M Matematyka Krok po Kroku Wróć do liczb rzeczywistych

Pierwiastki

W tej lekcji omówimy definicję pierwiastka, dziedzinę pierwiastków, ich własności, usuwanie niewymierności z mianownika, związek pierwiastków z potęgami oraz równania i nierówności z pierwiastkami.

Definicja pierwiastka

Definicja

Pierwiastkiem \(n\)-tego stopnia z liczby \(a\) nazywamy taką liczbę \(b\), że:

\[ b^n = a \]

i zapisujemy:

\[ \sqrt[n]{a} = b \]
Komentarz

Najczęściej spotykamy:

  • pierwiastek kwadratowy \((n=2)\): \(\sqrt{a}\),
  • pierwiastek sześcienny \((n=3)\): \(\sqrt[3]{a}\).

Dziedzina pierwiastków

Twierdzenie
  • Jeżeli \(n\) jest liczbą parzystą, to: \[ \sqrt[n]{a} \text{ istnieje tylko dla } a \geq 0 \]
  • Jeżeli \(n\) jest liczbą nieparzystą, to: \[ \sqrt[n]{a} \text{ istnieje dla każdego } a \in \mathbb{R} \]
Komentarz
  • \(\sqrt{9}=3\), ale \(\sqrt{-9}\) nie istnieje w zbiorze liczb rzeczywistych.
  • \(\sqrt[3]{-8}=-2\), ponieważ pierwiastki nieparzyste mogą być liczone z liczb ujemnych. W tym przypadku: \[ (-2)\cdot(-2)\cdot(-2)=-8 \]

Własności pierwiastków

Twierdzenie

Dla \(a, b \geq 0\) oraz \(n \in \mathbb{N}\) zachodzą własności:

\[ \sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} \] \[ \sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}, \quad b \neq 0 \] \[ \left(\sqrt[n]{a}\right)^n = a \] \[ \sqrt[n]{a^n} = \begin{cases} |a| & \text{dla } n \text{ parzystego} \\ a & \text{dla } n \text{ nieparzystego} \end{cases} \]

Wyłączanie czynnika przed znak pierwiastka

Twierdzenie

Jeżeli liczba pod pierwiastkiem zawiera czynnik będący potęgą \(n\)-tego stopnia, to można go wyłączyć:

\[ \sqrt[n]{a^n \cdot b} = a\sqrt[n]{b} \]

Włączanie czynnika pod znak pierwiastka

Twierdzenie \[ a\sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a^n \cdot b} \]
Komentarz

Włączając czynnik pod pierwiastek, zawsze musimy go podnieść do potęgi, której stopnia jest pierwiastek.

Usuwanie niewymierności z mianownika

Usuwanie niewymierności z mianownika polega na takim przekształceniu wyrażenia algebraicznego, aby w mianowniku nie występował pierwiastek.

Komentarz

Celem jest doprowadzenie wyrażenia do postaci, w której mianownik jest liczbą wymierną, czyli bez pierwiastków.

W praktyce wykonujemy to poprzez pomnożenie licznika i mianownika przez odpowiednio dobrane wyrażenie.

Przypadek 1: Pierwiastek pojedynczy w mianowniku

Twierdzenie

Jeżeli w mianowniku występuje pojedynczy pierwiastek, mnożymy licznik i mianownik przez ten sam pierwiastek:

\[ \frac{1}{\sqrt{a}} = \frac{1 \cdot \sqrt{a}}{\sqrt{a} \cdot \sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a}}{a} \]
Komentarz

Widzimy, że:

\[ \sqrt{a}\cdot\sqrt{a}=a \]

czyli pierwiastek znika z mianownika.

Przypadek 2: Pierwiastek pomnożony przez liczbę

Przykład \[ \frac{1}{k\sqrt{a}} = \frac{1}{k\sqrt{a}} \cdot \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a}}{ka} \]
Komentarz

Postępujemy dokładnie tak samo — mnożymy przez \(\sqrt{a}\).

