Średnia arytmetyczna i ważona | Matematyka Krok po Kroku

Średnia arytmetyczna

Średnia arytmetyczna jest sumą wszystkich obserwacji podzieloną przez ich liczbę.

$$\overline{x}=\frac{x_1+x_2+\ldots+x_n}{n}=\frac{\sum_{i=1}^{n}x_i}{n}.$$

Dodaj wszystkie wartości.
Policz, ile jest obserwacji.
Podziel sumę przez liczbę obserwacji.
Sprawdź, czy wynik leży między najmniejszą i największą wartością.

Przykład 1: średnia z listy danych

Oblicz średnią danych $3,5,5,7,10$.

Sumujemy wszystkie dane: $$3+5+5+7+10=30.$$
Liczba obserwacji wynosi $5$.
Dzielimy sumę przez liczbę danych: $$\overline{x}=\frac{30}{5}=6.$$
Kontrola: $3\le 6\le 10$, więc wynik jest możliwy.

Odpowiedź: średnia arytmetyczna wynosi $6$.

Średnia jest wrażliwa na wartości skrajne. Jedna bardzo duża lub bardzo mała obserwacja może wyraźnie przesunąć wynik.

Jak rozumieć średnią?

Wartość równowagi

Gdyby sumę wszystkich wyników rozdzielić po równo, każda obserwacja miałaby wartość $\overline{x}$.

Położenie

Średnia nie może być mniejsza od minimum ani większa od maksimum.

Dodawanie stałej

Dodanie liczby $c$ do każdej obserwacji zwiększa średnią o $c$.

Mnożenie przez stałą

Pomnożenie każdej obserwacji przez $a$ mnoży średnią przez $a$.

Z definicji średniej wynika ważna zależność: $$x_1+x_2+\ldots+x_n=n\cdot\overline{x}.$$

Wyznaczanie brakującej wartości

Przykład 2: znamy średnią

Średnia pięciu liczb wynosi $12$. Cztery z nich to $8,10,13,14$. Wyznacz piątą liczbę.

Suma pięciu liczb musi wynosić: $$5\cdot12=60.$$
Sumujemy cztery znane liczby: $$8+10+13+14=45.$$
Brakująca wartość jest różnicą: $$60-45=15.$$
Sprawdzamy: $$\frac{8+10+13+14+15}{5}=\frac{60}{5}=12.$$

Odpowiedź: brakująca liczba wynosi $15$.

Średnia z tabeli liczebności

Jeżeli wartość $x_i$ występuje $n_i$ razy, nie trzeba przepisywać jej wielokrotnie. Każdą wartość mnożymy przez jej liczebność.

$$\overline{x}=\frac{n_1x_1+n_2x_2+\ldots+n_kx_k}{n_1+n_2+\ldots+n_k}.$$

Przykład 3: dane pogrupowane w tabeli

Wartość $x_i$	Liczebność $n_i$	Iloczyn $n_ix_i$
$2$	$3$	$6$
$4$	$2$	$8$
$5$	$1$	$5$
Razem	$6$	$19$

Suma liczebności wynosi: $$3+2+1=6.$$
Suma wszystkich wartości z uwzględnieniem powtórzeń wynosi: $$3\cdot2+2\cdot4+1\cdot5=19.$$
Obliczamy średnią: $$\overline{x}=\frac{19}{6}\approx3{,}17.$$

Odpowiedź: średnia wynosi około $3{,}17$.

Nie dzielimy przez liczbę wierszy tabeli. W mianowniku musi znaleźć się liczba wszystkich obserwacji, czyli suma liczebności.

Średnia ważona

Średnią ważoną stosujemy, gdy wyniki mają różne znaczenie. Waga określa, jak silnie dana wartość wpływa na wynik końcowy.

$$\overline{x}_w=\frac{w_1x_1+w_2x_2+\ldots+w_nx_n}{w_1+w_2+\ldots+w_n}.$$

Zapisz każdą wartość razem z jej wagą.
Pomnóż wartości przez odpowiadające im wagi.
Dodaj otrzymane iloczyny.
Dodaj wszystkie wagi.
Podziel sumę ważoną przez sumę wag.

Przykład 4: oceny z wagami

Uczeń otrzymał ocenę $4$ z wagą $1$, ocenę $5$ z wagą $2$ i ocenę $3$ z wagą $3$. Oblicz średnią ważoną.

Obliczamy sumę ważoną: $$4\cdot1+5\cdot2+3\cdot3=4+10+9=23.$$
Sumujemy wagi: $$1+2+3=6.$$
Dzielimy: $$\overline{x}_w=\frac{23}{6}\approx3{,}83.$$

Odpowiedź: średnia ważona wynosi około $3{,}83$.

Wagi procentowe

Jeżeli wagi są podane w procentach i sumują się do 100%, można zapisać je jako ułamki dziesiętne i od razu obliczyć sumę iloczynów.

