M Matematyka Krok po Kroku Równania i nierówności
Równania i nierówności • Lekcja

Równania kwadratowe

W tej lekcji nauczysz się rozpoznawać równania kwadratowe, sprowadzać je do postaci standardowej, dobierać odpowiednią metodę rozwiązania oraz rozwiązywać je za pomocą delty, rozkładu na czynniki i wyłączania wspólnego czynnika przed nawias.

\(ax^2+bx+c=0\) podstawowa postać równania kwadratowego
\(\Delta=b^2-4ac\) najważniejszy wzór przy metodzie delty
3 metody delta, rozkład na czynniki, wspólny czynnik
Wprowadzenie

Czym jest równanie kwadratowe?

Równanie kwadratowe to równanie, w którym najwyższa potęga niewiadomej wynosi \(2\). Najczęściej zapisujemy je w postaci ogólnej.

Postać ogólna równania kwadratowego
\[ ax^2+bx+c=0 \]

gdzie \(a\), \(b\), \(c\) są liczbami rzeczywistymi oraz koniecznie \(a\neq 0\). Warunek \(a\neq 0\) jest bardzo ważny, ponieważ gdyby \(a=0\), równanie nie byłoby już kwadratowe.

Współczynnik \(a\)

Stoi przy \(x^2\). To on decyduje, że równanie jest kwadratowe. Musi być różny od zera.

Współczynniki \(b\) i \(c\)

\(b\) stoi przy \(x\), a \(c\) jest wyrazem wolnym. Te współczynniki mogą być równe zero.

Najważniejsza zasada

Zanim zaczniesz liczyć deltę, równanie musi być sprowadzone do postaci \[ ax^2+bx+c=0. \] Dopiero wtedy poprawnie odczytujemy \(a\), \(b\) oraz \(c\).

Strategia

Metody rozwiązywania równań kwadratowych

Równania kwadratowe możemy rozwiązywać na kilka sposobów. Czasami najlepsza jest delta, ale w prostych przykładach szybciej działa rozkład na czynniki.

Metoda 1

Rozkład na czynniki

Stosujemy, gdy łatwo zauważyć wzór skróconego mnożenia albo da się zapisać równanie jako iloczyn.

\[ (x-3)(x+3)=0 \]
Metoda 2

Wyłączenie czynnika

Przydatne, gdy każdy składnik ma wspólny czynnik, na przykład \(x\), \(2x\), \(3x\).

\[ 3x^2+6x=3x(x+2) \]
Metoda 3

Wzór kwadratowy

Najbardziej uniwersalna metoda. Działa dla każdego równania kwadratowego w postaci ogólnej.

\[ \Delta=b^2-4ac \]
Jak wybierać metodę?

Jeżeli widzisz wspólny czynnik, najpierw spróbuj go wyłączyć. Jeżeli widzisz wzór skróconego mnożenia, spróbuj rozłożyć wyrażenie na czynniki. Jeżeli przykład nie jest oczywisty, użyj delty.

Wzory

Delta i liczba rozwiązań

Delta pozwala sprawdzić, ile rozwiązań rzeczywistych ma równanie kwadratowe.

Wzór na deltę
\[ \Delta=b^2-4ac \]

\(\Delta \gt 0\)

Równanie ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste.

\[ x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} \] \[ x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \]

\(\Delta = 0\)

Równanie ma jeden pierwiastek podwójny.

\[ x=\frac{-b}{2a} \]

\(\Delta \lt 0\)

Równanie nie ma pierwiastków w zbiorze liczb rzeczywistych.

\[ \text{brak rozwiązań w } \mathbb{R} \]
1
Sprowadź równanie do postaci ogólnej.

Zapisz je jako \(ax^2+bx+c=0\).

2
Odczytaj współczynniki.

Ustal wartości \(a\), \(b\), \(c\).

3
Oblicz deltę.

Podstaw współczynniki do wzoru \(\Delta=b^2-4ac\).

4
Wyznacz pierwiastki.

Wybierz odpowiedni wzór w zależności od znaku delty.

Przykłady

Rozwiązywanie równań kwadratowych krok po kroku

Poniżej znajdują się przykłady pokazujące trzy sytuacje dla delty oraz proste rozwiązania przez rozkład na czynniki.