Przypadek 3: Suma lub różnica z pierwiastkiem

Definicja

Wyrażenie sprzężone do \(a+\sqrt{b}\) ma postać:

\[ a-\sqrt{b} \]

Chodzi o to, że korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów, bo inaczej nie usuniemy pierwiastka z mianownika. Robimy to zawsze, mnożąc przez to samo wyrażenie tylko z przeciwnym znakiem.

Twierdzenie

Aby usunąć niewymierność z mianownika w wyrażeniu:

\[ \frac{1}{a+\sqrt{b}} \]

mnożymy licznik i mianownik przez wyrażenie sprzężone:

\[ \frac{1}{a+\sqrt{b}} \cdot \frac{a-\sqrt{b}}{a-\sqrt{b}} = \frac{a-\sqrt{b}}{(a+\sqrt{b})(a-\sqrt{b})} = \frac{a-\sqrt{b}}{a^2-b} \]
Komentarz

Korzystamy ze wzoru:

\[ (a+b)(a-b)=a^2-b^2 \]

Dlaczego to działa?

Komentarz

Mnożenie licznika i mianownika przez tę samą liczbę różną od zera nie zmienia wartości wyrażenia, bo mnożymy przez \(1\):

\[ \frac{a}{a}=1 \] \[ \frac{a}{b} = \frac{a \cdot c}{b \cdot c} \]

My sprytnie dobieramy \(c\), aby:

  • usunąć pierwiastek,
  • uprościć mianownik.

Najczęstsze błędy

Komentarz
  • Mnożenie tylko licznika, a nie całego ułamka.
  • Złe dobranie wyrażenia sprzężonego.
  • Zapominanie o wzorze skróconego mnożenia.
  • Pozostawienie pierwiastka w mianowniku po przekształceniach.

Związek pierwiastków z potęgami

Twierdzenie \[ \sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}} \] \[ \sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}} \]
Komentarz

Ten zapis jest bardzo ważny przy przekształceniach algebraicznych oraz w zadaniach maturalnych.

Schemat rozwiązywania zadań z pierwiastkami

Schemat

Aby poprawnie rozwiązać zadanie z pierwiastkami, postępuj według kroków:

  1. Sprawdź dziedzinę.
    Jeżeli występują pierwiastki parzystego stopnia, wyrażenie pod pierwiastkiem musi być nieujemne.
  2. Uprość wyrażenie.
    • wyłącz czynniki przed pierwiastek,
    • połącz pierwiastki,
    • zamień na potęgi, jeśli wygodniej.
  3. Usuń niewymierność z mianownika, jeśli występuje.
  4. Wykonaj działania algebraiczne.
    • redukuj wyrazy podobne,
    • stosuj wzory skróconego mnożenia.
  5. Sprawdź wynik.
    Upewnij się, że spełnia warunki dziedziny.

Przykłady maturalne

Przykład

Uprość wyrażenie:

\[ \sqrt{50} - 2\sqrt{8} + \sqrt{18} \]
\[ \begin{aligned} \sqrt{50} &= \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2} && \text{wyłączamy czynnik spod pierwiastka} \\ \sqrt{8} &= \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2} && \text{wyłączamy czynnik spod pierwiastka} \\ \sqrt{18} &= \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2} && \text{wyłączamy czynnik spod pierwiastka} \end{aligned} \]

Podstawiamy nasze poboczne obliczenia i otrzymujemy trzy pierwiastki tego samego stopnia i z tą samą liczbą pod pierwiastkiem.

\[ \begin{aligned} \sqrt{50} - 2\sqrt{8} + \sqrt{18} &= 5\sqrt{2} - 2 \cdot 2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} && \text{podstawiamy wcześniejsze obliczenia} \\ &= 5\sqrt{2} - 4\sqrt{2} + 3\sqrt{2} && \text{wykonujemy mnożenie} \\ &= \sqrt{2}(5 - 4 + 3) && \text{wyłączamy wspólny czynnik przed nawias} \\ &= 4\sqrt{2} \end{aligned} \]
Odpowiedź: \(4\sqrt{2}\)
Przykład

