Czym jest ciąg geometryczny?
Ciąg geometryczny to taki ciąg, w którym każdy kolejny wyraz powstaje przez pomnożenie poprzedniego wyrazu przez tę samą liczbę. Tę liczbę nazywamy ilorazem ciągu i oznaczamy literą \(q\).
Jeśli iloraz kolejnych wyrazów jest zawsze taki sam, to ciąg jest geometryczny.
Przykład ciągu rosnącego
Każdy kolejny wyraz jest równy dwukrotności poprzedniego.
\[ 3,\ 6,\ 12,\ 24,\ldots \]Przykład ciągu malejącego
Każdy kolejny wyraz jest połową poprzedniego.
\[ 160,\ 80,\ 40,\ 20,\ldots \]W ciągu arytmetycznym dodajemy lub odejmujemy stałą wartość. W ciągu geometrycznym mnożymy przez stałą wartość.
Wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu geometrycznego
Jeśli znamy pierwszy wyraz ciągu oraz iloraz, możemy obliczyć dowolny wyraz ciągu.
We wzorze pojawia się potęga \(n-1\), ponieważ od pierwszego wyrazu do wyrazu \(n\) wykonujemy o jedno mnożenie mniej niż numer wyrazu.
Wzór na sumę \(n\) początkowych wyrazów
Sumę \(n\) pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego oznaczamy symbolem \(S_n\).
Gdy \(q=1\), każdy wyraz ciągu jest taki sam, więc suma jest bardzo prosta:
\[ S_n = n \cdot a_1 \]Dany jest ciąg geometryczny:
\[ a_1 = \frac{3}{4}, \quad q = \frac{2}{3} \]Oblicz \(a_5\) oraz \(S_5\), czyli sumę pięciu pierwszych wyrazów.
Krok 1. Obliczamy \(a_5\):
\[ \begin{aligned} a_5 &= a_1 \cdot q^4 \\ &= \frac{3}{4} \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^4 \\ &= \frac{3}{4} \cdot \frac{16}{81} \\ &= \frac{48}{324} \\ &= \frac{4}{27} \end{aligned} \]Krok 2. Obliczamy sumę:
\[ \begin{aligned} S_5 &= \frac{3}{4} \cdot \frac{1 - \left(\frac{2}{3}\right)^5}{1 - \frac{2}{3}} \\ &= \frac{3}{4} \cdot \frac{1 - \frac{32}{243}}{\frac{1}{3}} \\ &= \frac{3}{4} \cdot \frac{\frac{211}{243}}{\frac{1}{3}} \\ &= \frac{3}{4} \cdot \frac{211}{243} \cdot 3 \\ &= \frac{9}{4} \cdot \frac{211}{243} \\ &= \frac{1899}{972} \\ &= \frac{211}{108} \end{aligned} \]Odpowiedź: \(a_5 = \frac{4}{27}\), \(S_5 = \frac{211}{108}\).
Średnia geometryczna
W ciągu geometrycznym wyraz położony między dwoma sąsiednimi wyrazami spełnia szczególną własność.
W praktyce maturalnej bardzo często wygodniej sprawdzać własność:
\[ a_2^2 = a_1 \cdot a_3 \]Dzięki temu unikamy pierwiastków i szybciej sprawdzamy, czy trzy kolejne wyrazy mogą tworzyć ciąg geometryczny.
Sprawdź, czy ciąg:
\[ a_1 = \frac{9}{16}, \quad a_2 = \frac{3}{4}, \quad a_3 = 1 \]jest geometryczny, korzystając z własności średniej geometrycznej.
\[ \begin{aligned} \sqrt{a_1 \cdot a_3} &= \sqrt{\frac{9}{16} \cdot 1} \\ &= \sqrt{\frac{9}{16}} \\ &= \frac{3}{4} \end{aligned} \]Otrzymaliśmy:
\[ \frac{3}{4} = a_2 \]Wniosek: \(a_2 = \sqrt{a_1 \cdot a_3}\), więc ciąg jest geometryczny.
