M Matematyka Krok po Kroku
← Wróć do ciągów Wróć do działów

Podstawy ciągów i monotoniczność

W tej lekcji poznasz, czym jest ciąg liczbowy, jak odczytywać zapis \( (a_n) \), jak obliczać kolejne wyrazy ciągu ze wzoru ogólnego oraz jak działa ciąg opisany rekurencyjnie. Na końcu przejdziemy do monotoniczności, czyli sprawdzania, czy kolejne wyrazy rosną, maleją, są stałe albo zachowują się nieregularnie.

Czym jest ciąg liczbowy?

Ciąg liczbowy to uporządkowany zbiór liczb, w którym każdej liczbie naturalnej przyporządkowujemy dokładnie jedną liczbę rzeczywistą.

Najczęstszy zapis ciągu
\[ (a_n), \qquad n \in \mathbb{N} \]

Symbol \(a_n\) oznacza \(n\)-ty wyraz ciągu. Oznacza to, że:

\(a_1\)

pierwszy wyraz ciągu

\(a_2\)

drugi wyraz ciągu

\(a_3\)

trzeci wyraz ciągu

\(a_n\)

dowolny, \(n\)-ty wyraz ciągu

Ważne
W ciągu kolejność ma znaczenie. Zestawy liczb \(1,4,7,10\) oraz \(10,7,4,1\) mają te same liczby, ale tworzą inne ciągi, ponieważ liczby występują w innej kolejności.
1 4 7 10 13 \(a_1\) \(a_2\) \(a_3\) \(a_4\) \(a_5\) kolejne miejsca w ciągu

Ciąg określony wzorem ogólnym

Ciąg może być zdefiniowany przez wzór ogólny. Wtedy każdy wyraz ciągu obliczamy przez podstawienie odpowiedniej liczby naturalnej za \(n\).

Wzór ogólny ciągu
\[ a_n = f(n) \]
Jak to rozumieć?
Jeżeli chcesz obliczyć \(a_1\), podstawiasz \(n=1\). Jeżeli chcesz obliczyć \(a_2\), podstawiasz \(n=2\). I tak dalej.
1
Odczytaj wzór ciągu. Sprawdź, jak wygląda zależność między numerem wyrazu \(n\) a wartością \(a_n\).
2
Podstaw kolejne wartości za \(n\). Najczęściej zaczynamy od \(n=1\), czyli od pierwszego wyrazu ciągu.
3
Oblicz wartości. Otrzymane liczby to kolejne wyrazy ciągu: \(a_1,a_2,a_3,\ldots\).
Przykład 1. Obliczanie pięciu pierwszych wyrazów ciągu

Dany jest ciąg określony wzorem ogólnym:

\[ a_n = 3n - 2 \]

Obliczamy pięć pierwszych wyrazów. Podstawiamy więc kolejne liczby naturalne za \(n\), które występuje we wzorze.

\[ \begin{aligned} a_1 &= 3 \cdot 1 - 2 = 1 \\ a_2 &= 3 \cdot 2 - 2 = 4 \\ a_3 &= 3 \cdot 3 - 2 = 7 \\ a_4 &= 3 \cdot 4 - 2 = 10 \\ a_5 &= 3 \cdot 5 - 2 = 13 \end{aligned} \]
Numer wyrazu Podstawienie Wartość wyrazu
\(n=1\) \(a_1=3\cdot1-2\) \(a_1=1\)
\(n=2\) \(a_2=3\cdot2-2\) \(a_2=4\)
\(n=3\) \(a_3=3\cdot3-2\) \(a_3=7\)
\(n=4\) \(a_4=3\cdot4-2\) \(a_4=10\)
\(n=5\) \(a_5=3\cdot5-2\) \(a_5=13\)
Odpowiedź
Pięć pierwszych wyrazów tego ciągu to: \[ 1,\ 4,\ 7,\ 10,\ 13 \]

Ciąg określony rekurencyjnie

W ciągu rekurencyjnym każdy kolejny wyraz zależy od poprzednich. Żeby zacząć obliczenia, musimy znać wartość początkową.

