← Wróć do działów

Ciągi liczbowe

W tym dziale poznasz ciąg jako uporządkowany zapis liczb, w którym każdy wyraz ma swoje miejsce. Zaczynamy od wzoru ogólnego i rekurencji, później przechodzimy do monotoniczności, ciągu arytmetycznego, ciągu geometrycznego oraz zadań praktycznych wykorzystujących sumy i wyrazy ciągów.

Idea ciągu

Ciąg to uporządkowana lista liczb. Każdy wyraz ma swój numer \(n\), a wartość tego wyrazu zapisujemy jako \(a_n\).

Rozpocznij naukę Zobacz moduły

Moduły działu

Dział o ciągach zaczynamy od intuicji: najpierw zrozumiesz, że \(a_n\) oznacza konkretny wyraz o numerze \(n\). Dopiero później przechodzimy do badania monotoniczności oraz do dwóch najważniejszych typów ciągów: arytmetycznych i geometrycznych.

\(a_n\)

Podstawy ciągów liczbowych

Pierwszy moduł wyjaśnia, czym jest ciąg liczbowy, co oznacza zapis \((a_n)\), jak rozumieć numer wyrazu \(n\) oraz czym różni się wzór ogólny od zapisu kolejnych wyrazów ciągu.

Czym jest ciąg liczbowy? Ciąg jako uporządkowany zbiór liczb: \(a_1, a_2, a_3,\dots\). › Ciąg określony wzorem ogólnym Podstawianie kolejnych liczb naturalnych za \(n\) i obliczanie wyrazów ciągu. › Obliczanie pierwszych wyrazów ciągu Jak z jednego wzoru otrzymać \(a_1, a_2, a_3, a_4\) i kolejne wyrazy. › Ciąg określony rekurencyjnie Korzystamy z wartości początkowej i wzoru na kolejny wyraz. › Rodzaje monotoniczności ciągów Rosnący, malejący, niemalejący, nierosnący, stały i niemonotoniczny. › Ciągi niemonotoniczne Przykład \(a_n=(-1)^n\), czyli wyrazy zmieniające się naprzemiennie. ›
Rozpocznij podstawy ciągów
\(r\)

Ciąg arytmetyczny

W tym module poznasz ciąg arytmetyczny, czyli taki ciąg, w którym różnica między kolejnymi wyrazami jest stała. To podstawa do obliczania wyrazów, sum oraz rozwiązywania zadań tekstowych.

Czym jest ciąg arytmetyczny? Rozpoznawanie stałej różnicy \(r\) między kolejnymi wyrazami. › Wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego Obliczanie dowolnego wyrazu, gdy znamy \(a_1\), \(r\) oraz \(n\). › Własność średniej arytmetycznej Środkowy wyraz jest średnią arytmetyczną dwóch sąsiednich lub symetrycznych wyrazów. › Suma \(n\) początkowych wyrazów Dwa wzory na \(S_n\), zależnie od tego, jakie dane pojawiają się w zadaniu. › Zastosowania ciągu arytmetycznego Pensja rosnąca o stałą kwotę, bilety tańsze o stałą wartość, warstwy cegieł. ›
Przejdź do ciągu arytmetycznego
\(q\)

Ciąg geometryczny

W tym module poznasz ciąg geometryczny, czyli taki ciąg, w którym iloraz kolejnych wyrazów jest stały. Pojawia się wzór na \(n\)-ty wyraz, suma oraz własność średniej geometrycznej.

Czym jest ciąg geometryczny? Rozpoznawanie stałego ilorazu \(q\) między kolejnymi wyrazami. › Wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu geometrycznego Obliczanie dalszych wyrazów przy pomocy potęg ilorazu \(q\). › Suma \(n\) początkowych wyrazów Wzór na \(S_n\) dla ciągu geometrycznego, gdy \(q\ne1\). › Własność średniej geometrycznej Korzystanie z zależności \(a_n^2=a_{n-1}\cdot a_{n+1}\). › Zastosowania ciągu geometrycznego Rozpad połowiczny, lokata, procentowe osłabienie dźwięku i raty malejące geometrycznie. ›
Przejdź do ciągu geometrycznego

Sprawdź wiedzę z ciągów

Rozwiąż test podsumowujący cały dział. Próg zaliczenia wynosi 80%.

Rozpocznij test działowy →