Matematyka Krok po Kroku Wróć do działu
Lekcja

Przedziały liczbowe

Przedział liczbowy jest to zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających określone warunki. Dzięki przedziałom możemy krótko zapisywać, jakie liczby nas interesują, na przykład wszystkie liczby większe od jednej liczby i mniejsze od drugiej.

Czym jest przedział liczbowy?

Przedział liczbowy służy do zapisywania fragmentu osi liczbowej. Możemy zaznaczyć na nim wszystkie liczby, które spełniają dany warunek.

Możemy wyróżnić między innymi:

Przedział otwarty

Końce przedziału nie należą do przedziału.

Przedział zamknięty

Końce przedziału należą do przedziału.

Przedział ograniczony

Ma określony początek i koniec.

Przedział nieograniczony

Jeden z krańców przedziału jest nieskończony.

Podczas zaznaczania przedziałów na osi liczbowej używamy dwóch oznaczeń: \[ \bullet \quad \text{liczba należy do przedziału} \] \[ \circ \quad \text{liczba nie należy do przedziału} \]
Jeżeli kropka jest zamalowana, to koniec przedziału jest wliczany. Jeżeli kropka jest pusta, to koniec przedziału nie jest wliczany.

Przedział otwarty

Przedział otwarty oznaczamy jako:

\[ (a,b) \]

Zakładamy tutaj, że \(a \lt b \). Taki przedział oznacza zbiór wszystkich liczb rzeczywistych większych od \(a\), ale mniejszych od \(b\).

\[ a \lt x \lt b \]

Końce przedziału, czyli liczby \(a\) oraz \(b\), nie należą do przedziału.

Przedział otwarty \((a,b)\)
x
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
a
b
Przykład

Zaznaczymy na osi liczbowej wszystkie liczby spełniające warunek:

\[ x \in (-4,3) \]

Innymi słowy szukamy wszystkich liczb, które spełniają jednocześnie dwa warunki:

\[ x \gt -4 \quad \text{oraz} \quad x \lt 3 \]
Przedział \((-4,3)\)
x
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3

Przedział zamknięty

Przedział zamknięty oznaczamy jako:

\[ [a,b] \]

Zakładamy, że \(a \lt b \). Taki przedział oznacza zbiór wszystkich liczb rzeczywistych większych bądź równych \(a\), ale również mniejszych bądź równych \(b\).

\[ a \leq x \leq b \]

Końce przedziału, czyli liczby \(a\) oraz \(b\), należą do przedziału.

Przedział zamknięty \([a,b]\)
x
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
a
b
Przykład

Zaznaczymy na osi liczbowej wszystkie liczby spełniające warunek:

\[ x \in [-2,3] \]

Musimy zaznaczyć wszystkie liczby spełniające jednocześnie dwa warunki:

\[ x\geq -2 \quad \text{oraz} \quad x\leq 3 \]
Przedział \([-2,3]\)
x
-3
-2
-1
0
1
2
3

Przedział lewostronnie domknięty

Przedział lewostronnie domknięty oznaczamy jako:

\[ [a,b) \]

Zakładamy, że \(a \lt b \). Taki przedział oznacza zbiór wszystkich liczb większych bądź równych \(a\), ale mniejszych od \(b\).

\[ a \leq x \lt b \]

Liczba \(a\) należy do przedziału, natomiast liczba \(b\) nie należy do przedziału.

W tym przedziale najmniejszą liczbą jest \(a\), ale nie ma największej liczby. Do liczby \(b\) możemy się zbliżać, ale nie możemy jej wziąć.
Przedział \([a,b)\)
x
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
a
b
Przykład

Zaznaczymy na osi liczbowej wszystkie liczby spełniające warunek:

\[ x \in [-2,4) \]

Czyli:

\[ x\geq -2 \quad \text{oraz} \quad x \lt 4 \]
Przedział \([-2,4)\)
x
-3
-2
-1
0
1
2
4

Przedział prawostronnie domknięty

Przedział prawostronnie domknięty oznaczamy jako:

\[ (a,b] \]

Zakładamy, że \(a \lt b\). Taki przedział oznacza zbiór wszystkich liczb większych od \(a\), ale mniejszych bądź równych \(b\).

\[ a \lt x \leq b \]

Liczba \(a\) nie należy do przedziału, natomiast liczba \(b\) należy do przedziału.

W tym przedziale nie ma najmniejszej liczby, ale największą liczbą jest \(b\).
Przedział \((a,b]\)
x
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
a
b
Przykład

Zaznaczymy na osi liczbowej wszystkie liczby spełniające warunek:

\[ x \in (-2,4] \]

Czyli:

\[ x \gt -2 \quad \text{oraz} \quad x\leq 4 \]
Przedział \((-2,4]\)
x
-3
-2
-1
0
1
2
4
Wszystkie powyższe przedziały są przedziałami ograniczonymi, ponieważ mają określony lewy i prawy koniec.

