Matematyka Krok po Kroku Powrót do działu

Dowody na podzielność

W tym dziale nauczymy się pokazywać, że dana liczba lub dane wyrażenie jest podzielne przez konkretną liczbę. Takie zadania bardzo często pojawiają się na maturze, ale zwykle są schematyczne. Najważniejsze jest dobre zapisanie liczby i wyciągnięcie odpowiedniego czynnika przed nawias.

1. Oznaczenia, które będą nam potrzebne

Zanim zaczniemy rozwiązywać przykłady, wprowadźmy sobie kilka oznaczeń. Niech:

\[ n \in \mathbb{N} \]

Oznacza to, że \(n\) jest liczbą naturalną. W zadaniach z podzielności bardzo często zapisujemy kolejne liczby w sposób ogólny.

Suma kolejnych liczb naturalnych:
\[ n + (n+1) + (n+2) + (n+3) + (n+4) + \ldots \]

Chodzi o to, że nieważne, jaką liczbę podstawimy za \(n\), zawsze otrzymamy kolejne liczby naturalne.

Suma kolejnych liczb naturalnych nieparzystych:
\[ (2n+1) + (2n+3) + (2n+5) + (2n+7) + \ldots \]

Taki zapis pozwala nam brać pod uwagę tylko liczby nieparzyste.

Suma kolejnych liczb naturalnych parzystych:
\[ 2n + (2n+2) + (2n+4) + (2n+6) + \ldots \]

Taki zapis pozwala nam brać pod uwagę tylko liczby parzyste.

Ważna uwaga: Jeżeli w zadaniu jest napisane, że liczba jest nieparzysta, bardzo często zapisujemy ją jako:
\[ n = 2m + 1 \]
gdzie \(m \in \mathbb{N}\).

2. Najważniejsze cechy podzielności

Przypomnijmy sobie cechy podzielności, które najczęściej wykorzystujemy w zadaniach.

Podzielność Warunek Przykład
Przez \(2\) Liczba jest parzysta, czyli kończy się cyfrą \(0,2,4,6,8\). \(124\) jest podzielne przez \(2\), bo kończy się cyfrą \(4\).
Przez \(3\) Suma cyfr jest podzielna przez \(3\). \[ 5+2+3+8+4+5+4+8+3 = 42 \] Liczba \(523845483\) jest podzielna przez \(3\), bo \(42\) dzieli się przez \(3\).
Przez \(4\) Liczba utworzona z dwóch ostatnich cyfr jest podzielna przez \(4\). Liczba \(124\) jest podzielna przez \(4\), bo: \[ 24 : 4 = 6 \]
Przez \(5\) Ostatnia cyfra to \(0\) albo \(5\). \(235\) jest podzielne przez \(5\), bo kończy się cyfrą \(5\).
Przez \(6\) Liczba jest jednocześnie podzielna przez \(2\) i przez \(3\). \(126\) jest podzielne przez \(6\), bo jest parzyste oraz: \[ 1+2+6=9 \] a \(9\) dzieli się przez \(3\).
Przez \(8\) Liczba utworzona z trzech ostatnich cyfr jest podzielna przez \(8\). \(3120\) jest podzielne przez \(8\), bo: \[ 120 : 8 = 15 \]
Schemat dowodu podzielności:
  1. Zapisujemy liczbę lub wyrażenie w wygodnej postaci.
  2. Rozwijamy nawiasy i porządkujemy wyrażenie.
  3. Wyciągamy przed nawias liczbę, przez którą chcemy udowodnić podzielność.
  4. Jeżeli zostaje reszta, zapisujemy wyrażenie w postaci: \(ak + r\), gdzie \(r\) to reszta.

3. Przykłady maturalne

1 Zadanie z matury 2025

Wykaż, że dla każdej nieparzystej liczby naturalnej \(n\) liczba:

\[ 3n^2 + 2n + 7 \]

jest podzielna przez \(4\).

Krok 1. Ponieważ \(n\) jest liczbą nieparzystą, zapisujemy ją w postaci:
\[ n = 2m + 1 \]
gdzie \(m \in \mathbb{N}\).
Krok 2. Podstawiamy \(2m+1\) w miejsce \(n\):
\[ \begin{aligned} 3n^2+2n+7 &= 3(2m+1)^2 + 2(2m+1) + 7 \\ &= 3(4m^2+4m+1) + 4m + 2 + 7 \\ &= 12m^2 + 12m + 3 + 4m + 9 \\ &= 12m^2 + 16m + 12 \end{aligned} \]
Krok 3. Teraz wyciągamy \(4\) przed nawias:
\[ 12m^2 + 16m + 12 = 4(3m^2 + 4m + 3) \]

Otrzymaliśmy \(4\) pomnożone przez pewne wyrażenie, więc liczba \(3n^2+2n+7\) jest podzielna przez \(4\).

2 Zadanie z matury 2024

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \(n \geq 1\) liczba:

\[ n^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2 \]

przy dzieleniu przez \(3\) daje resztę \(2\).

Krok 1. Rozpisujemy kwadraty:
\[ \begin{aligned} n^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2 &= n^2 + (n^2+2n+1) + (n^2+4n+4) \\ &= 3n^2 + 6n + 5 \end{aligned} \]
Krok 2. Chcemy pokazać, że przy dzieleniu przez \(3\) zostaje reszta \(2\). Dlatego zapisujemy wyrażenie w postaci \(3 \cdot \text{coś} + 2\):
\[ \begin{aligned} 3n^2 + 6n + 5 &= 3n^2 + 6n + 3 + 2 \\ &= 3(n^2 + 2n + 1) + 2 \end{aligned} \]

Otrzymaliśmy postać \(3k+2\), więc dana liczba przy dzieleniu przez \(3\) daje resztę \(2\).

