Czym jest ciąg arytmetyczny?
Ciąg arytmetyczny to taki ciąg, w którym każdy kolejny wyraz powstaje przez dodanie tej samej liczby. Tę liczbę nazywamy różnicą ciągu i oznaczamy literą \(r\).
Jeśli różnica między kolejnymi wyrazami jest zawsze taka sama, to ciąg jest arytmetyczny.
Ciąg rosnący
Gdy \(r \gt 0\), kolejne wyrazy są coraz większe.
\[ 2,\ 5,\ 8,\ 11,\ldots \]Ciąg malejący
Gdy \(r \lt 0\), kolejne wyrazy są coraz mniejsze.
\[ 20,\ 17,\ 14,\ 11,\ldots \]Jeżeli \(r = 0\), to wszystkie wyrazy są takie same. Taki ciąg jest stały, na przykład:
\[ 4,\ 4,\ 4,\ 4,\ldots \]Wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego
Gdy znamy pierwszy wyraz ciągu oraz różnicę, możemy obliczyć dowolny wyraz ciągu.
Do pierwszego wyrazu dodajemy różnicę tyle razy, ile przejść trzeba wykonać od pierwszego wyrazu do wyrazu \(n\). Dlatego we wzorze pojawia się \(n-1\), a nie samo \(n\).
Średnia arytmetyczna w ciągu arytmetycznym
W ciągu arytmetycznym wyraz znajdujący się dokładnie pośrodku dwóch innych wyrazów jest ich średnią arytmetyczną.
Sprawdź, czy ciąg
\[ a_1 = \frac{2}{5}, \quad a_2 = \frac{7}{5}, \quad a_3 = \frac{12}{5} \]jest arytmetyczny, korzystając z własności średniej arytmetycznej.
Obliczamy średnią skrajnych wyrazów:
\[ \begin{aligned} \frac{a_1 + a_3}{2} &= \frac{\frac{2}{5} + \frac{12}{5}}{2} \\ &= \frac{\frac{14}{5}}{2} \\ &= \frac{14}{10} \\ &= \frac{7}{5} \end{aligned} \]Otrzymaliśmy:
\[ \frac{7}{5} = a_2 \]Wniosek: środkowy wyraz jest średnią arytmetyczną skrajnych, więc ciąg jest arytmetyczny.
Wzór na sumę \(n\) początkowych wyrazów
Sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego oznaczamy symbolem \(S_n\).
Jeśli znasz pierwszy i ostatni wyraz, wygodny jest wzór \(S_n = \frac{a_1+a_n}{2}\cdot n\). Jeśli znasz pierwszy wyraz, różnicę i liczbę wyrazów, wygodny jest wzór \(S_n = \frac{2a_1+(n-1)r}{2}\cdot n\).
Typowe zadania z ciągu arytmetycznego
Poniżej znajdziesz najczęstsze typy zadań: obliczanie wyrazu, sumy, różnicy, pierwszego wyrazu oraz numeru wyrazu.
Dany jest ciąg arytmetyczny:
\[ a_1 = \frac{5}{2}, \quad r = \frac{3}{4} \]Oblicz \(a_6\) oraz \(S_6\). Czyli za \(n\) podstawiamy \(6\) i liczymy.
Krok 1. Obliczamy \(a_6\):
\[ \begin{aligned} a_6 &= a_1 + (6 - 1) \cdot r \\ &= \frac{5}{2} + 5 \cdot \frac{3}{4} \\ &= \frac{5}{2} + \frac{15}{4} \\ &= \frac{10}{4} + \frac{15}{4} \\ &= \frac{25}{4} \end{aligned} \]Krok 2. Obliczamy sumę \(S_6\):
\[ \begin{aligned} S_6 &= \frac{a_1 + a_6}{2} \cdot 6 \\ &= \frac{\frac{5}{2} + \frac{25}{4}}{2} \cdot 6 \\ &= \frac{\frac{10}{4} + \frac{25}{4}}{2} \cdot 6 \\ &= \frac{\frac{35}{4}}{2} \cdot 6 \\ &= \frac{35}{8} \cdot 6 \\ &= \frac{210}{8} \\ &= \frac{105}{4} \end{aligned} \]Odpowiedź: \(a_6 = \frac{25}{4}\), \(S_6 = \frac{105}{4}\).