Przykład 5: wynik końcowy z kilku części

Sprawdziany stanowią 50% oceny końcowej i mają średnią $4{,}4$, prace domowe stanowią 20% i mają średnią $5$, a egzamin stanowi 30% i został oceniony na $3$. Oblicz wynik ważony.

Zamieniamy procenty na liczby dziesiętne: $$50\%=0{,}5,\qquad20\%=0{,}2,\qquad30\%=0{,}3.$$
Kontrolujemy sumę wag: $$0{,}5+0{,}2+0{,}3=1.$$
Obliczamy średnią ważoną: $$\overline{x}_w=4{,}4\cdot0{,}5+5\cdot0{,}2+3\cdot0{,}3.$$
Wykonujemy działania: $$\overline{x}_w=2{,}2+1+0{,}9=4{,}1.$$

Odpowiedź: wynik ważony wynosi $4{,}1$.

Łączenie średnich kilku grup

Średnie grup traktujemy jak wartości, a liczebności grup jak wagi. Zwykła średnia ze średnich jest poprawna tylko wtedy, gdy grupy są jednakowo liczne.

Przykład 6: dwie klasy o różnej liczebności

W klasie A jest $20$ uczniów ze średnią $4{,}2$, a w klasie B — $30$ uczniów ze średnią $3{,}8$. Oblicz wspólną średnią.

Rozwiązanie krok po kroku

Odtwarzamy sumę wyników klasy A: $$20\cdot4{,}2=84.$$
Odtwarzamy sumę wyników klasy B: $$30\cdot3{,}8=114.$$
Łączna suma wyników to $84+114=198$, a liczba uczniów to $20+30=50$.
Obliczamy wspólną średnią: $$\overline{x}=\frac{198}{50}=3{,}96.$$

Odpowiedź: wspólna średnia wynosi $3{,}96$.

Obliczenie $\frac{4{,}2+3{,}8}{2}=4$ byłoby błędne, ponieważ druga klasa jest liczniejsza i powinna mieć większy wpływ na wspólną średnią.

Którą średnią zastosować?

Sytuacja	Metoda	Mianownik
Lista pojedynczych obserwacji	Średnia arytmetyczna	Liczba obserwacji
Tabela wartości i liczebności	Średnia z tabeli	Suma liczebności
Wyniki o różnym znaczeniu	Średnia ważona	Suma wag
Grupy o różnych liczebnościach	Średnia ważona średnich grup	Suma liczebności grup

Typowe błędy

Dzielenie sumy danych przez niewłaściwą liczbę obserwacji.
Dzielenie średniej ważonej przez liczbę ocen zamiast przez sumę wag.
Pomijanie iloczynu wartości i jej liczebności w tabeli.
Obliczanie zwykłej średniej ze średnich grup o różnych liczebnościach.
Traktowanie procentu jako liczby całkowitej, na przykład używanie $30$ zamiast $0{,}3$ bez odpowiedniej zmiany mianownika.
Zaokrąglanie wyników pośrednich zbyt wcześnie.
Brak kontroli, czy średnia leży między najmniejszą i największą wartością.

Krótkie zadania z rozwiązaniami

Zadanie 1: średnia arytmetyczna

Oblicz średnią danych $2,4,4,5,10$.

Rozwiązanie krok po kroku

Sumujemy dane: $$2+4+4+5+10=25.$$
Danych jest $5$.
Obliczamy średnią: $$\overline{x}=\frac{25}{5}=5.$$

Odpowiedź: średnia wynosi $5$.

Zadanie 2: brakująca liczba

Średnia czterech liczb wynosi $7$. Trzy z nich to $4,6,9$. Wyznacz czwartą liczbę.

Rozwiązanie krok po kroku

Suma czterech liczb wynosi: $$4\cdot7=28.$$
Suma znanych liczb wynosi: $$4+6+9=19.$$
Brakująca liczba to: $$28-19=9.$$

Odpowiedź: brakująca liczba wynosi $9$.

Zadanie 3: oceny z wagami

Oceny $3,4,5$ mają odpowiednio wagi $1,2,3$. Oblicz średnią ważoną.

Rozwiązanie krok po kroku

Suma ważona wynosi: $$3\cdot1+4\cdot2+5\cdot3=3+8+15=26.$$
Suma wag wynosi: $$1+2+3=6.$$
Dzielimy: $$\overline{x}_w=\frac{26}{6}=\frac{13}{3}\approx4{,}33.$$

Odpowiedź: średnia ważona wynosi około $4{,}33$.

Zadanie 4: łączenie grup

Grupa licząca $12$ osób uzyskała średnią $5$, a grupa licząca $18$ osób — średnią $4$. Oblicz wspólną średnią.

Rozwiązanie krok po kroku

Suma wyników pierwszej grupy: $$12\cdot5=60.$$
Suma wyników drugiej grupy: $$18\cdot4=72.$$
Razem otrzymujemy $60+72=132$ punktów dla $12+18=30$ osób.
Wspólna średnia wynosi: $$\overline{x}=\frac{132}{30}=4{,}4.$$

Odpowiedź: wspólna średnia wynosi $4{,}4$.