Graniastosłup
Dwie przystające podstawy i pas ścian bocznych. W bryle prostej pas tworzą prostokąty.
Siatki brył
Siatka powstaje po rozcięciu części krawędzi i rozłożeniu powierzchni bryły na płaszczyźnie. Krawędzie, które mają się połączyć po złożeniu, muszą mieć równe długości.
Ostrosłup
Jedna podstawa i po jednym trójkącie przy każdym jej boku.
Walec
Dwa koła i prostokąt o bokach \(2\pi r\) oraz \(H\).
Stożek
Koło podstawy i wycinek koła o promieniu równym tworzącej \(l\).
Linie cięcia
Na modelach do składania linia ciągła oznacza zwykle cięcie, a przerywana — zgięcie.
Zakładki
Ułatwiają sklejenie modelu, ale nie należą do pola powierzchni matematycznej bryły.
Materiały praktyczne
Otwórz siatki bryłSiatki gotowe do wydruku
Wybierz bryłę, wydrukuj jej siatkę w skali 100%, a następnie wytnij, zegnij i sklej model.
Jak liczyć pole powierzchni?
Siatka pozwala sprawdzić, czy każda ściana została policzona dokładnie jeden raz.
- Wypisz wszystkie rodzaje ścian bryły.
- Oblicz pole jednej ściany każdego rodzaju.
- Pomnóż przez liczbę jednakowych ścian.
- Dodaj wyniki i zapisz jednostkę kwadratową.
Nie mieszaj wielkości: pole powierzchni zapisujemy w \(cm^2\), \(dm^2\), \(m^2\), a objętość w \(cm^3\), \(dm^3\), \(m^3\).
Bryły podobne
Jeżeli wszystkie długości zmieniają się \(k\) razy, każda ściana zmienia pole \(k^2\) razy, a cała bryła objętość \(k^3\) razy.
Promień równy dwukrotności
Dwie kule są podobne, a promień drugiej ma długość równą dwukrotności promienia pierwszej.
- Skala długości: \(k=2\).
- Pole rośnie \(2^2=4\) razy.
- Objętość rośnie \(2^3=8\) razy.
Stosunek pól \(4:1\), objętości \(8:1\).
Skala z objętości
Objętości podobnych brył są w stosunku \(27:64\).
- \(k^3=\frac{27}{64}\).
- \(k=\sqrt[3]{\frac{27}{64}}\).
- \(k=\frac34\).
Skala długości wynosi \(3:4\).
Jednostki pola i objętości
| Przeliczenie długości | Przeliczenie pola | Przeliczenie objętości |
|---|---|---|
| \(1\,m=10\,dm\) | \(1\,m^2=100\,dm^2\) | \(1\,m^3=1000\,dm^3\) |
| \(1\,dm=10\,cm\) | \(1\,dm^2=100\,cm^2\) | \(1\,dm^3=1000\,cm^3\) |
| \(1\,cm=10\,mm\) | \(1\,cm^2=100\,mm^2\) | \(1\,cm^3=1000\,mm^3\) |
Litry
\(1\,dm^3=1\,l\), a \(1\,cm^3=1\,ml\).
Metry sześcienne
\(1\,m^3=1000\,l\). Nie jest to 100 litrów, ponieważ przelicznik długości podnosimy do trzeciej potęgi.
Ćwiczenia rozwiązane krok po kroku
W każdym zadaniu najpierw ustalamy, jakich ścian lub przeliczników potrzebujemy. Dopiero potem podstawiamy liczby i zapisujemy właściwą jednostkę.
1
siatka walca
Pole powierzchni walca odczytane z siatki
Treść zadania. Walec ma promień podstawy \(r=3\ \mathrm{cm}\) i wysokość \(H=5\ \mathrm{cm}\). Oblicz pole jego powierzchni całkowitej, korzystając z elementów siatki.
Z czego składa się siatka?
Siatka walca zawiera dwa koła oraz prostokąt. Prostokąt ma jeden bok równy wysokości walca \(H\), a drugi równy obwodowi podstawy \(2\pi r\).