Typowe zadania z ciągu geometrycznego
Poniżej znajdziesz najczęstsze typy zadań: obliczanie ilorazu, pierwszego wyrazu, sumy oraz liczby wyrazów.
W ciągu geometrycznym wiadomo, że:
\[ a_2 = 6, \quad a_4 = 24 \]Oblicz iloraz \(q\) tego ciągu.
Zapisujemy wyrazy ze wzoru ogólnego:
\[ \begin{cases} a_2 = a_1 \cdot q = 6 \\ a_4 = a_1 \cdot q^3 = 24 \end{cases} \]Dzielimy równania stronami:
\[ \begin{aligned} \frac{a_4}{a_2} &= \frac{a_1 \cdot q^3}{a_1 \cdot q} \\ \frac{24}{6} &= q^2 \\ 4 &= q^2 \end{aligned} \] \[ q = 2 \quad \text{lub} \quad q = -2 \]Jeżeli z treści lub kontekstu wynika, że wyrazy są dodatnie i ciąg nie zmienia znaków, zwykle wybieramy \(q=2\).
Odpowiedź: \(q=2\), a w pełnym ujęciu możliwe jest też \(q=-2\).
W ciągu geometrycznym wiadomo, że:
\[ a_2 = 6, \quad a_5 = 48 \]Oblicz \(a_1\) oraz iloraz \(q\).
Zapisujemy wzory:
\[ \begin{cases} a_2 = a_1 \cdot q = 6 \\ a_5 = a_1 \cdot q^4 = 48 \end{cases} \]Dzielimy równania stronami:
\[ \begin{aligned} \frac{a_5}{a_2} &= \frac{a_1 q^4}{a_1 q} \\ \frac{48}{6} &= q^3 \\ 8 &= q^3 \\ q &= 2 \end{aligned} \]Podstawiamy do pierwszego równania:
\[ \begin{aligned} a_1 \cdot 2 &= 6 \\ a_1 &= 3 \end{aligned} \]Odpowiedź: \(a_1=3\), \(q=2\).
Dany jest ciąg geometryczny:
\[ a_1 = 2, \quad q = 3 \]Oblicz sumę pięciu pierwszych wyrazów tego ciągu.
\[ \begin{aligned} S_5 &= a_1 \cdot \frac{1 - q^5}{1 - q} \\ &= 2 \cdot \frac{1 - 3^5}{1 - 3} \\ &= 2 \cdot \frac{1 - 243}{-2} \\ &= 2 \cdot \frac{-242}{-2} \\ &= 2 \cdot 121 \\ &= 242 \end{aligned} \]Odpowiedź: \(S_5 = 242\).
W ciągu geometrycznym:
\[ a_1 = 5, \quad q = 2 \]Suma \(n\) początkowych wyrazów wynosi \(S_n = 155\). Wyznacz liczbę wyrazów \(n\).
\[ \begin{aligned} S_n &= a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q} \\ &= 5 \cdot \frac{1 - 2^n}{1 - 2} \\ &= 5 \cdot \frac{1 - 2^n}{-1} \\ &= -5(1 - 2^n) \\ &= 5(2^n - 1) \end{aligned} \]Podstawiamy \(S_n=155\):
\[ \begin{aligned} 5(2^n - 1) &= 155 \\ 2^n - 1 &= 31 \\ 2^n &= 32 \\ 2^n &= 2^5 \\ n &= 5 \end{aligned} \]Odpowiedź: \(n=5\).
Zadania z treścią
Ciąg geometryczny pojawia się wszędzie tam, gdzie coś zmienia się procentowo albo za każdym razem jest mnożone przez tę samą wartość.
Z próbki substancji radioaktywnej o masie \(160\ \text{g}\) co \(10\) minut rozpada się połowa materiału. Ile gramów substancji pozostanie po \(40\) minutach?
