Matematyka Krok po Kroku Wróć do działu

Logarytmy

W tej lekcji poznasz definicję logarytmu, zrozumiesz związek logarytmów z potęgowaniem oraz nauczysz się korzystać z najważniejszych wzorów logarytmicznych.

Czym jest logarytm?

Logarytmy są ściśle związane z potęgowaniem. Najprościej mówiąc, logarytm odpowiada na pytanie:

Do jakiej potęgi trzeba podnieść daną liczbę, aby otrzymać wskazany wynik?

Jeżeli mamy równość:

\( a^b = c \)

to możemy zapisać ją za pomocą logarytmu:

\( \log_a c = b \)

Czytamy to tak:

Logarytm z liczby \( c \) przy podstawie \( a \) jest równy \( b \), ponieważ \( a^b = c \).
\( \log_a c = b \quad \text{wtedy i tylko wtedy, gdy} \quad a^b = c \)
W logarytmach trzeba pamiętać o warunkach:
\( a > 0, \quad a \neq 1, \quad c > 0 \)
Podstawa logarytmu musi być dodatnia i różna od 1, a liczba logarytmowana musi być dodatnia.
\( a \) — podstawa logarytmu To liczba, którą podnosimy do pewnej potęgi.
\( c \) — liczba logarytmowana To liczba, którą chcemy otrzymać po potęgowaniu.
\( b \) — wynik logarytmu To wykładnik, do którego trzeba podnieść podstawę.
Najważniejsza interpretacja Logarytm jest wykładnikiem potęgi.

Przykłady obliczania logarytmów

Przy obliczaniu logarytmów za każdym razem zadajemy sobie pytanie: do jakiej potęgi trzeba podnieść podstawę, aby otrzymać liczbę logarytmowaną?

Przykład 1
\( \log_2 8 = 3 \)

Widzimy, że podstawą logarytmu jest liczba \( 2 \), a liczbą logarytmowaną jest \( 8 \).

\( 2^3 = 8 \)

Dlatego:

\( \log_2 8 = 3 \)
Przykład 2
\( \log_{10} 100 = 2 \)

Szukamy wykładnika, do którego trzeba podnieść liczbę \( 10 \), aby otrzymać \( 100 \).

\( 10^2 = 100 \)

Zatem:

\( \log_{10} 100 = 2 \)
Przykład 3
\( \log_2 \frac{1}{8} = -3 \)

Tutaj wynik logarytmu jest ujemny, ponieważ korzystamy z potęgi o wykładniku ujemnym.

\( 2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} \)

Dlatego:

\( \log_2 \frac{1}{8} = -3 \)
\( \log_3 27 = 3 \) ponieważ \( 3^3 = 27 \)
\( \log_5 25 = 2 \) ponieważ \( 5^2 = 25 \)
\( \log_{10} 1000 = 3 \) ponieważ \( 10^3 = 1000 \)
\( \log_4 16 = 2 \) ponieważ \( 4^2 = 16 \)

Podstawowe wzory na logarytmy

Poniższe wzory pozwalają przekształcać wyrażenia logarytmiczne. Warto zauważyć, że większość z nich wynika z własności potęg.

1. Logarytm iloczynu

\( \log_a(mn) = \log_a m + \log_a n \)

Ten wzór mówi, że logarytm iloczynu możemy zamienić na sumę logarytmów.

Warunki: \( a > 0 \), \( a \neq 1 \), \( m > 0 \), \( n > 0 \).
\( \log_2(2 \cdot 8) = \log_2 2 + \log_2 8 \)

2. Logarytm ilorazu

\( \log_a \frac{m}{n} = \log_a m - \log_a n \)

Ten wzór mówi, że logarytm ilorazu możemy zamienić na różnicę logarytmów.

Warunki: \( a > 0 \), \( a \neq 1 \), \( m > 0 \), \( n > 0 \).
\( \log_{10} \frac{100}{10} = \log_{10}100 - \log_{10}10 \)

3. Logarytm potęgi

\( \log_a(m^n) = n\log_a m \)

Wykładnik potęgi możemy przenieść przed logarytm jako mnożnik.

Warunki: \( a > 0 \), \( a \neq 1 \), \( m > 0 \).
\( \log_5(5^2) = 2\log_5 5 \)

4. Zmiana podstawy logarytmu

Rozszerzenie
\( \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} \)

Ten wzór pozwala zmienić podstawę logarytmu na inną wygodniejszą podstawę.

Warunki: \( a > 0 \), \( a \neq 1 \), \( b > 0 \), \( c > 0 \), \( c \neq 1 \).
\( \log_4 16 = \frac{\log_2 16}{\log_2 4} \)

5. Logarytm liczby 1

\( \log_a 1 = 0 \)

Każda dozwolona podstawa podniesiona do potęgi zerowej daje \( 1 \).