Krok 1. Obliczamy łączne pole dwóch kołowych podstaw:
\[ 2P_p=2\pi r^2=2\pi\cdot3^2=18\pi\ \mathrm{cm}^2 \]Krok 2. Obliczamy pole prostokątnej powierzchni bocznej:
\[ P_b=2\pi rH=2\pi\cdot3\cdot5=30\pi\ \mathrm{cm}^2 \]Krok 3. Dodajemy pola wszystkich części siatki:
\[ P_c=2P_p+P_b=18\pi+30\pi=48\pi\ \mathrm{cm}^2 \]Wniosek:
\[
P_c=48\pi\ \mathrm{cm}^2
\]
Pole powierzchni całkowitej walca wynosi \(48\pi\ \mathrm{cm}^2\).
2
trzy pary ścian
Pole powierzchni prostopadłościanu
Treść zadania. Prostopadłościan ma krawędzie długości \(3\ \mathrm{cm}\), \(4\ \mathrm{cm}\) i \(5\ \mathrm{cm}\). Oblicz pole jego powierzchni całkowitej.
Krok 1. Wypisujemy trzy rodzaje prostokątnych ścian:
\[ 3\cdot4=12\ \mathrm{cm}^2,\qquad 3\cdot5=15\ \mathrm{cm}^2,\qquad 4\cdot5=20\ \mathrm{cm}^2 \]
Każda ściana ma parę
W prostopadłościanie każda z trzech obliczonych ścian występuje dwa razy: z przodu i z tyłu, z lewej i z prawej albo na górze i na dole.
Krok 2. Dodajemy pola i mnożymy przez \(2\):
\[ P_c=2(12+15+20)=2\cdot47=94\ \mathrm{cm}^2 \]Wniosek:
\[
P_c=94\ \mathrm{cm}^2
\]
Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu wynosi \(94\ \mathrm{cm}^2\).
3
bryły podobne
Zmiana pola i objętości w skali
Treść zadania. Wszystkie długości bryły zwiększono trzykrotnie, czyli zastosowano skalę \(k=3\). Ile razy zwiększyły się jej pole powierzchni i objętość?
Krok 1. Obliczamy skalę pól:
\[ k^2=3^2=9 \]Pole powierzchni wzrosło \(9\) razy.
Krok 2. Obliczamy skalę objętości:
\[ k^3=3^3=27 \]Objętość wzrosła \(27\) razy.
Dlaczego potęgi są różne?
Pole opisuje dwa wymiary, dlatego używamy \(k^2\). Objętość opisuje trzy wymiary, dlatego używamy \(k^3\).
Wniosek:
\[
P_2=9P_1,\qquad V_2=27V_1
\]
Pole zwiększyło się \(9\) razy, a objętość \(27\) razy.
4
dm³, cm³ i litry
Zamiana jednostek objętości
Treść zadania. Zamień \(2{,}5\ \mathrm{dm}^3\) na centymetry sześcienne oraz litry.
Krok 1. Przypominamy przelicznik objętości:
\[ 1\ \mathrm{dm}^3=1000\ \mathrm{cm}^3 \]Krok 2. Zamieniamy decymetry sześcienne na centymetry sześcienne:
\[ 2{,}5\ \mathrm{dm}^3=2{,}5\cdot1000\ \mathrm{cm}^3=2500\ \mathrm{cm}^3 \]Krok 3. Zamieniamy decymetry sześcienne na litry:
\[ 1\ \mathrm{dm}^3=1\ \mathrm{l} \] \[ 2{,}5\ \mathrm{dm}^3=2{,}5\ \mathrm{l} \]
Uwaga na sześcian jednostki
Ponieważ \(1\ \mathrm{dm}=10\ \mathrm{cm}\), dla objętości przelicznik wynosi \(10^3=1000\), a nie \(10\).
Wniosek:
\[
2{,}5\ \mathrm{dm}^3=2500\ \mathrm{cm}^3=2{,}5\ \mathrm{l}
\]
Ta sama objętość to \(2500\ \mathrm{cm}^3\) albo \(2{,}5\ \mathrm{l}\).