W ciągu arytmetycznym wiadomo, że:
\[ a_3 = 12, \quad a_8 = 32 \]Oblicz różnicę \(r\) tego ciągu.
Krok 1. Zapisujemy wzór ogólny:
\[ a_n = a_1 + (n - 1) \cdot r \]Krok 2. Zapisujemy dwa równania:
\[ \begin{cases} a_3 = a_1 + 2r = 12 \\ a_8 = a_1 + 7r = 32 \end{cases} \]Krok 3. Odejmujemy równania stronami:
\[ \begin{aligned} (a_1 + 7r) - (a_1 + 2r) &= 32 - 12 \\ 5r &= 20 \\ r &= 4 \end{aligned} \]Odpowiedź: różnica ciągu wynosi \(4\).
W ciągu arytmetycznym dany jest wyraz:
\[ a_6 = \frac{17}{2}, \quad r = \frac{3}{4} \]Oblicz pierwszy wyraz \(a_1\).
Krok 1. Korzystamy ze wzoru:
\[ a_6 = a_1 + 5r \]Krok 2. Podstawiamy dane:
\[ \begin{aligned} \frac{17}{2} &= a_1 + 5 \cdot \frac{3}{4} \\ \frac{17}{2} &= a_1 + \frac{15}{4} \end{aligned} \]Krok 3. Wyznaczamy \(a_1\):
\[ \begin{aligned} a_1 &= \frac{17}{2} - \frac{15}{4} \\ &= \frac{34}{4} - \frac{15}{4} \\ &= \frac{19}{4} \end{aligned} \]Odpowiedź: \(a_1 = \frac{19}{4}\).
W ciągu arytmetycznym:
\[ a_1 = -5, \quad r = 3 \]Który wyraz ciągu ma wartość \(a_n = 40\)?
Podstawiamy dane do wzoru:
\[ \begin{aligned} 40 &= -5 + (n - 1) \cdot 3 \\ 45 &= 3(n - 1) \\ 15 &= n - 1 \\ n &= 16 \end{aligned} \]Odpowiedź: \(a_{16} = 40\).
W ciągu arytmetycznym wiadomo, że:
\[ a_3 = 1, \quad a_7 = 13 \]Oblicz pierwszy wyraz \(a_1\) i różnicę \(r\).
Zapisujemy dwa równania:
\[ \begin{cases} a_3 = a_1 + 2r = 1 \\ a_7 = a_1 + 6r = 13 \end{cases} \]Odejmujemy równania stronami:
\[ \begin{aligned} (a_1 + 6r) - (a_1 + 2r) &= 13 - 1 \\ 4r &= 12 \\ r &= 3 \end{aligned} \]Podstawiamy do pierwszego równania:
\[ \begin{aligned} a_1 + 2 \cdot 3 &= 1 \\ a_1 + 6 &= 1 \\ a_1 &= -5 \end{aligned} \]Odpowiedź: \(a_1 = -5\), \(r = 3\).
W ciągu arytmetycznym:
\[ a_1 = 4, \quad r = 2 \]Ile wyrazów ma ciąg, jeśli suma jego wyrazów wynosi \(S_n = 84\)?
Korzystamy ze wzoru na sumę:
\[ \begin{aligned} S_n &= \frac{2a_1 + (n - 1)r}{2} \cdot n \\ 84 &= \frac{2 \cdot 4 + (n - 1) \cdot 2}{2} \cdot n \\ 84 &= \frac{8 + 2n - 2}{2} \cdot n \\ 84 &= \frac{2n + 6}{2} \cdot n \\ 84 &= (n + 3)n \end{aligned} \]Rozwiązujemy równanie kwadratowe:
\[ \begin{aligned} n^2 + 3n - 84 &= 0 \\ (n + 12)(n - 7) &= 0 \end{aligned} \]Z rozwiązań wybieramy dodatnią liczbę naturalną:
\[ n = 7 \]Odpowiedź: ciąg ma \(7\) wyrazów.