\( 3^0 = 1 \quad \text{więc} \quad \log_3 1 = 0 \)

6. Logarytm podstawy

\( \log_a a = 1 \)

Podstawę trzeba podnieść do pierwszej potęgi, aby otrzymać tę samą liczbę.

\( 6^1 = 6 \quad \text{więc} \quad \log_6 6 = 1 \)

7. Logarytm potęgi podstawy

\( \log_a(a^n) = n \)

Jeżeli liczba logarytmowana jest potęgą podstawy, to wynik logarytmu jest równy wykładnikowi.

\( \log_{10}(10^4) = 4 \)

Działania na logarytmach

Teraz zobaczymy, jak korzystać ze wzorów w praktyce. Każde działanie wykonujemy spokojnie, krok po kroku.

Dodawanie logarytmów
\( \log_2 4 + \log_2 8 \)
Krok 1. Korzystamy ze wzoru na logarytm iloczynu:
\( \log_2 4 + \log_2 8 = \log_2(4 \cdot 8) \)
Krok 2. Mnożymy liczby w nawiasie:
\( \log_2(4 \cdot 8) = \log_2 32 \)
Krok 3. Obliczamy logarytm:
\( \log_2 32 = 5 \)
ponieważ \( 2^5 = 32 \).
Wynik: \( \log_2 4 + \log_2 8 = 5 \)
Odejmowanie logarytmów
\( \log_{10}100 - \log_{10}10 \)
Krok 1. Korzystamy ze wzoru na logarytm ilorazu:
\( \log_{10}100 - \log_{10}10 = \log_{10}\frac{100}{10} \)
Krok 2. Dzielimy liczby:
\( \log_{10}\frac{100}{10} = \log_{10}10 \)
Krok 3. Obliczamy logarytm:
\( \log_{10}10 = 1 \)
ponieważ \( 10^1 = 10 \).
Wynik: \( \log_{10}100 - \log_{10}10 = 1 \)
Mnożenie logarytmu przez liczbę
\( 2\log_3 9 \)
Krok 1. Liczbę stojącą przed logarytmem możemy przenieść do wykładnika:
\( 2\log_3 9 = \log_3(9^2) \)
Krok 2. Obliczamy potęgę:
\( 9^2 = 81 \)
Krok 3. Obliczamy logarytm:
\( \log_3 81 = 4 \)
ponieważ \( 3^4 = 81 \).
Wynik: \( 2\log_3 9 = 4 \)
Dzielenie logarytmu przez liczbę
\( \frac{1}{2}\log_4 16 \)
Krok 1. Ułamek przed logarytmem możemy potraktować jako wykładnik:
\( \frac{1}{2}\log_4 16 = \log_4(16^{\frac{1}{2}}) \)
Krok 2. Potęga o wykładniku \( \frac{1}{2} \) oznacza pierwiastek:
\( 16^{\frac{1}{2}} = \sqrt{16} = 4 \)
Krok 3. Obliczamy logarytm:
\( \log_4 4 = 1 \)
ponieważ \( 4^1 = 4 \).
Wynik: \( \frac{1}{2}\log_4 16 = 1 \)
Potęgowanie logarytmu
\( (\log_5 25)^2 \)
To nie jest osobny wzór logarytmiczny. Najpierw obliczamy logarytm, a dopiero potem podnosimy wynik do potęgi.
Krok 1. Obliczamy logarytm:
\( \log_5 25 = 2 \)
ponieważ \( 5^2 = 25 \).
Krok 2. Podnosimy wynik do potęgi:
\( 2^2 = 4 \)
Wynik: \( (\log_5 25)^2 = 4 \)
Pierwiastkowanie logarytmu
\( \sqrt{\log_2 16} \)
Tutaj również najpierw obliczamy logarytm, a dopiero potem pierwiastek.
Krok 1. Obliczamy logarytm:
\( \log_2 16 = 4 \)
ponieważ \( 2^4 = 16 \).
Krok 2. Obliczamy pierwiastek:
\( \sqrt{4} = 2 \)
Wynik: \( \sqrt{\log_2 16} = 2 \)

Schemat rozwiązywania prostych logarytmów

Logarytm zawsze zamieniaj w głowie na pytanie o wykładnik.
Schemat
Krok 1. Sprawdź podstawę logarytmu.
Krok 2. Sprawdź liczbę logarytmowaną.
Krok 3. Zadaj pytanie: do której potęgi trzeba podnieść podstawę, aby otrzymać liczbę logarytmowaną?
Krok 4. Zapisz wynik jako wykładnik.
\( \log_a c = b \quad \text{bo} \quad a^b = c \)