Ogólna postać zapisu rekurencyjnego
\[ \begin{cases} a_1 = \text{wartość początkowa} \\ a_{n+1} = \text{wyrażenie z } a_n \end{cases} \]
Na co trzeba uważać?
Wzór rekurencyjny nie daje od razu wartości dowolnego wyrazu. Najpierw liczymy \(a_1\), potem z niego \(a_2\), następnie z \(a_2\) wyznaczamy \(a_3\), i tak dalej.
Przykład 2. Obliczanie wyrazów ciągu rekurencyjnego

Rozważmy ciąg:

\[ \begin{cases} a_1 = 2 \\ a_{n+1} = a_n + 3 \end{cases} \]

Obliczamy pięć pierwszych wyrazów. Pierwszy wyraz jest podany, a każdy następny powstaje przez dodanie \(3\) do poprzedniego.

\[ \begin{aligned} a_1 &= 2 \\ a_2 &= a_1 + 3 = 5 \\ a_3 &= a_2 + 3 = 8 \\ a_4 &= a_3 + 3 = 11 \\ a_5 &= a_4 + 3 = 14 \end{aligned} \]
Odpowiedź
Pięć pierwszych wyrazów tego ciągu to: \[ 2,\ 5,\ 8,\ 11,\ 14 \]

Wzór ogólny

Pozwala obliczyć od razu dowolny wyraz, na przykład \(a_{20}\), jeśli podstawimy \(n=20\).

Wzór rekurencyjny

Opisuje, jak powstaje kolejny wyraz na podstawie poprzedniego. Zwykle trzeba liczyć po kolei.

Monotoniczność ciągów

Monotoniczność mówi nam, jak zachowują się kolejne wyrazy ciągu: czy rosną, maleją, pozostają takie same, czy zmieniają się nieregularnie.

Ciąg rosnący

Każdy następny wyraz jest większy od poprzedniego: \(a_{n+1} \gt a_n\).

Ciąg malejący

Każdy następny wyraz jest mniejszy od poprzedniego: \(a_{n+1} \lt a_n\).

Ciąg niemalejący

Kolejne wyrazy nie zmniejszają się: \(a_{n+1} \ge a_n\).

Ciąg nierosnący

Kolejne wyrazy nie zwiększają się: \(a_{n+1} \le a_n\).

Ciąg stały

Każdy wyraz ma taką samą wartość: \(a_{n+1}=a_n\).

Ciąg niemonotoniczny

Nie spełnia żadnego z powyższych warunków dla wszystkich \(n\).

Prosta intuicja
Jeżeli patrzymy na ciąg jak na listę liczb, to monotoniczność opisuje kierunek tej listy: w górę, w dół, poziomo albo raz w jedną, raz w drugą stronę.
Rodzaj ciągu Przykład Co widzimy?
Rosnący \(1,\ 4,\ 7,\ 10,\ldots\) Każdy kolejny wyraz jest większy.
Malejący \(10,\ 7,\ 4,\ 1,\ldots\) Każdy kolejny wyraz jest mniejszy.
Stały \(5,\ 5,\ 5,\ 5,\ldots\) Wszystkie wyrazy są takie same.
Niemonotoniczny \(-1,\ 1,\ -1,\ 1,\ldots\) Ciąg raz rośnie, raz maleje.

Jak badać monotoniczność ciągu?

Najczęściej badamy różnicę między kolejnymi wyrazami, czyli \(a_{n+1}-a_n\). Jej znak mówi nam, jak zachowuje się ciąg.

Podstawowe narzędzie
\[ a_{n+1}-a_n \]
1
Zapisz wyraz \(a_{n+1}\). W miejsce \(n\) we wzorze ciągu podstaw \(n+1\).
2
Oblicz różnicę \(a_{n+1}-a_n\). Odejmij od wyrazu następnego wyraz poprzedni.
3
Sprawdź znak wyniku. Wynik dodatni oznacza wzrost, wynik ujemny oznacza spadek, a wynik równy zero oznacza ciąg stały.
Wynik różnicy Wniosek
\(a_{n+1}-a_n \gt 0\) Ciąg jest rosnący.
\(a_{n+1}-a_n \lt 0\) Ciąg jest malejący.
\(a_{n+1}-a_n = 0\) Ciąg jest stały.
Druga metoda
Przy niektórych ciągach można badać iloraz \(\frac{a_{n+1}}{a_n}\), ale trzeba uważać, ponieważ ta metoda najwygodniej działa wtedy, gdy wyrazy ciągu są dodatnie. W tej lekcji skupiamy się głównie na różnicy \(a_{n+1}-a_n\).

Badanie monotoniczności w praktyce

Zobaczmy kilka typowych sytuacji: ciąg rosnący, malejący, stały, niemonotoniczny oraz ciąg rekurencyjny, którego wartości zbliżają się do określonej liczby.