Usuń niewymierność z mianownika:

\[ \frac{3}{\sqrt{5}} \]
Komentarz

Aby usunąć niewymierność z mianownika, musimy przemnożyć nasze wyrażenie przez ułamek, gdzie w liczniku i w mianowniku jest ten sam pierwiastek.

\[ \begin{aligned} \frac{3}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} &= \frac{3\sqrt{5}}{5} && \text{mnożymy przez } \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = 1 \end{aligned} \]
Odpowiedź: \(\frac{3\sqrt{5}}{5}\)
Przykład

Usuń niewymierność z mianownika:

\[ \frac{2}{3 + \sqrt{7}} \]
\[ \begin{aligned} \frac{2}{3 + \sqrt{7}} \cdot \frac{3 - \sqrt{7}}{3 - \sqrt{7}} &= \frac{2(3 - \sqrt{7})}{(3 + \sqrt{7})(3 - \sqrt{7})} && \text{mnożymy przez wyrażenie sprzężone} \\ &= \frac{2(3 - \sqrt{7})}{9 - 7} && \text{stosujemy wzór skróconego mnożenia} \\ &= \frac{2(3 - \sqrt{7})}{2} \\ &= 3 - \sqrt{7} \end{aligned} \]
Odpowiedź: \(3 - \sqrt{7}\)

Równania z pierwiastkami

Schemat

Aby rozwiązać równanie z pierwiastkiem, postępuj według kroków:

  1. Wyznacz dziedzinę.
    Wyrażenia pod pierwiastkami parzystego stopnia muszą być nieujemne.
  2. Usuń pierwiastek.
    Podnieś obie strony równania do odpowiedniej potęgi.
  3. Rozwiąż otrzymane równanie.
  4. Sprawdź rozwiązania.
    Podnoszenie do potęgi może wprowadzić rozwiązania sprzeczne.
Przykład

Rozwiąż równanie:

\[ \sqrt{x - 1} = 3 \]

Najpierw musimy wyznaczyć dziedzinę:

\[ \begin{aligned} x - 1 &\geq 0 && \text{dziedzina} \\ x &\geq 1 \end{aligned} \]

Mamy już określoną dziedzinę \(x \geq 1\), zatem przystępujemy do kolejnego kroku.

\[ \begin{aligned} (\sqrt{x - 1})^2 &= 3^2 && \text{podnosimy obie strony równania do kwadratu} \\ x - 1 &= 9 && \text{przekształcamy równanie} \\ x &= 10 \end{aligned} \]
Odpowiedź: \(x = 10\)
Przykład

Rozwiąż równanie:

\[ \sqrt{x + 2} = x - 2 \]
\[ \begin{aligned} x + 2 &\geq 0 && \text{wyznaczamy dziedzinę} \\ x &\geq -2 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} (\sqrt{x + 2})^2 &= (x - 2)^2 && \text{podnosimy obie strony do kwadratu} \\ x + 2 &= x^2 - 4x + 4 && \text{stosujemy wzór skróconego mnożenia} \\ 0 &= x^2 - 5x + 2 && \text{porządkujemy równanie} \end{aligned} \]

Dostaliśmy równanie kwadratowe, zatem policzymy deltę.

\[ \begin{aligned} \Delta &= 25 - 8 = 17 \\ x_1 &= \frac{5 - \sqrt{17}}{2}, \quad x_2 = \frac{5 + \sqrt{17}}{2} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \frac{5 - \sqrt{17}}{2} &\approx 0{,}44 \\ \frac{5 + \sqrt{17}}{2} &\approx 4{,}56 \end{aligned} \]

Obie wartości należą do dziedziny, zatem musimy je jeszcze sprawdzić w równaniu.

\[ \begin{aligned} x_1:\quad \sqrt{0{,}44 + 2} &\approx \sqrt{2{,}44} \approx 1{,}56 \\ 0{,}44 - 2 &\approx -1{,}56 \end{aligned} \] \[ \text{Lewa strona jest dodatnia, prawa ujemna — sprzeczność.} \]
\[ \begin{aligned} x_2:\quad \sqrt{4{,}56 + 2} &\approx \sqrt{6{,}56} \approx 2{,}56 \\ 4{,}56 - 2 &\approx 2{,}56 \end{aligned} \] \[ \text{Dostajemy zgodność, lewa strona równa się prawej.} \]
Odpowiedź: \(x = \frac{5 + \sqrt{17}}{2}\)

