Po co uczymy się wzorów skróconego mnożenia?
Na maturze można korzystać z karty wzorów. Warto jednak dobrze znać wzory skróconego mnożenia,
ponieważ często pojawiają się one ukryte w równaniach, nierównościach, funkcjach kwadratowych, wielomianach i zadaniach z parametrem.
Najważniejsze nie jest samo zapamiętanie wzorów, ale rozpoznawanie sytuacji, w której można ich użyć.
Czasami jedno zauważenie wzoru skraca rozwiązanie zadania o kilka linijek obliczeń.
Wzory skróconego mnożenia działają w dwie strony. Możemy rozwijać nawiasy albo rozkładać wyrażenie na czynniki.
\[
(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2
\]
\[
a^2+2ab+b^2 = (a+b)^2
\]
Jak rozpoznawać wzory?
W zadaniach wzory rzadko są podane wprost. Często trzeba zauważyć, że jakaś liczba albo wyrażenie jest kwadratem lub sześcianem.
| Widzisz w zadaniu |
Możesz pomyśleć o wzorze |
Przykład |
| Kwadrat nawiasu z plusem |
\((a+b)^2\) |
\((x+5)^2\) |
| Kwadrat nawiasu z minusem |
\((a-b)^2\) |
\((2x-3)^2\) |
| Różnicę dwóch kwadratów |
\(a^2-b^2\) |
\(x^2-49\) |
| Sumę dwóch sześcianów |
\(a^3+b^3\) |
\(x^3+64\) |
| Różnicę dwóch sześcianów |
\(a^3-b^3\) |
\(8x^3-27\) |
Uważaj na częsty błąd:
\[
(a+b)^2 \neq a^2+b^2
\]
W środku musi pojawić się jeszcze składnik \(2ab\).
Kwadrat sumy i kwadrat różnicy krok po kroku
Przykład 1
Kwadrat sumy
Rozwińmy wyrażenie:
\[
(2x+5)^2
\]
Widzimy wzór:
\[
(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2
\]
Ustalamy, że:
\[
a=2x
\]
\[
b=5
\]
Podstawiamy do wzoru:
\[
(2x+5)^2 = (2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot 5 + 5^2
\]
Upraszczamy:
\[
(2x+5)^2 = 4x^2 + 20x + 25
\]
Przykład 2
Kwadrat różnicy
Rozwińmy wyrażenie:
\[
(3x-4)^2
\]
Widzimy wzór:
\[
(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2
\]
Ustalamy, że:
\[
a=3x
\]
\[
b=4
\]
Podstawiamy:
\[
(3x-4)^2 = (3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot 4 + 4^2
\]
Upraszczamy:
\[
(3x-4)^2 = 9x^2 - 24x + 16
\]
Zwróć uwagę, że ostatni składnik w kwadracie różnicy jest dodatni.
Minus pojawia się tylko przy środkowym składniku.
Różnica kwadratów
Różnica kwadratów jest jednym z najczęściej używanych wzorów przy rozkładaniu na czynniki.
\[
a^2-b^2 = (a-b)(a+b)
\]
Przykład 3
Rozkład na czynniki
Rozłóżmy na czynniki:
\[
4x^2-81
\]
Zauważamy, że:
\[
4x^2 = (2x)^2
\]
\[
81 = 9^2
\]
Mamy więc różnicę kwadratów:
\[
4x^2-81 = (2x)^2-9^2
\]
Stosujemy wzór:
\[
(2x)^2-9^2 = (2x-9)(2x+9)
\]
Wzoru na różnicę kwadratów nie stosujemy do sumy kwadratów.
Wyrażenie \(a^2+b^2\) nie rozkłada się tym wzorem.
Wzory z sześcianami
Wzory z sześcianami pojawiają się rzadziej niż wzory kwadratowe, ale są bardzo przydatne przy wielomianach.
Suma sześcianów:
\[
a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)
\]
W pierwszym nawiasie zostaje ten sam znak, czyli plus.
Różnica sześcianów:
\[
a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)
\]
W pierwszym nawiasie zostaje ten sam znak, czyli minus.
Przykład 4
Suma sześcianów
Rozłóżmy na czynniki:
\[
x^3+125
\]
Zauważamy, że:
\[
125 = 5^3
\]
Zapisujemy wyrażenie jako sumę sześcianów:
\[
x^3+125 = x^3+5^3
\]
Stosujemy wzór:
\[
x^3+5^3 = (x+5)(x^2-5x+25)
\]
Przykład 5
Różnica sześcianów
Rozłóżmy na czynniki:
\[
8x^3-27
\]
Zauważamy, że:
\[
8x^3 = (2x)^3
\]
\[
27 = 3^3
\]
Zapisujemy:
\[
8x^3-27 = (2x)^3-3^3
\]
Stosujemy wzór:
\[
(2x)^3-3^3 = (2x-3)\left((2x)^2+2x \cdot 3+3^2\right)
\]
Upraszczamy:
\[
8x^3-27 = (2x-3)(4x^2+6x+9)
\]
Kalkulator rozwijania wzorów skróconego mnożenia
Wybierz wzór, wpisz wartości \(a\) oraz \(b\), a kalkulator pokaże podstawienie do wzoru.
