Matematyka Krok po Kroku← Planimetria
Planimetria

Wielokąty foremne

Zobacz, jak jeden podział figury na przystające trójkąty wyjaśnia kąty, przekątne, apotemę, obwód i pole wielokąta foremnego.

1. Definicja wielokąta foremnego

Wielokąt foremny ma wszystkie boki równe i wszystkie kąty wewnętrzne równe. Ma środek symetrii obrotowej, a odcinki łączące środek z wierzchołkami dzielą go na przystające trójkąty.

Okąt środkowy 60°
Dla sześciokąta \(360^\circ:6=60^\circ\). Powstaje sześć trójkątów równobocznych.
Warunek foremności: równe boki bez równych kątów nie wystarczą — oba warunki muszą zachodzić jednocześnie.

2. Suma kątów wewnętrznych

Każdy \(n\)-kąt można podzielić przekątnymi wychodzącymi z jednego wierzchołka na \(n-2\) trójkąty:

\[S=(n-2)180^\circ.\]

3. Kąt wewnętrzny i zewnętrzny

\[\alpha=\frac{(n-2)180^\circ}{n},\qquad \beta=\frac{360^\circ}{n}.\]

Kąt wewnętrzny i odpowiadający mu zewnętrzny sumują się do \(180^\circ\).

4. Liczba przekątnych

Z każdego wierzchołka wychodzi \(n-3\) przekątnych, ale każdą liczymy dwukrotnie:

\[d=\frac{n(n-3)}2.\]

5. Okrąg wpisany i opisany

Środek wielokąta foremnego jest jednocześnie środkiem okręgu wpisanego i opisanego. Promień okręgu wpisanego \(r\) jest apotemą, czyli wysokością jednego z trójkątów środkowych.

6. Pole wielokąta foremnego

Dzielimy wielokąt na \(n\) przystających trójkątów o podstawie \(a\) i wysokości \(r\). Wysokość ta jest apotemą i jednocześnie promieniem okręgu wpisanego.

r — apotemaa
Każdy trójkąt ma pole \(\frac12ar\); sumujemy pola wszystkich \(n\) trójkątów.
\[P=n\cdot\frac{ar}{2}=\frac{Or}{2}.\]

Druga postać wzoru wynika z tego, że obwód \(O=na\). Przed podstawieniem sprawdź, czy podany promień jest promieniem okręgu wpisanego, czy opisanego.

7. Sześciokąt foremny

Sześciokąt foremny dzieli się na sześć trójkątów równobocznych. Dla boku \(a=4\):

\[P=6\cdot\frac{4^2\sqrt3}{4}=24\sqrt3.\]

Promień okręgu opisanego jest równy bokowi: \(R=a\).

8. Wyznaczanie liczby boków

Kąt zewnętrzny wielokąta foremnego ma \(45^\circ\). Z równania \(\frac{360^\circ}{n}=45^\circ\) otrzymujemy \(n=8\). Kąt wewnętrzny wynosi \(135^\circ\).

9. Typowe błędy

  • Mylenie sumy kątów z miarą jednego kąta.
  • Liczenie każdej przekątnej dwa razy.
  • Mylenie apotemy z promieniem okręgu opisanego.
  • Zakładanie foremności tylko na podstawie równych boków.

10. Ćwiczenia

  1. Oblicz sumę kątów pięciokąta.
  2. Oblicz kąt wewnętrzny ośmiokąta foremnego.
  3. Ile przekątnych ma dziesięciokąt?
  4. Wielokąt foremny ma kąt zewnętrzny \(30^\circ\). Ile ma boków?
Odpowiedzi

\(540^\circ\); \(135^\circ\); \(35\); \(12\).

11. Podsumowanie

Foremność oznacza jednocześnie równość boków i kątów. Podział na trójkąty środkowe ułatwia obliczanie pól, promieni i kątów.