Kiedy wielkości są odwrotnie proporcjonalne?
Dwie wielkości są odwrotnie proporcjonalne, gdy wzrost jednej z nich powoduje odpowiednie zmniejszenie drugiej, a ich iloczyn pozostaje stały.
Co oznacza współczynnik $a$?
Współczynnik $a$ jest stałym iloczynem odpowiadających sobie wartości. Możemy go wyznaczyć z dowolnego punktu $(x,y)$ wykresu:
$y=\frac{a}{x}$
$a=x\cdot y$
$x\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$
$y\neq0$, gdy $a\neq0$
Jak sprawdzić tabelę wartości?
Nie wystarczy zauważyć, że jedna wartość rośnie, a druga maleje. Trzeba sprawdzić wszystkie iloczyny.
| $x$ | 2 | 3 | 4 | 6 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|
| $y$ | 12 | 8 | 6 | 4 | 2 |
| $x\cdot y$ | 24 | 24 | 24 | 24 | 24 |
W każdej kolumnie iloczyn wynosi $24$, więc $a=24$ i $y=\frac{24}{x}$.
Proporcjonalność prosta i odwrotna
| Cecha | Proporcjonalność prosta | Proporcjonalność odwrotna |
|---|---|---|
| Wzór | $y=ax$ | $y=\frac{a}{x}$ |
| Co jest stałe? | iloraz $\frac{y}{x}$ | iloczyn $x\cdot y$ |
| Wykres | prosta przez $(0,0)$ | hiperbola |
| Zmiana dla $x\cdot2$ | $y\cdot2$ | $y:2$ |
Jak wygląda wykres $y=\frac{a}{x}$?
Wykres składa się z dwóch gałęzi. Osie $OX$ i $OY$ są asymptotami: wykres zbliża się do nich, ale ich nie przecina.
Gdy $a>0$
Gałęzie leżą w I i III ćwiartce.
Gdy $a<0$
Gałęzie leżą w II i IV ćwiartce.
Wyznaczanie wzoru i brakującej wartości
Wzór z podanego punktu
Punkt $(3,8)$ leży na wykresie $y=\frac{a}{x}$.
- Obliczamy $a=x\cdot y=3\cdot8=24$.
- Wstawiamy współczynnik do wzoru.
Brakująca wartość
Dla $y=\frac{30}{x}$ oblicz $y$, gdy $x=5$.
- Podstawiamy $x=5$.
- Liczymy $y=\frac{30}{5}=6$.
Przykład ze znakiem ujemnym
Punkt $(-4,3)$ należy do wykresu. Wtedy $a=(-4)\cdot3=-12$, więc $y=\frac{-12}{x}$. Ponieważ $a<0$, gałęzie wykresu leżą w II i IV ćwiartce.
Jak rozwiązywać zadania tekstowe?
- Ustal dwie zmieniające się wielkości.
- Sprawdź, co pozostaje stałe.
- Zapisz stały iloczyn $x\cdot y=a$.
- Podstaw dane i oblicz szukaną wartość.
- Sprawdź jednostkę i sens odpowiedzi.
Sześciu pracowników
4 pracowników wykonuje zadanie w 15 godzin. Ile czasu potrzebuje 6 pracowników przy tej samej wydajności?
Zmiana prędkości
Trasę pokonuje się w 5 godzin z prędkością 72 km/h. Ile potrwa jazda z prędkością 90 km/h?
Laboratorium proporcjonalności odwrotnej
Zmień współczynnik $a$ i wartość $x$. Kalkulator obliczy $y$, uzupełni tabelę oraz narysuje hiperbolę.
| $x$ |
|---|
| $y$ |
| $x\cdot y$ |
Zadania do przećwiczenia
Dla $y=\frac{42}{x}$ oblicz $y$, gdy $x=7$.
Pokaż odpowiedź
$y=\frac{42}{7}=6$.
Wyznacz wzór proporcjonalności odwrotnej, jeżeli punkt $(-5,4)$ leży na wykresie.
Pokaż odpowiedź
$a=(-5)\cdot4=-20$, więc $y=\frac{-20}{x}$.
8 pomp opróżnia zbiornik w 6 godzin. Ile czasu potrzebuje 12 takich pomp?
Pokaż odpowiedź
$8\cdot6=12\cdot t$, zatem $t=4$ godziny.
Prostokąt ma pole $48\text{ cm}^2$. Jaka jest jego szerokość, gdy długość wynosi $6\text{ cm}$?
Pokaż odpowiedź
$6\cdot y=48$, więc szerokość wynosi $8\text{ cm}$.
Najczęstsze błędy
- Sprawdzanie stałej różnicy zamiast stałego iloczynu.
- Mylenie wzorów $y=ax$ oraz $y=\frac{a}{x}$.
- Podstawianie $x=0$, mimo że dzielenie przez zero nie istnieje.
- Zapominanie, że przy $a<0$ wartości $x$ i $y$ mają przeciwne znaki.
- Pomijanie praktycznej dziedziny, np. dodatniej i całkowitej liczby pracowników.