Czym jest nierówność kwadratowa?
Nierówność kwadratowa wygląda bardzo podobnie do równania kwadratowego. Różnica polega na tym, że zamiast znaku równości mamy znak nierówności.
W miejscu symbolu \(\square\) może pojawić się jeden ze znaków: \(\lt\), \(\gt\), \(\leq\), \(\geq\).
Rozwiązywanie nierówności kwadratowej zaczynamy prawie tak samo jak rozwiązywanie równania kwadratowego. Najpierw znajdujemy miejsca zerowe funkcji kwadratowej, czyli rozwiązujemy równanie:
\[ ax^2+bx+c=0 \]Nie wystarczy znaleźć same pierwiastki. Trzeba jeszcze sprawdzić, na których przedziałach parabola znajduje się nad osią \(x\), a na których pod osią \(x\).
Schemat rozwiązywania nierówności kwadratowej
Ten schemat warto stosować za każdym razem. Dzięki temu łatwiej uniknąć pomyłek przy wyborze przedziałów.
Rozwiązujemy równanie \(ax^2+bx+c=0\), czyli szukamy miejsc zerowych paraboli.
Delta mówi nam, ile miejsc zerowych będzie miała funkcja kwadratowa.
Jeżeli \(a\gt0\), ramiona są skierowane w górę. Jeżeli \(a\lt0\), ramiona są skierowane w dół.
Jeżeli szukamy wartości dodatnich, wybieramy te fragmenty wykresu, które są nad osią \(x\). Jeżeli szukamy wartości ujemnych, wybieramy te fragmenty, które są pod osią \(x\).
Przy znakach \(\lt\) oraz \(\gt\) miejsc zerowych nie włączamy do odpowiedzi. Przy znakach \(\leq\) oraz \(\geq\) miejsca zerowe włączamy do odpowiedzi.
Nierówność \(x^2-5x+6\gt0\)
\(x^2-5x+6\gt0\)
Najpierw rozwiązujemy równanie:
\[ x^2-5x+6=0 \]Widzimy, że:
\[ a=1,\qquad b=-5,\qquad c=6 \]Obliczamy deltę:
\[ \Delta=(-5)^2-4\cdot1\cdot6=25-24=1 \]Delta jest dodatnia, więc mamy dwa miejsca zerowe:
\[ x_1=\frac{5-\sqrt{1}}{2}=2, \qquad x_2=\frac{5+\sqrt{1}}{2}=3 \]Ponieważ \(a=1\gt0\), parabola ma ramiona skierowane w górę. To oznacza, że funkcja jest dodatnia poza miejscami zerowymi, a ujemna między nimi.
Szukamy miejsc, gdzie \(f(x)\gt0\), czyli gdzie wykres znajduje się nad osią \(x\).
\[ x\in(-\infty,2)\cup(3,\infty) \]Odpowiedź: \[ x\in(-\infty,2)\cup(3,\infty) \]
Nierówność \(-x^2+4x-3\lt0\)
Tym razem parabola ma ramiona skierowane w dół, dlatego znak funkcji układa się odwrotnie niż w poprzednim przykładzie.
\(-x^2+4x-3\lt0\)
Najpierw rozwiązujemy równanie:
\[ -x^2+4x-3=0 \]W tym przykładzie:
\[ a=-1,\qquad b=4,\qquad c=-3 \]Obliczamy deltę:
\[ \Delta=4^2-4\cdot(-1)\cdot(-3)=16-12=4 \]Obliczamy miejsca zerowe:
\[ x=\frac{-4\pm\sqrt{4}}{2\cdot(-1)} \] \[ x=\frac{-4\pm2}{-2} \] \[ x_1=1,\qquad x_2=3 \]Ponieważ \(a=-1\lt0\), parabola ma ramiona skierowane w dół. Dlatego funkcja jest dodatnia między miejscami zerowymi, a ujemna poza nimi.
Szukamy miejsc, gdzie \(f(x)\lt0\), czyli wybieramy fragmenty wykresu pod osią \(x\).
\[ x\in(-\infty,1)\cup(3,\infty) \]Odpowiedź: \[ x\in(-\infty,1)\cup(3,\infty) \]
Nierówność \(x^2-6x+9\leq0\)
Tutaj delta jest równa zero, więc parabola tylko dotyka osi \(x\).
\(x^2-6x+9\leq0\)
Najpierw rozwiązujemy równanie:
\[ x^2-6x+9=0 \]Obliczamy deltę:
\[ \Delta=(-6)^2-4\cdot1\cdot9=36-36=0 \]Delta równa zero oznacza, że mamy jeden pierwiastek podwójny.
\[ x_0=\frac{-(-6)}{2\cdot1}=\frac{6}{2}=3 \]Ponieważ \(a=1\gt0\), parabola ma ramiona skierowane w górę. Dotyka osi \(x\) w punkcie \(x=3\), ale poza tym punktem znajduje się nad osią.
Szukamy miejsc, gdzie \(f(x)\leq0\). Funkcja jest równa zero tylko dla \(x=3\), a nigdzie nie jest mniejsza od zera.
\[ x=3 \]Odpowiedź: \[ x=3 \]
Nierówność \(x^2+4x+5\gt0\)
W tym przykładzie delta jest ujemna, więc parabola nie przecina osi \(x\).
\(x^2+4x+5\gt0\)
Obliczamy deltę:
\[ \Delta=4^2-4\cdot1\cdot5=16-20=-4 \]Delta jest ujemna, więc funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych. Oznacza to, że parabola nie przecina osi \(x\).
Ponieważ \(a=1\gt0\), ramiona paraboli są skierowane w górę. Skoro parabola nie przecina osi \(x\), to cała znajduje się nad osią.
Szukamy miejsc, gdzie \(f(x)\gt0\). Funkcja jest dodatnia dla każdej liczby rzeczywistej.
\[ x\in\mathbb{R} \]Odpowiedź: \[ x\in\mathbb{R} \]
Kalkulator nierówności kwadratowej
Wpisz współczynniki \(a\), \(b\), \(c\), wybierz znak nierówności i sprawdź rozwiązanie krok po kroku.
Kalkulator nie zastępuje rozumowania, ale pomaga sprawdzić schemat: delta, miejsca zerowe, kierunek ramion paraboli i wybór przedziałów.
Co trzeba zapamiętać?
W nierównościach kwadratowych najważniejsze jest połączenie obliczeń z interpretacją wykresu.
Parabola przecina oś \(x\) w dwóch punktach. Odpowiedź zwykle będzie przedziałem lub sumą dwóch przedziałów.
Parabola dotyka osi \(x\). Trzeba szczególnie uważać na znaki \(\leq\) oraz \(\geq\).
Parabola nie przecina osi \(x\). Cała funkcja jest dodatnia albo cała ujemna — zależnie od znaku \(a\).
Jeżeli \(a\gt0\), ramiona są w górę. Jeżeli \(a\lt0\), ramiona są w dół.