Możesz wpisać liczby, na przykład \(2\) i \(5\), albo proste wyrażenia, na przykład \(2x\) i \(3\).
Dane do obliczeń
Przy wartościach liczbowych kalkulator dodatkowo obliczy wynik. Przy wyrażeniach algebraicznych pokaże schemat podstawienia.
Wynik
Wybierz wzór i kliknij „Pokaż wynik”.
Jak sprawdzić, czy trójmian jest kwadratem?
Czasami trzeba rozpoznać, czy wyrażenie można zapisać jako kwadrat sumy lub kwadrat różnicy.
\[
a^2+2ab+b^2 = (a+b)^2
\]
\[
a^2-2ab+b^2 = (a-b)^2
\]
Przykład 6
Ukryty kwadrat
Zapiszmy w postaci kwadratu:
\[
x^2+12x+36
\]
Pierwszy składnik to:
\[
x^2
\]
Ostatni składnik to:
\[
36 = 6^2
\]
Sprawdzamy środkowy składnik:
\[
2 \cdot x \cdot 6 = 12x
\]
Wszystko się zgadza, więc:
\[
x^2+12x+36 = (x+6)^2
\]
Przykład 7
Kwadrat różnicy
Zapiszmy w postaci kwadratu:
\[
9x^2-30x+25
\]
Pierwszy składnik:
\[
9x^2 = (3x)^2
\]
Ostatni składnik:
\[
25 = 5^2
\]
Sprawdzamy środkowy składnik:
\[
2 \cdot 3x \cdot 5 = 30x
\]
Ponieważ środkowy składnik jest ujemny, mamy kwadrat różnicy:
\[
9x^2-30x+25 = (3x-5)^2
\]
Najczęstsze błędy
-
Pomijanie środkowego składnika:
\[
(a+b)^2 \neq a^2+b^2
\]
-
Zmienianie znaku ostatniego składnika w kwadracie różnicy:
\[
(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2
\]
-
Mylenie różnicy kwadratów z kwadratem różnicy:
\[
a^2-b^2 \neq (a-b)^2
\]
-
Zapominanie o nawiasie przy potędze:
\[
(2x)^2 = 4x^2
\]
ale
\[
2x^2 \text{ zostaje } 2x^2
\]
Nawias ma ogromne znaczenie. Wyrażenia \((2x)^2\) oraz \(2x^2\) nie oznaczają tego samego.
Kalkulator zwijania trójmianu do kwadratu
Ten kalkulator sprawdza, czy trójmian kwadratowy można zapisać jako kwadrat sumy albo kwadrat różnicy.
Wpisz współczynniki trójmianu w postaci:
\[
ax^2+bx+c
\]
Kalkulator sprawdza warunek:
\[
b^2 = 4ac
\]
Jeżeli ten warunek jest spełniony oraz \(a\) i \(c\) są kwadratami, wtedy trójmian można zwinąć do postaci
\((px+q)^2\) albo \((px-q)^2\).
Dane trójmianu
Wpisz współczynniki \(a\), \(b\), \(c\) z wyrażenia:
\[
ax^2+bx+c
\]
Przykład: dla \(x^2+12x+36\) wpisujemy \(a=1\), \(b=12\), \(c=36\).
Wynik sprawdzenia
Wpisz współczynniki i kliknij „Sprawdź zwijanie”.
Jak działa ten kalkulator?
Schemat sprawdzania
Najpierw sprawdzamy, czy pierwszy składnik jest kwadratem:
\[
ax^2 = (px)^2
\]
Potem sprawdzamy, czy ostatni składnik jest kwadratem:
\[
c = q^2
\]
Następnie sprawdzamy środkowy składnik:
\[
b^2 = 4ac
\]
Jeżeli wszystko się zgadza, możemy zapisać:
\[
ax^2+bx+c = (px+q)^2
\]
albo
\[
ax^2+bx+c = (px-q)^2
\]
Sam warunek \(b^2=4ac\) mówi, że trójmian ma postać kwadratu.
Znak przy środkowym składniku decyduje, czy będzie to kwadrat sumy, czy kwadrat różnicy.
Schemat pracy z wzorami
Krok 1. Sprawdź, czy w wyrażeniu występuje nawias do kwadratu, nawias do sześcianu, różnica kwadratów albo suma/różnica sześcianów.
Krok 2. Ustal, co w danym wzorze pełni rolę \(a\), a co pełni rolę \(b\).
Krok 3. Podstaw do odpowiedniego wzoru.
Krok 4. Uprość wynik i sprawdź znaki.
Krok 5. Zastanów się, czy zadanie wymaga rozwinięcia nawiasów, czy rozkładu na czynniki.
Podsumowanie
Wzory skróconego mnożenia pomagają szybciej wykonywać przekształcenia algebraiczne.
Najważniejsze wzory, które trzeba dobrze rozpoznawać, to:
\[
(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2
\]
\[
(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2
\]
\[
a^2-b^2 = (a-b)(a+b)
\]
\[
(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3
\]
\[
(a-b)^3 = a^3-3a^2b+3ab^2-b^3
\]
\[
a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)
\]
\[
a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)
\]
Najlepszy sposób nauki tego tematu to rozwiązywanie przykładów w obie strony:
raz rozwijamy nawiasy, a raz próbujemy wrócić do postaci iloczynowej.