Czym są wyrażenia wymierne?
Wyrażenia wymierne to ułamki algebraiczne, czyli wyrażenia, w których w liczniku i mianowniku występują wielomiany.
Przykładami wyrażeń wymiernych są:
W wyrażeniu wymiernym mianownik nigdy nie może być równy zero. Dlatego przy każdym przykładzie najpierw wyznaczamy dziedzinę.
Dziedzina wyrażenia wymiernego
Dziedzina wyrażenia wymiernego to zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, dla których wyrażenie ma sens. W praktyce oznacza to, że każdy mianownik musi być różny od zera.
Sprawdzamy mianowniki z całego wyrażenia, nie tylko z pierwszego ułamka.
Szukamy wartości, dla których mianownik byłby równy zero.
Te liczby zapisujemy po znaku \( \setminus \), czyli jako wartości niedozwolone.
Rozważmy wyrażenie:
\[ \frac{x+2}{3x-6} \]Sprawdzamy mianownik:
\[ 3x-6 \neq 0 \] \[ 3x \neq 6 \] \[ x \neq 2 \]Zatem dziedziną jest:
\[ x \in \mathbb{R} \setminus \{2\} \]Mnożenie wyrażeń wymiernych
Przy mnożeniu wyrażeń wymiernych mnożymy licznik przez licznik oraz mianownik przez mianownik. Przed wykonaniem działania warto jednak rozłożyć wyrażenia na czynniki, ponieważ wtedy często można je skrócić.
Skracamy tylko czynniki, czyli elementy połączone mnożeniem. Nie skracamy składników sumy. Przykładowo w wyrażeniu \( \frac{x+2}{x} \) nie wolno skrócić samego \(x\) z licznika, bo w liczniku jest suma.
Rozważmy przykład:
\[ \frac{x}{x+1} \cdot \frac{x+2}{x} \]Przed wykonaniem mnożenia określamy dziedzinę. Mianowniki to \(x+1\) oraz \(x\), więc:
\[ x+1 \neq 0 \quad \text{ oraz } \quad \text{ } x \neq 0 \] \[ x \in \mathbb{R} \setminus \{-1,\ 0\} \]Mnożymy licznik przez licznik oraz mianownik przez mianownik:
\[ \frac{x}{x+1} \cdot \frac{x+2}{x} = \frac{x(x+2)}{(x+1)x} \]Teraz skracamy wspólny czynnik \(x\):
\[ \frac{\cancel{x}(x+2)}{(x+1)\cancel{x}} = \frac{x+2}{x+1} \]Ostatecznie:
\[ \frac{x}{x+1} \cdot \frac{x+2}{x} = \frac{x+2}{x+1}, \quad x \in \mathbb{R} \setminus \{-1,\ 0\} \]Rozważmy przykład:
\[ \frac{x^2 - 9}{x^2 - x - 6} \cdot \frac{x^2 - 4x + 3}{x + 3} \]Najpierw określamy dziedzinę. Mianowniki nie mogą być równe zero:
\[ x^2-x-6 \neq 0 \quad \text{ oraz } \quad \text{ } x+3 \neq 0 \]Rozkładamy pierwszy mianownik:
\[ x^2-x-6=(x-3)(x+2) \]Zatem:
\[ (x-3)(x+2) \neq 0 \] \[ x \neq 3 \quad \text{ oraz } \quad \text{ } x \neq -2 \]Z drugiego mianownika mamy:
\[ x+3 \neq 0 \] \[ x \neq -3 \]Dziedzina:
\[ x \in \mathbb{R} \setminus \{-3,\ -2,\ 3\} \]Teraz rozkładamy wszystkie wielomiany na czynniki:
\[ x^2-9=(x-3)(x+3) \] \[ x^2-x-6=(x-3)(x+2) \] \[ x^2-4x+3=(x-1)(x-3) \]Podstawiamy rozkłady do przykładu:
\[ \frac{x^2 - 9}{x^2 - x - 6} \cdot \frac{x^2 - 4x + 3}{x + 3} = \frac{(x-3)(x+3)}{(x-3)(x+2)} \cdot \frac{(x-1)(x-3)}{x+3} \]Skracamy wspólne czynniki:
\[ \frac{\cancel{(x-3)}\cancel{(x+3)}}{\cancel{(x-3)}(x+2)} \cdot \frac{(x-1)(x-3)}{\cancel{(x+3)}} \]Ostatecznie otrzymujemy:
\[ \frac{(x-1)(x-3)}{x+2}, \quad x \in \mathbb{R} \setminus \{-3,\ -2,\ 3\} \]Nie zawsze opłaca się od razu wymnażać wszystkie nawiasy. W wyrażeniach wymiernych bardzo często najpierw rozkładamy na czynniki, a dopiero potem skracamy.