3 Zadanie z matury 2023

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \(n \geq 1\) liczba:

\[ (2n+1)^2 - 1 \]

jest podzielna przez \(8\).

Krok 1. Rozpisujemy wyrażenie:
\[ \begin{aligned} (2n+1)^2 - 1 &= 4n^2 + 4n + 1 - 1 \\ &= 4n^2 + 4n \\ &= 4n(n+1) \end{aligned} \]
Krok 2. Zauważmy teraz, że \(n\) oraz \(n+1\) to dwie kolejne liczby naturalne. Wśród dwóch kolejnych liczb jedna zawsze jest parzysta.

Skoro \(n(n+1)\) jest liczbą parzystą, to możemy zapisać:

\[ n(n+1) = 2k \]

dla pewnego \(k \in \mathbb{N}\). Wtedy:

\[ 4n(n+1) = 4 \cdot 2k = 8k \]

Otrzymaliśmy wielokrotność \(8\), więc liczba \((2n+1)^2-1\) jest podzielna przez \(8\).

4. Dowody bez pełnego rozpisywania

Nie zawsze musimy wszystko bardzo dokładnie rozpisywać. Czasami wystarczy dobrze uargumentować, dlaczego w danym iloczynie pojawiają się odpowiednie czynniki.

4 Iloczyn czterech kolejnych liczb naturalnych

Wykaż, że iloczyn czterech kolejnych liczb naturalnych jest podzielny przez \(24\).

Iloczyn czterech kolejnych liczb naturalnych zapisujemy tak:

\[ n(n+1)(n+2)(n+3) \]

Zauważmy, że:

\[ 24 = 2 \cdot 3 \cdot 4 \]

Musimy więc pokazać, że w iloczynie czterech kolejnych liczb znajdziemy czynniki dające podzielność przez \(2\), \(3\) i \(4\).

Podzielność przez \(2\). Wśród dwóch kolejnych liczb zawsze jest liczba parzysta, czyli podzielna przez \(2\).
Podzielność przez \(3\). Wśród trzech kolejnych liczb zawsze jest liczba podzielna przez \(3\).
Podzielność przez \(4\). Wśród czterech kolejnych liczb zawsze jest liczba podzielna przez \(4\), albo występują dwie liczby parzyste, których iloczyn daje czynnik \(4\).

Ostatecznie iloczyn czterech kolejnych liczb naturalnych jest podzielny przez:

\[ 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24 \]

Czyli iloczyn \(n(n+1)(n+2)(n+3)\) jest podzielny przez \(24\).

5. Dowody z resztą z dzielenia

W zadaniach mogą też pojawić się informacje typu: „liczba przy dzieleniu przez \(5\) daje resztę \(3\)”. Wtedy zapisujemy tę liczbę w odpowiedniej postaci.

Jeżeli liczba \(n\) przy dzieleniu przez \(5\) daje resztę \(3\), to zapisujemy:
\[ n = 5k + 3 \]
gdzie \(k \in \mathbb{N}\).
5 Reszta z dzielenia przez 5

Jeśli liczba przy dzieleniu przez \(5\) daje resztę \(3\), to jej trzecia potęga przy dzieleniu przez \(5\) daje resztę \(2\).

Krok 1. Zapisujemy liczbę w postaci:
\[ n = 5k + 3 \]
Krok 2. Obliczamy trzecią potęgę:
\[ \begin{aligned} n^3 &= (5k+3)^3 \\ &= (5k)^3 + 3(5k)^2 \cdot 3 + 3(5k) \cdot 3^2 + 3^3 \\ &= 125k^3 + 225k^2 + 135k + 27 \end{aligned} \]
Krok 3. Teraz chcemy zapisać wynik w postaci wielokrotności \(5\) oraz reszty \(2\). Ponieważ:
\[ 27 = 25 + 2 \]
możemy napisać:
\[ \begin{aligned} 125k^3 + 225k^2 + 135k + 27 &= 125k^3 + 225k^2 + 135k + 25 + 2 \\ &= 5(25k^3 + 45k^2 + 27k + 5) + 2 \end{aligned} \]

Otrzymaliśmy postać \(5 \cdot \text{coś} + 2\), więc \(n^3\) przy dzieleniu przez \(5\) daje resztę \(2\).

6. Najważniejsza myśl z tego działu

Zadania z dowodów na podzielność są bardzo schematyczne. Najczęściej wystarczy:

  1. dobrze zapisać liczbę, np. \(2m+1\), gdy liczba jest nieparzysta,
  2. rozpisać nawiasy,
  3. wyciągnąć odpowiednią liczbę przed nawias,
  4. przy zadaniach z resztą zapisać wynik w postaci \(ak+r\).

Jeżeli w rozwiązaniu uda nam się otrzymać na przykład:

\[ 4(3m^2+4m+3) \]

to od razu widzimy, że całe wyrażenie jest podzielne przez \(4\).

Warto zapamiętać: Co roku podobne zadania pojawiają się na maturze. Są przewidywalne, więc jeśli opanujesz schemat, możesz bardzo łatwo zdobyć punkty.