Zdarzenia i model klasyczny
Nauczysz się opisywać wszystkie możliwe wyniki doświadczenia, wykonywać działania na zdarzeniach i obliczać prawdopodobieństwo w modelu klasycznym.
Doświadczenie losowe i przestrzeń wyników
Doświadczenie losowe to czynność, której pojedynczego wyniku nie znamy z góry, ale potrafimy opisać wszystkie możliwe rezultaty. Zbiór wszystkich wyników oznaczamy symbolem $\Omega$.
Przykład: dwa rzuty monetą
- Oznaczamy orła symbolem $O$, a reszkę symbolem $R$.
- Kolejność rzutów ma znaczenie, dlatego wynik zapisujemy jako uporządkowaną parę.
- Wypisujemy wszystkie możliwe wyniki.
Zdarzenia i działania na zdarzeniach
Zdarzenie jest podzbiorem przestrzeni $\Omega$. Zdarzenie pewne to całe $\Omega$, a zdarzenie niemożliwe oznaczamy symbolem $\varnothing$.
| Zapis | Znaczenie |
|---|---|
| $A\cup B$ | Zachodzi co najmniej jedno ze zdarzeń $A$ lub $B$. |
| $A\cap B$ | Zachodzą jednocześnie oba zdarzenia. |
| $A'$ | Zdarzenie $A$ nie zachodzi. |
| $A\setminus B$ | Zachodzi $A$, ale nie zachodzi $B$. |
Przykład: zdarzenia w rzucie kostką
Niech $A=\{2,4,6\}$ oznacza wynik parzysty, a $B=\{4,5,6\}$ wynik większy od $3$. Wtedy:
Klasyczny model prawdopodobieństwa
Gdy przestrzeń $\Omega$ jest skończona, a wszystkie wyniki elementarne są jednakowo prawdopodobne, stosujemy wzór:
- Opisz pojedynczy wynik i przestrzeń $\Omega$.
- Sprawdź, czy wyniki elementarne są równoprawdopodobne.
- Policz wszystkie możliwe wyniki, czyli $|\Omega|$.
- Policz wyniki sprzyjające zdarzeniu $A$, czyli $|A|$.
- Podstaw liczby do wzoru i skróć ułamek.
Przykład rozwiązany krok po kroku
Rzucamy dwiema kostkami. Oblicz prawdopodobieństwo, że suma oczek wyniesie $7$.
- Wynik opisujemy jako uporządkowaną parę. Każda kostka ma $6$ możliwych wyników, więc $|\Omega|=6\cdot6=36$.
- Sumę $7$ dają pary: $(1,6)$, $(2,5)$, $(3,4)$, $(4,3)$, $(5,2)$ oraz $(6,1)$.
- Mamy zatem $|A|=6$ wyników sprzyjających.
- Podstawiamy do wzoru: $$P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}.$$
Liczenie przez zdarzenie przeciwne
Zwroty „co najmniej jeden” i „nie wszystkie” często prowadzą do krótszego obliczenia przez zdarzenie przeciwne.
Zadanie rozwiązane: co najmniej jedna szóstka
Kostką rzucamy dwa razy. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania co najmniej jednej szóstki.
- Niech $A$ oznacza otrzymanie co najmniej jednej szóstki.
- Zdarzenie przeciwne $A'$ oznacza brak szóstki w obu rzutach.
- W każdym rzucie prawdopodobieństwo braku szóstki wynosi $\frac{5}{6}$.
- Rzuty są niezależne, dlatego: $$P(A')=\frac{5}{6}\cdot\frac{5}{6}=\frac{25}{36}.$$
- Stosujemy dopełnienie: $$P(A)=1-P(A')=1-\frac{25}{36}=\frac{11}{36}.$$
Typowe błędy
- Pomijanie kolejności, mimo że zmiana kolejności tworzy inny wynik.
- Stosowanie modelu klasycznego do wyników, które nie są równoprawdopodobne.
- Mylenie części wspólnej $A\cap B$ z sumą zdarzeń $A\cup B$.
- Dodawanie $P(A)+P(B)$ bez odjęcia prawdopodobieństwa części wspólnej $P(A\cap B)$.
- Podawanie liczby wyników zamiast prawdopodobieństwa należącego do przedziału $[0,1]$.
Krótkie zadania z rozwiązaniami
Zadanie 1
Rzucamy kostką. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania wyniku większego od $4$.
- Przestrzeń wyników ma postać $\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$, więc $|\Omega|=6$.
- Zdarzeniu $A$ sprzyjają wyniki $5$ i $6$, zatem $|A|=2$.
- Obliczamy: $$P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}.$$
Zadanie 2
Z talii $52$ kart losujemy jedną kartę. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania asa lub króla.
- W talii są $4$ asy i $4$ króle.
- Jedna karta nie może być jednocześnie asem i królem, więc zdarzenia są rozłączne.
- Wyników sprzyjających jest $4+4=8$, a wszystkich możliwych wyników jest $|\Omega|=52$.
- Obliczamy: $$P(A)=\frac{8}{52}=\frac{2}{13}.$$