Masa substancji w każdym kolejnym kroku jest połową poprzedniej, więc mamy ciąg geometryczny.
\[ a_1 = 160, \quad q = \frac{1}{2} \]Po każdej kolejnej porcji \(10\) minut mamy nowy wyraz ciągu. Po \(40\) minutach wykonujemy \(4\) kroki, więc:
\[ n = \frac{40}{10} + 1 = 5 \]Dodajemy \(1\), bo \(a_1\) oznacza stan początkowy, czyli przed upływem czasu.
\[ \begin{aligned} a_5 &= 160 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^4 \\ &= 160 \cdot \frac{1}{16} \\ &= 10 \end{aligned} \]Odpowiedź: po \(40\) minutach pozostanie \(10\ \text{g}\) substancji.
Na lokacie bankowej zdeponowano \(1000\) zł. Oprocentowanie wynosi \(5\%\) rocznie, a kapitalizacja następuje raz w roku. Ile pieniędzy będzie na koncie po \(4\) latach?
Co roku kwota rośnie o stały procent, więc każda kolejna wartość jest iloczynem poprzedniej i stałej liczby.
\[ a_1 = 1000, \quad q = 1{,}05 \]Po \(4\) latach odsetki naliczą się \(4\) razy, więc szukamy \(a_5\), bo \(a_1\) to stan początkowy.
\[ \begin{aligned} a_5 &= 1000 \cdot 1{,}05^4 \\ &= 1000 \cdot 1{,}21550625 \\ &= 1215{,}50625 \end{aligned} \]Odpowiedź: po \(4\) latach na koncie będzie około \(1215{,}51\ \text{zł}\).
Dźwięk przechodząc przez dany ośrodek traci \(20\%\) natężenia na każdym metrze drogi. Początkowe natężenie wynosi \(100\) jednostek. Jakie będzie natężenie po przejściu \(5\) metrów?
Skoro dźwięk traci \(20\%\), to zostaje \(80\%\) poprzedniego natężenia.
\[ a_1 = 100, \quad q = 0{,}8 \]Po \(5\) metrach następuje \(5\) osłabień, dlatego szukamy \(a_6\).
\[ \begin{aligned} a_6 &= 100 \cdot 0{,}8^5 \\ &= 100 \cdot 0{,}32768 \\ &= 32{,}768 \end{aligned} \]Odpowiedź: po \(5\) metrach natężenie dźwięku wynosi około \(32{,}77\) jednostki.
Dług jest spłacany w ratach, gdzie każda kolejna rata wynosi połowę poprzedniej. Pierwsza rata to \(800\) zł. Ile łącznie zapłacono po \(6\) ratach?
\[ a_1 = 800, \quad q = \frac{1}{2}, \quad n = 6 \] \[ \begin{aligned} S_6 &= 800 \cdot \frac{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^6}{1 - \frac{1}{2}} \\ &= 800 \cdot \frac{1 - \frac{1}{64}}{\frac{1}{2}} \\ &= 800 \cdot \frac{\frac{63}{64}}{\frac{1}{2}} \\ &= 800 \cdot \frac{63}{64} \cdot 2 \\ &= \frac{100800}{64} \\ &= 1575 \end{aligned} \]Odpowiedź: łącznie zapłacono \(1575\ \text{zł}\).
Kalkulator ciągu geometrycznego
Wpisz dane i sprawdź wynik razem z podstawowymi przekształceniami. Możesz wpisywać liczby całkowite, dziesiętne z przecinkiem oraz ułamki, np. \(3/4\).
Podsumowanie
W zadaniach z ciągu geometrycznego najważniejsze jest zauważenie stałego mnożnika.
W zadaniach z czasem, lokatą albo rozpadem trzeba uważać, czy \(a_1\) oznacza pierwszy krok, czy stan początkowy. Jeśli \(a_1\) to stan początkowy, to po \(4\) zmianach szukamy zwykle \(a_5\), a nie \(a_4\).