}{8}\right) \]
Po co nam wierzchołek?

Wierzchołek paraboli jest potrzebny między innymi w zadaniach optymalizacyjnych, czyli takich, w których szukamy największej albo najmniejszej wartości.

Gdzie parabola przecina oś \(OX\)?

Miejsce zerowe to taka wartość \(x\), dla której funkcja przyjmuje wartość zero, czyli \(f(x)=0\).

Szukamy rozwiązań równania
\[ ax^2+bx+c=0 \]

\(\Delta\gt 0\)

Funkcja ma dwa miejsca zerowe.

\(\Delta=0\)

Funkcja ma jedno miejsce zerowe.

\(\Delta\lt 0\)

Funkcja nie ma miejsc zerowych.

Wzory na miejsca zerowe
\[ x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} \] \[ x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \]
Komentarz

Delta informuje nas, ile razy parabola przecina oś \(OX\). Dlatego przed liczeniem miejsc zerowych zawsze najpierw sprawdzamy \(\Delta\).

4 Wyznaczanie miejsc zerowych

Rozważmy funkcję kwadratową:

\[ f(x)=x^2-5x+6 \]

Krok 1. Przyrównujemy funkcję do zera:

\[ x^2-5x+6=0 \]

Krok 2. Wypisujemy współczynniki:

\[ a=1,\quad b=-5,\quad c=6 \]

Krok 3. Liczymy deltę:

\[ \Delta=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot 1\cdot 6=25-24=1 \]
Komentarz

Ponieważ \(\Delta\gt 0\), funkcja ma dwa miejsca zerowe.

Krok 4. Podstawiamy do wzorów kwadratowych:

\[ x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-5)-\sqrt{1}}{2\cdot 1} = \frac{5-1}{2} = \frac{4}{2} = 2 \] \[ x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-5)+\sqrt{1}}{2\cdot 1} = \frac{5+1}{2} = \frac{6}{2} = 3 \]

Odpowiedź:

\[ x_1=2,\quad x_2=3 \]

Wykres przecina oś \(OX\) w punktach \((2,0)\) oraz \((3,0)\).

Funkcja kwadratowa w praktyce

Funkcja kwadratowa często pojawia się w zadaniach, w których trzeba znaleźć największą albo najmniejszą możliwą wartość.

5 Maksymalna wydajność maszyny

Fabryka produkuje części samochodowe. Dzienna liczba wyprodukowanych części zależy od liczby godzin pracy maszyny i jest opisana funkcją:

\[ f(x)=-10x^2+80x+100 \]

gdzie:

  • \(x\in(0,10)\) — liczba godzin pracy maszyny w ciągu dnia,
  • \(f(x)\) — liczba wyprodukowanych części.

Zadanie: oblicz, po ilu godzinach maszyna osiągnie maksymalną wydajność oraz ile części wtedy wyprodukuje.

Krok 1. Wypisujemy współczynniki:

\[ a=-10,\quad b=80,\quad c=100 \]
Komentarz

Ponieważ \(a\lt 0\), parabola jest otwarta do dołu. Oznacza to, że funkcja osiąga maksimum w wierzchołku.

Krok 2. Obliczamy współrzędną \(p\):

\[ p=\frac{-b}{2a} = \frac{-80}{2\cdot(-10)} = \frac{-80}{-20} = 4 \]

Krok 3. Liczymy wartość funkcji dla \(x=4\):

\[ f(4)=-10\cdot 4^2+80\cdot 4+100 = -160+320+100 = 260 \]

Odpowiedź:

Maszyna osiąga maksymalną wydajność po \(4\) godzinach pracy, a maksymalna liczba wyprodukowanych części wynosi \(260\).

Dobra wskazówka

W zadaniach praktycznych często nie trzeba liczyć miejsc zerowych. Bardzo często kluczowy jest właśnie wierzchołek.

Analizator funkcji kwadratowej

Wpisz współczynniki \(a\), \(b\), \(c\), a kalkulator wyznaczy deltę, wierzchołek, miejsca zerowe oraz narysuje orientacyjny wykres.

Wpisz współczynniki i kliknij „Oblicz”.

Co trzeba zapamiętać?

Funkcja kwadratowa jest jednym z najważniejszych tematów w dziale funkcji, dlatego warto dobrze opanować podstawowy schemat analizy.

Postać ogólna \(f(x)=ax^2+bx+c\), gdzie \(a\neq 0\).
Wykres Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola.
Kierunek ramion Dla \(a\gt 0\) ramiona są do góry, a dla \(a\lt 0\) do dołu.
Wierzchołek \(W=(p,q)\), gdzie \(p=-\frac{b}{2a}\), a \(q=f(p)\).
Delta \(\Delta=b^2-4ac\) informuje o liczbie miejsc zerowych.
Miejsca zerowe Obliczamy je z równania \(ax^2+bx+c=0\).
Najkrótszy schemat analizy funkcji kwadratowej
  1. Wypisz \(a\), \(b\), \(c\).
  2. Sprawdź znak współczynnika \(a\).
  3. Oblicz deltę.
  4. Wyznacz miejsca zerowe, jeśli istnieją.
  5. Oblicz wierzchołek \(W=(p,q)\).
  6. Na tej podstawie opisz lub narysuj parabolę.