Nierówności z pierwiastkami

Schemat

Aby rozwiązać nierówność z pierwiastkiem:

  1. Wyznacz dziedzinę.
  2. Przenieś wszystko na jedną stronę.
  3. Usuń pierwiastek, podnosząc do potęgi.
  4. Rozwiąż nierówność.
  5. Zaznacz rozwiązanie na osi liczbowej.
  6. Sprawdź warunki dziedziny.
Przykład

Rozwiąż nierówność:

\[ \sqrt{x - 1} > 2 \]
\[ \begin{aligned} x - 1 &\geq 0 && \text{dziedzina} \\ x &\geq 1 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} (\sqrt{x - 1})^2 &> 2^2 \\ x - 1 &> 4 \\ x &> 5 \end{aligned} \]
Odpowiedź: \(x > 5\)

Mamy nierówność ostrą \(>\), zatem wartość \(5\) nie należy do rozwiązania i na osi liczbowej oznaczamy ją pustym kółkiem.

0 1 2 3 4 5 6
Przykład

Rozwiąż nierówność:

\[ \sqrt{x} \leq x - 2 \]
\[ \begin{aligned} x &\geq 0 && \text{dziedzina pierwiastka} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} (\sqrt{x})^2 &\leq (x - 2)^2 && \text{podnosimy do kwadratu} \\ x &\leq x^2 - 4x + 4 && \text{rozpisujemy wzór skróconego mnożenia} \\ 0 &\leq x^2 - 5x + 4 && \text{przenosimy wszystko na jedną stronę} \end{aligned} \]

Rozwiążemy równanie wykorzystując deltę \(\Delta\).

\[ \begin{aligned} \Delta &= 5^2 - 4\cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9 \\ \sqrt{\Delta} &= 3 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} x_1 = \frac{5 - 3}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{5 + 3}{2} = 4 \end{aligned} \]

Mamy więc nierówność:

\[ 0 \leq x^2 - 5x + 4 \]

Rozpatrzmy funkcję:

\[ f(x)=x^2-5x+4 \]

Wykres poniżej nie jest wpisany ręcznie punkt po punkcie. Jest generowany z funkcji \(f(x)=x^2-5x+4\).

f(x)=x²−5x+4
Komentarz

Z wykresu widzimy, że funkcja \(f(x)=x^2-5x+4\) przyjmuje wartości nieujemne dla:

\[ x \in (-\infty,1] \cup [4,\infty) \]

Ale to jeszcze nie koniec. W naszej nierówności mamy:

\[ \sqrt{x} \leq x-2 \]

Lewa strona, czyli \(\sqrt{x}\), jest zawsze nieujemna, więc prawa strona też musi być nieujemna:

\[ x-2 \geq 0 \] \[ x \geq 2 \]

Przecinamy więc oba warunki:

\[ \left((-\infty,1] \cup [4,\infty)\right)\cap [2,\infty)=[4,\infty) \]
Odpowiedź: \(x \in [4,\infty)\)
0 1 2 3 4 5

Typowe błędy uczniów

Komentarz
    \[ \sqrt{a + b} ≠ \sqrt{a} + \sqrt{b} \] \[ \sqrt{a^2} ≠ a \] Poprawnie: \[ \sqrt{a^2} = |a| \] \[ \frac{1}{\sqrt{a}} ≠ \frac{1}{a} \] Brakuje usunięcia niewymierności. Mnożenie tylko licznika przy usuwaniu niewymierności Złe wyrażenie sprzężone: \[ a + \sqrt{b} \quad \text{i ktoś bierze} \quad a + \sqrt{b} \] zamiast: \[ a - \sqrt{b} \] Brak sprawdzenia dziedziny, na przykład \(\sqrt{x-3}\) dla \(x<3\).