Podzielność liczb
W tej lekcji nauczysz się sprawdzać podzielność liczb, rozpoznawać liczby pierwsze i złożone, rozkładać liczby na czynniki pierwsze oraz obliczać NWD i NWW.
Kalkulator NWD i NWW
Wpisz dwie dodatnie liczby całkowite. Kalkulator pokaże wynik oraz skrócony zapis algorytmu Euklidesa.
Pojęcie podzielności
Mówimy, że liczba a jest podzielna przez liczbę b, gdzie b ≠ 0, jeżeli istnieje taka liczba całkowita k, że:
Liczba 12 jest podzielna przez 3.
Liczba 10 nie jest podzielna przez 3.
Cechy podzielności
Cechy podzielności pozwalają szybko sprawdzić, czy liczba jest podzielna przez inną liczbę — bez wykonywania długiego dzielenia.
Podzielność przez 2
Liczba jest podzielna przez 2, jeżeli jej ostatnia cyfra jest parzysta.
Podzielność przez 3
Liczba jest podzielna przez 3, jeżeli suma jej cyfr jest podzielna przez 3.
Podzielność przez 4
Liczba jest podzielna przez 4, jeżeli liczba z dwóch ostatnich cyfr dzieli się przez 4.
Podzielność przez 5
Liczba jest podzielna przez 5, jeżeli jej ostatnia cyfra to 0 albo 5.
Podzielność przez 6
Liczba jest podzielna przez 6, jeżeli jest podzielna jednocześnie przez 2 i przez 3.
Podzielność przez 8
Liczba jest podzielna przez 8, jeżeli liczba z trzech ostatnich cyfr dzieli się przez 8.
Podzielność przez 9
Liczba jest podzielna przez 9, jeżeli suma jej cyfr jest podzielna przez 9.
Podzielność przez 10
Liczba jest podzielna przez 10, jeżeli kończy się cyfrą 0.
Liczby pierwsze i złożone
Przykładowe liczby pierwsze
Rozkład na czynniki pierwsze
Każdą liczbę naturalną większą od 1 można zapisać jako iloczyn liczb pierwszych.
- Dzielimy liczbę przez najmniejszą możliwą liczbę pierwszą.
- Powtarzamy dzielenie aż do uzyskania liczby 1.
- Na końcu zapisujemy liczbę jako iloczyn czynników pierwszych.
Rozłóż liczbę 84 na czynniki pierwsze.
| 84 | 2 |
| 42 | 2 |
| 21 | 3 |
| 7 | 7 |
| 1 |
Największy wspólny dzielnik — NWD
Największy wspólny dzielnik dwóch lub więcej liczb to największa liczba, która dzieli każdą z nich bez reszty.
Metoda 1: wypisywanie dzielników
Znajdź NWD(12,18).
Metoda 2: rozkład na czynniki pierwsze
- Rozłóż każdą liczbę na czynniki pierwsze.
- Znajdź czynniki, które występują w obu liczbach.
- Wybierz najmniejsze potęgi tych czynników.
- Pomnóż je.
Znajdź NWD(36,48).
W obu rozkładach występują liczby 2 oraz 3.
Wybieramy mniejsze potęgi:
NWD(36,48) = 12
Interpretacja praktyczna
Mamy 36 jabłek i 48 gruszek. Chcemy podzielić je na jednakowe zestawy.
Możemy zrobić maksymalnie 12 zestawów.
Najmniejsza wspólna wielokrotność — NWW
Najmniejsza wspólna wielokrotność dwóch lub więcej liczb to najmniejsza dodatnia liczba, która jest podzielna przez każdą z nich.
Metoda 1: wypisywanie wielokrotności
Znajdź NWW(4,6).
Metoda 2: rozkład na czynniki pierwsze
- Rozkładamy każdą liczbę na czynniki pierwsze.
- Bierzemy wszystkie czynniki, które występują.
- Dla każdego czynnika wybieramy największą potęgę.
- Mnożymy je.
Znajdź NWW(36,48).
Metoda 3: z wykorzystaniem NWD
Dla dwóch liczb zachodzi zależność:
Znajdź NWW(36,48).
NWW(36,48) = 144
NWW dla więcej niż dwóch liczb
Znajdź NWW(4,6,8).
Interpretacja praktyczna
Dwa światła migają:
- pierwsze co 4 sekundy,
- drugie co 6 sekund.
Po ilu sekundach zapalą się jednocześnie?
Światła zapalą się razem po 12 sekundach.
Podsumowanie
- Podzielność oznacza brak reszty z dzielenia.
- Cechy podzielności pozwalają szybko sprawdzać liczby.
- Liczby pierwsze mają dokładnie dwa dzielniki.
- Każdą liczbę naturalną większą od 1 można rozłożyć na czynniki pierwsze.
- NWD i NWW najwygodniej obliczamy przez rozkład na czynniki pierwsze.
- NWD pomaga dzielić coś na równe części.
- NWW pomaga przy zadaniach z cyklicznym powtarzaniem zdarzeń.