Dzielenie wyrażeń wymiernych
Dzielenie wyrażeń wymiernych wykonujemy tak samo jak dzielenie zwykłych ułamków. Dzielenie zamieniamy na mnożenie przez odwrotność drugiego ułamka.
Przy dzieleniu musimy pamiętać nie tylko o mianownikach, ale także o tym, że wyrażenie, przez które dzielimy, nie może być równe zero.
Rozważmy wyrażenie:
\[ \frac{x^2 - 9}{x^2 - x - 6} \div \frac{x - 3}{x^2 - 4} \]Zaczynamy od dziedziny. Sprawdzamy mianowniki:
\[ x^2-x-6 \neq 0 \quad \text{ oraz } \quad \text{ } x^2-4 \neq 0 \]Dodatkowo drugi ułamek, czyli dzielnik, nie może być równy zero:
\[ \frac{x-3}{x^2-4} \neq 0 \]Z rozkładów:
\[ x^2-x-6=(x-3)(x+2) \] \[ x^2-4=(x-2)(x+2) \]Otrzymujemy wykluczenia:
\[ x \neq 3,\quad x \neq -2,\quad x \neq 2 \]Zatem dziedzina to:
\[ x \in \mathbb{R} \setminus \{-2,\ 2,\ 3\} \]Zamieniamy dzielenie na mnożenie przez odwrotność:
\[ \frac{x^2 - 9}{x^2 - x - 6} \cdot \frac{x^2 - 4}{x - 3} \]Rozkładamy każdy wielomian na czynniki:
\[ x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3) \] \[ x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2) \] \[ x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) \]Podstawiamy rozkłady:
\[ \frac{(x - 3)(x + 3)}{(x - 3)(x + 2)} \cdot \frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 3} \]Skracamy wspólne czynniki:
\[ \frac{\cancel{(x - 3)}(x + 3)} {\cancel{(x - 3)}\cancel{(x + 2)}} \cdot \frac{(x - 2)\cancel{(x + 2)}}{x - 3} \]Ostatecznie:
\[ \frac{(x + 3)(x - 2)}{x - 3}, \quad x \in \mathbb{R} \setminus \{-2,\ 2,\ 3\} \]Dodawanie wyrażeń wymiernych
Przy dodawaniu wyrażeń wymiernych musimy sprowadzić ułamki do wspólnego mianownika. Dopiero wtedy możemy dodać liczniki.
Sprawdź, kiedy mianowniki nie są równe zero.
Najczęściej będzie to iloczyn różnych czynników występujących w mianownikach.
Każdy ułamek rozszerzamy tak, aby miał wspólny mianownik.
Mianownik zostaje wspólny, a działania wykonujemy w liczniku.
Rozważmy wyrażenie:
\[ \frac{1}{x - 2} + \frac{3}{x + 2} \]Krok 1. Wyznaczamy dziedzinę.
\[ x-2 \neq 0 \quad \text{ oraz } \quad \text{ } x+2 \neq 0 \] \[ x \neq 2 \quad \text{ oraz } \quad \text{ } x \neq -2 \] \[ x \in \mathbb{R} \setminus \{-2,\ 2\} \]Krok 2. Wyznaczamy wspólny mianownik.
\[ (x-2)(x+2) \]Krok 3. Rozszerzamy ułamki.
\[ \frac{1}{x - 2} \cdot \frac{x+2}{x+2} = \frac{x+2}{(x - 2)(x + 2)} \] \[ \frac{3}{x + 2} \cdot \frac{x-2}{x-2} = \frac{3(x-2)}{(x + 2)(x - 2)} \]Krok 4. Dodajemy liczniki i upraszczamy.
\[ \frac{x+2}{(x-2)(x+2)} + \frac{3(x-2)}{(x-2)(x+2)} \] \[ = \frac{x+2+3(x-2)}{(x-2)(x+2)} \] \[ = \frac{x+2+3x-6}{(x-2)(x+2)} \] \[ = \frac{4x-4}{(x-2)(x+2)} \] \[ = \frac{4(x-1)}{(x-2)(x+2)} \]Ostatecznie:
\[ \frac{1}{x - 2} + \frac{3}{x + 2} = \frac{4(x - 1)}{(x - 2)(x + 2)}, \quad x \in \mathbb{R} \setminus \{-2,\ 2\} \]Rozważmy wyrażenie:
\[ \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^3} \]Krok 1. Wyznaczamy dziedzinę.