Zadania z treścią
Ciąg arytmetyczny pojawia się wszędzie tam, gdzie jakaś wielkość zmienia się za każdym razem o tę samą wartość.
Pracownik w pierwszym miesiącu pracy otrzymał \(3000\) zł. Każdego kolejnego miesiąca jego pensja zwiększa się o \(200\) zł. Ile zarobi łącznie w ciągu pierwszych \(6\) miesięcy?
Krok 1. Rozpoznajemy typ ciągu:
\[ a_1 = 3000, \quad r = 200, \quad n = 6 \]Każde kolejne wynagrodzenie jest większe o stałą wartość, więc mamy ciąg arytmetyczny.
Krok 2. Liczymy sumę:
\[ \begin{aligned} S_6 &= \frac{2 \cdot 3000 + 5 \cdot 200}{2} \cdot 6 \\ &= \frac{6000 + 1000}{2} \cdot 6 \\ &= \frac{7000}{2} \cdot 6 \\ &= 3500 \cdot 6 \\ &= 21000 \end{aligned} \]Odpowiedź: pracownik zarobi łącznie \(21000\ \text{zł}\).
Pierwszy bilet do kina kosztuje \(30\) zł, a każdy kolejny bilet w tym samym miesiącu jest o \(3\) zł tańszy niż poprzedni. Ile zapłaci osoba, która kupi \(5\) biletów?
\[ a_1 = 30, \quad r = -3, \quad n = 5 \] \[ \begin{aligned} S_5 &= \frac{2a_1 + (n - 1)r}{2} \cdot n \\ &= \frac{2 \cdot 30 + 4 \cdot (-3)}{2} \cdot 5 \\ &= \frac{60 - 12}{2} \cdot 5 \\ &= \frac{48}{2} \cdot 5 \\ &= 24 \cdot 5 \\ &= 120 \end{aligned} \]Odpowiedź: za \(5\) biletów osoba zapłaci \(120\ \text{zł}\).
Na schodach wysokość pierwszego stopnia wynosi \(14\) cm, a każdy następny jest o \(0{,}5\) cm wyższy. Jaka będzie wysokość \(10\). stopnia?
\[ a_1 = 14, \quad r = 0{,}5, \quad n = 10 \] \[ \begin{aligned} a_{10} &= 14 + (10 - 1) \cdot 0{,}5 \\ &= 14 + 9 \cdot 0{,}5 \\ &= 14 + 4{,}5 \\ &= 18{,}5 \end{aligned} \]Odpowiedź: dziesiąty stopień ma wysokość \(18{,}5\ \text{cm}\).
Mur składa się z \(15\) poziomych warstw cegieł. W pierwszej warstwie ułożono \(40\) cegieł, a w każdej kolejnej warstwie o \(4\) cegły więcej niż w poprzedniej. Ile cegieł zużyto na cały mur?
\[ a_1 = 40, \quad r = 4, \quad n = 15 \] \[ \begin{aligned} S_{15} &= \frac{2 \cdot 40 + 14 \cdot 4}{2} \cdot 15 \\ &= \frac{80 + 56}{2} \cdot 15 \\ &= \frac{136}{2} \cdot 15 \\ &= 68 \cdot 15 \\ &= 1020 \end{aligned} \]Odpowiedź: do budowy muru zużyto \(1020\) cegieł.
Kalkulator ciągu arytmetycznego
Wpisz dane i sprawdź wynik razem z podstawowymi przekształceniami. Możesz wpisywać liczby całkowite, dziesiętne z przecinkiem oraz ułamki, np. \(5/2\).
Podsumowanie
W zadaniach z ciągu arytmetycznego najważniejsze jest rozpoznanie stałej różnicy.
We wzorze na \(a_n\) pojawia się \((n-1)\), ponieważ od pierwszego wyrazu do wyrazu \(n\) wykonujemy o jedno przejście mniej niż numer wyrazu. Dla \(a_6\) dodajemy różnicę \(5\) razy.