Przykład 1. Delta dodatnia
dwa rozwiązania

Rozwiąż równanie kwadratowe:

\[ x^2-5x+6=0 \]

Jest to równanie postaci \(ax^2+bx+c=0\), gdzie:

\[ a=1,\quad{} b=-5,\quad{} c=6 \]

Obliczamy deltę:

\[ \Delta=b^2-4ac \] \[ \Delta=(-5)^2-4\cdot 1\cdot 6=25-24=1 \]

Delta jest dodatnia, więc równanie ma dwa pierwiastki:

\[ \begin{aligned} x_1&=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} =\frac{-(-5)-\sqrt{1}}{2\cdot 1} =\frac{5-1}{2} =\frac{4}{2} =2 \\[6pt] x_2&=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} =\frac{-(-5)+\sqrt{1}}{2\cdot 1} =\frac{5+1}{2} =\frac{6}{2} =3 \end{aligned} \]
Odpowiedź: \(x_1=2\), \(x_2=3\).
Przykład 2. Delta równa zero
jeden pierwiastek

Rozwiąż równanie kwadratowe:

\[ 4x^2-12x+9=0 \]

Odczytujemy współczynniki:

\[ a=4,\quad{} b=-12,\quad{} c=9 \]

Obliczamy deltę:

\[ \Delta=(-12)^2-4\cdot 4\cdot 9=144-144=0 \]

Delta równa zero oznacza, że mamy jeden pierwiastek podwójny:

\[ x=\frac{-b}{2a} =\frac{-(-12)}{2\cdot 4} =\frac{12}{8} =\frac{3}{2} \]
Odpowiedź: \(x=\frac{3}{2}\).
Przykład 3. Delta ujemna
brak rozwiązań w \( \mathbb{R} \)

Rozwiąż równanie kwadratowe:

\[ x^2+4x+5=0 \]

Odczytujemy współczynniki:

\[ a=1,\quad{} b=4,\quad{} c=5 \]

Obliczamy deltę:

\[ \Delta=4^2-4\cdot 1\cdot 5=16-20=-4 \]

Ponieważ \(\Delta \lt 0\), równanie nie ma pierwiastków w zbiorze liczb rzeczywistych.

Odpowiedź: równanie nie ma pierwiastków w zbiorze liczb rzeczywistych.
Przykład 4. Najpierw sprowadzamy do postaci ogólnej
przekształcenie

Rozwiąż równanie kwadratowe:

\[ 2x^2=5x-3 \]

Najpierw przenosimy wszystkie składniki na jedną stronę:

\[ 2x^2-5x+3=0 \]

Odczytujemy współczynniki:

\[ a=2,\quad{} b=-5,\quad{} c=3 \]

Obliczamy deltę:

\[ \Delta=(-5)^2-4\cdot 2\cdot 3=25-24=1 \]

Delta jest dodatnia, więc mamy dwa pierwiastki rzeczywiste:

\[ \begin{aligned} x_1&=\frac{-(-5)-\sqrt{1}}{2\cdot 2} =\frac{5-1}{4} =\frac{4}{4} =1 \\[6pt] x_2&=\frac{-(-5)+\sqrt{1}}{2\cdot 2} =\frac{5+1}{4} =\frac{6}{4} =\frac{3}{2} \end{aligned} \]
Odpowiedź: \(x_1=1\), \(x_2=\frac{3}{2}\).
Przykład 5. Wyłączenie wspólnego czynnika
iloczyn równy zero

Rozwiąż równanie kwadratowe:

\[ 3x^2+6x=0 \]

Wyłączamy wspólny czynnik \(3x\) przed nawias:

\[ 3x^2+6x=3x(x+2) \] \[ 3x(x+2)=0 \]

Iloczyn jest równy zero, gdy przynajmniej jeden z czynników jest równy zero:

\[ \begin{aligned} 3x&=0 \\ x&=0 \\[6pt] x+2&=0 \\ x&=-2 \end{aligned} \]
Odpowiedź: \(x=0\) lub \(x=-2\).
Przykład 6. Różnica kwadratów
wzór skróconego mnożenia

Rozwiąż równanie kwadratowe:

\[ x^2-9=0 \]

Zauważmy, że \(x^2-9\) to różnica kwadratów:

\[ x^2-9=x^2-3^2 \] \[ x^2-9=(x-3)(x+3) \]

Teraz przyrównujemy każdy czynnik do zera:

\[ \begin{aligned} x-3&=0 \\ x&=3 \\[6pt] x+3&=0 \\ x&=-3 \end{aligned} \]
Odpowiedź: \(x=-3\) lub \(x=3\).
Ćwiczenie interaktywne

Kalkulator równania kwadratowego

Wpisz współczynniki \(a\), \(b\), \(c\), a kalkulator pokaże deltę, liczbę rozwiązań oraz pierwiastki równania w postaci krok po kroku.

Rozwiązujemy równanie
\[ ax^2+bx+c=0 \]
Najważniejsze informacje

Podsumowanie

Równania kwadratowe pojawiają się bardzo często, dlatego warto dobrze opanować schemat ich rozwiązywania.

Postać ogólna \[ ax^2+bx+c=0,\quad{} a\neq 0 \]
Delta \[ \Delta=b^2-4ac \]
Dwa rozwiązania \[ \Delta \gt 0 \]
Jedno rozwiązanie \[ \Delta=0 \]
Brak rozwiązań rzeczywistych \[ \Delta \lt 0 \]
Warto pamiętać

Zawsze najpierw sprowadzamy równanie do postaci \(ax^2+bx+c=0\), a dopiero potem odczytujemy współczynniki.