Mianowniki zawierają potęgi \(x\), więc \(x\) nie może być równe zero:
\[ x \in \mathbb{R} \setminus \{0\} \]Krok 2. Wyznaczamy wspólny mianownik.
Największa potęga w mianowniku to \(x^3\), więc wspólnym mianownikiem będzie:
\[ x^3 \]Krok 3. Rozszerzamy ułamki.
\[ \frac{1}{x} \cdot \frac{x^2}{x^2} = \frac{x^2}{x^3} \] \[ \frac{1}{x^2} \cdot \frac{x}{x} = \frac{x}{x^3} \] \[ \frac{1}{x^3} = \frac{1}{x^3} \]Krok 4. Dodajemy liczniki.
\[ \frac{x^2}{x^3} + \frac{x}{x^3} + \frac{1}{x^3} = \frac{x^2+x+1}{x^3} \]Ostatecznie:
\[ \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^3} = \frac{x^2 + x + 1}{x^3}, \quad x \in \mathbb{R} \setminus \{0\} \]Odejmowanie wyrażeń wymiernych
Odejmowanie wykonujemy prawie tak samo jak dodawanie. Różnica pojawia się w liczniku: musimy bardzo uważać na znak minus przed całym drugim licznikiem.
Jeżeli odejmujemy ułamek, to odejmujemy cały licznik. Dlatego często trzeba wstawić nawias: \[ A - (B) \] Dzięki temu nie zgubimy znaku minus.
Rozważmy wyrażenie:
\[ \frac{x+1}{x+2} - \frac{x-1}{x+1} \]Krok 1. Wyznaczamy dziedzinę.
\[ x+2 \neq 0 \quad \text{ oraz } \quad \text{ } x+1 \neq 0 \] \[ x \neq -2 \quad \text{ oraz } \quad \text{ } x \neq -1 \] \[ x \in \mathbb{R} \setminus \{-2,\ -1\} \]Krok 2. Wyznaczamy wspólny mianownik.
\[ (x+2)(x+1) \]Krok 3. Rozszerzamy oba ułamki.
\[ \frac{x+1}{x+2} = \frac{(x+1)(x+1)}{(x+2)(x+1)} = \frac{(x+1)^2}{(x+2)(x+1)} \] \[ \frac{x-1}{x+1} = \frac{(x-1)(x+2)}{(x+1)(x+2)} \]Krok 4. Odejmujemy liczniki.
\[ \frac{(x+1)^2}{(x+2)(x+1)} - \frac{(x-1)(x+2)}{(x+1)(x+2)} \] \[ = \frac{(x+1)^2-(x-1)(x+2)}{(x+1)(x+2)} \]Rozwijamy licznik:
\[ (x+1)^2 = x^2+2x+1 \] \[ (x-1)(x+2)=x^2+2x-x-2=x^2+x-2 \]Podstawiamy:
\[ \frac{x^2+2x+1-(x^2+x-2)}{(x+1)(x+2)} \] \[ = \frac{x^2+2x+1-x^2-x+2}{(x+1)(x+2)} \] \[ = \frac{x+3}{(x+1)(x+2)} \]Ostatecznie:
\[ \frac{x+1}{x+2} - \frac{x-1}{x+1} = \frac{x+3}{(x+1)(x+2)}, \quad x \in \mathbb{R} \setminus \{-2,\ -1\} \]Kalkulator działań na wyrażeniach wymiernych
Wybierz, co chcesz zrobić: poznać dziedzinę, pomnożyć, podzielić, dodać albo odjąć wyrażenia wymierne. Kalkulator pokaże wynik oraz kolejne przekształcenia, które zostały wykonane.
Wpisuj wielomiany w postaci rozwiniętej, na przykład: \(x^2 - 9\), \(x^2 - x - 6\), \(x + 2\), \(3x - 6\), \(1\).
Podsumowanie
Wyrażenia wymierne wymagają dokładności. Najpierw dziedzina, potem rozkład na czynniki, a dopiero później działania i skracanie.
Mianownik nie może być równy zero. Wykluczenia zapisujemy w dziedzinie.
Mnożymy licznik przez licznik oraz mianownik przez mianownik.
Dzielenie zamieniamy na mnożenie przez odwrotność drugiego ułamka.
Sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika, a potem działamy na licznikach.
Skracamy tylko wspólne czynniki. Nie skracamy pojedynczych składników sumy.
Przy odejmowaniu pamiętamy, że minus dotyczy całego drugiego licznika.