Przedziały nieograniczone

Przedziały nieograniczone to takie przedziały, w których jednym z krańców jest \(+\infty\) albo \(-\infty\).

Nieskończoności nigdy nie zamykamy. Dlatego przy \(+\infty\) oraz \(-\infty\) zawsze używamy nawiasu okrągłego.
Przedział Warunek Opis
\((a,\infty)\) \(\frac{x}{g}t a\) Liczby większe od \(a\), bez liczby \(a\).
\([a,\infty)\) \(x\geq a\) Liczby większe lub równe \(a\).
\((-\infty,a)\) \(x \lt a\) Liczby mniejsze od \(a\), bez liczby \(a\).
\((-\infty,a]\) \(x\leq a\) Liczby mniejsze lub równe \(a\).

Przedział \((a,\infty)\)

\((a,\infty)\)
x
-4
-3
-2
-1
0
1
2
a

Przedział \([a,\infty)\)

\([a,\infty)\)
x
-4
-3
-2
-1
0
1
2
a

Przedział \((-\infty,a)\)

\((-\infty,a)\)
x
-4
-3
-2
-1
0
1
2
a

Przedział \((-\infty,a]\)

\((-\infty,a]\)
x
-4
-3
-2
-1
0
1
2
a

Działania na przedziałach

Skoro wiemy już, czym są przedziały i jak zaznaczać je na osi liczbowej, możemy przejść do działań na przedziałach.

Suma przedziałów

\(A \cup B\)

Bierzemy wszystko, co należy do \(A\) lub do \(B\).

Część wspólna przedziałów

\(A \cap B\)

Bierzemy tylko to, co należy jednocześnie do \(A\) i do \(B\).

Różnica przedziałów

\(A \setminus B\)

Bierzemy to, co należy do \(A\), ale nie należy do \(B\).

Kolejność ma znaczenie

\(A \setminus B\) zwykle daje inny wynik niż \(B \setminus A\).

Suma przedziałów

Przykład

Niech:

\[ A=[-3,4] \quad \text{oraz} \quad B=(-4,2) \]

Sumując przedziały, bierzemy wszystkie liczby, które należą do pierwszego albo do drugiego przedziału.

Suma przedziałów \(A \cup B\)
x
-5
-4
-3
-2
-1
0
2
4
5

Odpowiedź:

\[ A \cup B = [-3,4] \cup (-4,2) = (-4,4] \]

Część wspólna przedziałów

Przykład

Szukamy części wspólnej przedziałów:

\[ A=[-3,4] \quad \text{oraz} \quad B=(-4,2) \]

Częścią wspólną będą te liczby, które jednocześnie należą do przedziału \(A\) i do przedziału \(B\).

Część wspólna \(A \cap B\)
x
-5
-4
-3
-2
-1
0
2
4
5

Odpowiedź:

\[ A \cap B = [-3,4] \cap (-4,2) = [-3,2) \]

Różnica przedziałów

Odejmując przedziały od siebie, musimy szczególnie uważać na końce przedziałów.

Przykład

Obliczymy:

\[ A \setminus B \]

gdzie:

\[ A=[-3,4] \quad \text{oraz} \quad B=(-4,2) \]

Szukamy tego, co należy do \(A\), ale nie należy do \(B\).

Przedział \(B=(-4,2)\) nie zawiera liczby \(2\), więc po odjęciu przedziału \(B\) liczba \(2\) zostaje w wyniku.
Różnica \(A \setminus B\)
x
-5
-4
-3
-2
-1
0
2
4
5

Odpowiedź:

\[ A \setminus B = [-3,4] \setminus (-4,2) = [2,4] \]
Przykład

Teraz odwrócimy kolejność i obliczymy:

\[ B \setminus A \]

gdzie:

\[ B=(-4,2) \quad \text{oraz} \quad A=[-3,4] \]

Szukamy tego, co należy do \(B\), ale nie należy do \(A\).

Różnica \(B \setminus A\)
x
-5
-4
-3
-2
-1
0
2
4
5

Odpowiedź:

\[ B \setminus A = (-4,2) \setminus [-3,4] = (-4,-3) \]

Najważniejsze rzeczy do zapamiętania

Zapis Nierówność Końce przedziału
\((a,b)\) \(a \lt x \lt b\) Oba końce nie należą do przedziału.
\([a,b]\) \(a\leq x\leq b\) Oba końce należą do przedziału.
\([a,b)\) \(a\leq x \lt b\) Lewy koniec należy, prawy nie należy.
\((a,b]\) \(a \lt x\leq b\) Lewy koniec nie należy, prawy należy.
\((a,\infty)\) \(x \gt a\) Liczba \(a\) nie należy do przedziału.
\([a,\infty)\) \(x\geq a\) Liczba \(a\) należy do przedziału.
\((-\infty,a)\) \(x \lt a\) Liczba \(a\) nie należy do przedziału.
\((-\infty,a]\) \(x\leq a\) Liczba \(a\) należy do przedziału.