Matematyka Krok po Kroku← Planimetria
Planimetria

Trygonometria w planimetrii

Przełóż rysunek geometryczny na zależności między bokami i kątami. Każdy przykład prowadzi od wyboru trójkąta do kontroli wyniku i jednostki.

1. Wyznaczanie odcinków

Figurę dzielimy na trójkąty prostokątne. Nazwy „przeciwległa” i „przyległa” zawsze odnoszą się do wybranego kąta \(\alpha\).

αb — przyległaa — przeciwległac — przeciwprostokątna
Najpierw zaznacz kąt, potem nazwij boki. To eliminuje większość pomyłek z sinusem i cosinusem.
\[\sin\alpha=\frac{a}{c},\qquad \cos\alpha=\frac{b}{c},\qquad \tan\alpha=\frac{a}{b}.\]
  1. Wskaż kąt prosty i przeciwprostokątną.
  2. Względem kąta \(\alpha\) podpisz bok naprzeciw i bok przyległy.
  3. Wybierz iloraz zawierający daną i szukaną.

2. Wysokość obiektu

Z punktu oddalonego o \(20\) m widać szczyt pod kątem \(35^\circ\). Pomijając wysokość obserwatora:

\[\tan35^\circ=\frac{h}{20},\qquad h=20\tan35^\circ\approx14{,}0\text{ m}.\]

3. Pole trójkąta z sinusem

Gdy znamy dwa boki i kąt między nimi, wysokość opuszczona na bok \(a\) ma długość \(h=b\sin\gamma\). Po podstawieniu do \(P=\frac12ah\) otrzymujemy wzór:

γabh=b sin γ
Wzór wynika bezpośrednio z definicji sinusa w powstałym trójkącie prostokątnym.
\[P=\frac12ab\sin\gamma.\]

Kąt \(\gamma\) musi leżeć między bokami \(a\) i \(b\). Jeśli podany jest inny kąt, najpierw wyznacz właściwy albo wybierz inną parę boków.

4. Pole — przykład

Dane są boki \(5\), \(8\) i kąt \(60^\circ\) między nimi:

\[P=\frac12\cdot5\cdot8\cdot\sin60^\circ=10\sqrt3.\]

5. Twierdzenie sinusów

Dla dowolnego trójkąta:

\[\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}=2R.\]

Stosujemy je, gdy znamy parę bok–kąt naprzeciw niego i szukamy kolejnego boku lub kąta.

6. Twierdzenie cosinusów

\[c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma.\]

Jest uogólnieniem twierdzenia Pitagorasa. Przy \(\gamma=90^\circ\) składnik z cosinusem znika.

7. Trygonometria w wielokątach

Wielokąt dzielimy przekątnymi na trójkąty. W wielokącie foremnym korzystamy z trójkątów środkowych o kącie \(\frac{360^\circ}{n}\), co pozwala wyznaczać apotemę, promienie i pole.

8. Schemat zadania maturalnego

  1. Wykonaj rysunek i oznacz dane.
  2. Wskaż trójkąt, w którym znajdują się dane i szukana.
  3. Dobierz funkcję lub twierdzenie.
  4. Policz bez przedwczesnego zaokrąglania.
  5. Sprawdź jednostkę i sens długości lub kąta.

9. Typowe błędy

  • Wybranie kąta, który nie leży między bokami we wzorze na pole.
  • Mylenie boku naprzeciw kąta z przyległym.
  • Tryb radianowy kalkulatora zamiast stopni.
  • Zaokrąglanie wartości pośrednich.

10. Ćwiczenia

  1. Oblicz pole dla \(a=6\), \(b=4\), \(\gamma=30^\circ\).
  2. Jeśli \(\sin\alpha=\frac35\) i \(\alpha\) jest ostry, podaj \(\cos\alpha\).
  3. Przyprostokątna długości \(5\) leży naprzeciw kąta \(30^\circ\). Oblicz przeciwprostokątną.
  4. Dwa boki mają \(4\), \(7\), a kąt między nimi \(60^\circ\). Oblicz trzeci bok.
Odpowiedzi

\(6\); \(\frac45\); \(10\); \(\sqrt{37}\).

11. Podsumowanie

Trygonometria zamienia informacje o kątach na zależności długości. Kluczowe jest wybranie właściwego trójkąta i prawidłowe przyporządkowanie boków.