Czym jest nierówność liniowa?
Nierówność w matematyce jest podobna do równania, ale zamiast znaku równości pojawia się znak porównania. W nierównościach liniowych niewiadoma występuje w pierwszej potędze.
W równaniu najczęściej szukamy jednej wartości \(x\). W nierówności bardzo często otrzymujemy cały zbiór rozwiązań, na przykład wszystkie liczby mniejsze od \(2\).
Równanie mówi: „te dwie strony są równe”. Nierówność mówi: „jedna strona jest mniejsza, większa, mniejsza lub równa albo większa lub równa od drugiej”.
Jak czytać znaki nierówności?
W nierównościach liniowych spotykamy cztery podstawowe znaki.
Przy znakach ostrych \( \lt \) oraz \( \gt \) na osi liczbowej używamy pustej kropki. Przy znakach \( \leq \) oraz \( \geq \) używamy zamkniętej kropki.
Zasady przekształcania nierówności
Nierówności przekształcamy prawie tak samo jak równania, ale musimy uważać na mnożenie i dzielenie przez liczbę ujemną.
- dodać tę samą liczbę do obu stron,
- odjąć tę samą liczbę od obu stron,
- pomnożyć obie strony przez liczbę dodatnią,
- podzielić obie strony przez liczbę dodatnią,
- uprościć wyrażenia po obu stronach.
- mnożymy obie strony przez liczbę ujemną,
- dzielimy obie strony przez liczbę ujemną.
To jest najczęstszy błąd w zadaniach z nierówności.
Dlaczego znak nierówności się zmienia?
Znak nierówności zmienia się dlatego, że mnożenie lub dzielenie przez liczbę ujemną odwraca porządek liczb na osi liczbowej.
To zdanie jest prawdziwe. Pomnóżmy obie strony przez \(-1\):
\[ -2 \gt -5 \]Po pomnożeniu przez liczbę ujemną znak musiał się odwrócić, bo \(-2\) jest większe od \(-5\).
Jeżeli w ostatnim kroku masz na przykład \(-3x \geq 6\), to po podzieleniu przez \(-3\) otrzymujesz \(x \leq -2\), a nie \(x \geq -2\).
Jak rozwiązywać nierówności liniowe?
Schemat jest bardzo podobny do rozwiązywania równań liniowych.
Usuń nawiasy, zredukuj wyrazy podobne i uporządkuj zapis.
Najczęściej zostawiamy niewiadomą po lewej stronie.
Pamiętaj, że przy przenoszeniu wyrazu na drugą stronę zmienia się jego znak.
Jeżeli dzielisz przez liczbę ujemną, zmień znak nierówności.
Otwarta kropka oznacza, że liczba nie należy do rozwiązania. Zamknięta kropka oznacza, że należy.
Rozwiązywanie nierówności krok po kroku
W każdym przykładzie najpierw przekształcamy nierówność, a następnie pokazujemy rozwiązanie na osi liczbowej.
Rozwiąż nierówność \(2x+3 \lt 7\).
\[ \begin{aligned} 2x+3 &\lt 7 \quad{} | -3 \ \text{(odejmujemy 3 obustronnie)} \\ 2x &\lt 4 \quad{} | :2 \ \text{(dzielimy przez 2)} \\ x &\lt 2 \end{aligned} \]Zatem rozwiązaniem są wszystkie liczby mniejsze od \(2\).
Rozwiąż nierówność \(-3x+1 \geq 7\).
\[ \begin{aligned} -3x+1 &\geq 7 \quad{} | -1 \ \text{(odejmujemy 1 obustronnie)} \\ -3x &\geq 6 \quad{} | :(-3) \ \text{(dzielimy przez liczbę ujemną — zmieniamy znak)} \\ x &\leq -2 \end{aligned} \]Zatem rozwiązaniem są wszystkie liczby mniejsze lub równe \(-2\).
Rozwiąż nierówność \(2x-3 \leq x+5\).
\[ \begin{aligned} 2x-3 &\leq x+5 \quad{} | -x \ \text{(odejmujemy \(x\) obustronnie)} \\ x-3 &\leq 5 \quad{} | +3 \ \text{(dodajemy 3 obustronnie)} \\ x &\leq 8 \end{aligned} \]Zatem rozwiązaniem są wszystkie liczby mniejsze lub równe \(8\).
Rozwiąż nierówność \(\frac{2x-1}{3} \gt \frac{x+2}{4}\).
Najwygodniej będzie pozbyć się mianowników przez obustronne mnożenie przez wspólny mianownik \(12\).
\[ \begin{aligned} \frac{2x-1}{3} &\gt \frac{x+2}{4} \quad{} | \cdot 12 \\ 12 \cdot \frac{2x-1}{3} &\gt 12 \cdot \frac{x+2}{4} \\ 4(2x-1) &\gt 3(x+2) \\ 8x-4 &\gt 3x+6 \quad{} | -3x \ \text{oraz} \ +4 \\ 5x &\gt 10 \quad{} | :5 \\ x &\gt 2 \end{aligned} \]Zatem rozwiązaniem są wszystkie liczby większe od \(2\).
Rozwiąż nierówność \(\frac{3x+1}{2} \leq \frac{2x-5}{3}\).
Zacznijmy od pozbycia się mianowników. Wspólnym mianownikiem jest \(6\).
\[ \begin{aligned} \frac{3x+1}{2} &\leq \frac{2x-5}{3} \quad{} | \cdot 6 \\ 6 \cdot \frac{3x+1}{2} &\leq 6 \cdot \frac{2x-5}{3} \\ 3(3x+1) &\leq 2(2x-5) \\ 9x+3 &\leq 4x-10 \quad{} | -4x \ \text{oraz} \ -3 \\ 5x &\leq -13 \quad{} | :5 \\ x &\leq -\frac{13}{5} \end{aligned} \]Zatem rozwiązaniem są wszystkie liczby mniejsze lub równe \(-\frac{13}{5}\).
Kalkulator nierówności \(ax+b \,\square\, cx+d\)
Wpisz współczynniki oraz wybierz znak nierówności. Kalkulator pokaże przekształcenia i automatycznie zmieni znak, jeśli trzeba będzie dzielić przez liczbę ujemną.
Co trzeba zapamiętać?
Nierówności liniowe rozwiązujemy bardzo podobnie jak równania, ale wynik zapisujemy jako przedział lub warunek na \(x\).
- brak zmiany znaku przy dzieleniu przez liczbę ujemną,
- zaznaczenie pustej kropki przy znaku \( \leq \) lub \( \geq \),
- zaznaczenie zamkniętej kropki przy znaku \( \lt \) lub \( \gt \),
- zaznaczenie przedziału w złą stronę na osi liczbowej,
- traktowanie nierówności tak, jakby miała tylko jedno rozwiązanie.