Przykład 3. Ciąg rosnący

Dany jest ciąg:

\[ a_n = 2n - 5 \]

Sprawdźmy, czy ciąg jest monotoniczny.

\[ \begin{aligned} a_{n+1} - a_n &= \left(2(n+1)-5\right) - (2n-5) \\ &= (2n+2-5) - (2n-5) \\ &= (2n-3) - (2n-5) \\ &= 2 \end{aligned} \]
Wniosek
Różnica między kolejnymi wyrazami jest dodatnia, ponieważ \(2 \gt 0\). Ciąg jest więc rosnący.
Przykład 4. Ciąg malejący

Dany jest ciąg:

\[ a_n = \frac{1}{n} \]

Sprawdźmy, czy ciąg jest monotoniczny.

\[ \begin{aligned} a_{n+1} - a_n &= \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n} \\ &= \frac{n-(n+1)}{n(n+1)} \\ &= \frac{-1}{n(n+1)} \lt 0 \end{aligned} \]
Wniosek
Różnica jest ujemna, więc ciąg jest malejący.
Przykład 5. Ciąg stały

Dany jest ciąg:

\[ \begin{cases} a_1 = \frac{1}{2} \\ a_{n+1} = a_n \end{cases} \]

Obliczamy kilka wyrazów:

\[ a_1=\frac{1}{2},\quad a_2=\frac{1}{2},\quad a_3=\frac{1}{2},\quad \ldots \]
Wniosek
Każdy wyraz jest taki sam, więc ciąg jest stały.
Przykład 6. Ciąg niemonotoniczny

Dany jest ciąg:

\[ a_n = (-1)^n \]

Wypiszmy kilka pierwszych wyrazów:

\[ a_1=-1,\quad a_2=1,\quad a_3=-1,\quad a_4=1,\quad \ldots \]
Wniosek
Ciąg raz rośnie, raz maleje, więc nie jest monotoniczny. Taki ciąg nazywamy niemonotonicznym.
Przykład 7. Monotoniczność ciągu rekurencyjnego

Dany jest ciąg rekurencyjny:

\[ \begin{cases} a_1 = \dfrac{1}{2} \\ a_{n+1} = \dfrac{1}{2}a_n + \dfrac{1}{2} \end{cases} \]

Krok 1. Obliczamy kolejne wyrazy ciągu

\[ \begin{aligned} a_1 &= \dfrac{1}{2} \\[6pt] a_2 &= \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}+\dfrac{2}{4} = \dfrac{3}{4} \\[6pt] a_3 &= \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{8}+\dfrac{4}{8} = \dfrac{7}{8} \\[6pt] a_4 &= \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{7}{8}+\dfrac{1}{2} = \dfrac{7}{16}+\dfrac{8}{16} = \dfrac{15}{16} \\[6pt] a_5 &= \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{15}{16}+\dfrac{1}{2} = \dfrac{15}{32}+\dfrac{16}{32} = \dfrac{31}{32} \end{aligned} \]

Krok 2. Sprawdzamy różnice między kolejnymi wyrazami

\[ \begin{aligned} a_2-a_1 &= \dfrac{3}{4}-\dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{4}-\dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{4} \\[6pt] a_3-a_2 &= \dfrac{7}{8}-\dfrac{3}{4} = \dfrac{7}{8}-\dfrac{6}{8} = \dfrac{1}{8} \\[6pt] a_4-a_3 &= \dfrac{15}{16}-\dfrac{7}{8} = \dfrac{15}{16}-\dfrac{14}{16} = \dfrac{1}{16} \\[6pt] a_5-a_4 &= \dfrac{31}{32}-\dfrac{15}{16} = \dfrac{31}{32}-\dfrac{30}{32} = \dfrac{1}{32} \end{aligned} \]
Wniosek
Ciąg jest rosnący, ponieważ każdy kolejny wyraz jest większy od poprzedniego. Przyrosty są coraz mniejsze, a wartości ciągu zbliżają się do liczby \(1\). Oznacza to, że ciąg jest także zbieżny.

Podsumowanie lekcji

Po tej lekcji zrozumiesz podstawowy zapis ciągu, obliczysz kolejne wyrazy ze wzoru ogólnego i rekurencyjnego oraz rozpoznasz podstawowe typy monotoniczności.

Ciąg liczbowy

To uporządkowana lista liczb, której wyrazy zapisujemy jako \(a_1,a_2,a_3,\ldots\).

Wzór ogólny

Wzór \(a_n=f(n)\) pozwala obliczyć dowolny wyraz ciągu przez podstawienie konkretnej wartości za \(n\).

Rekurencja

Wzór rekurencyjny mówi, jak wyznaczyć następny wyraz na podstawie poprzedniego.

Monotoniczność

Opisuje, czy ciąg rośnie, maleje, jest stały, niemalejący, nierosnący albo niemonotoniczny.

Różnica wyrazów

Najczęściej badamy znak wyrażenia \(a_{n+1}-a_n\).

Wniosek

Jeśli różnica jest dodatnia — ciąg rośnie, jeśli ujemna — maleje, a jeśli równa zero — jest stały.