Walec
Walec prosty można otrzymać przez obrót prostokąta wokół jednego z jego boków. Ma dwie kołowe podstawy o promieniu \(r\) i wysokość \(H\).
- Pole jednej podstawy wynosi \(\pi r^2\).
- Po rozwinięciu powierzchnia boczna jest prostokątem o bokach \(2\pi r\) i \(H\).
- Przekrój osiowy jest prostokątem o wymiarach \(2r\times H\).
- Gdy przekrój osiowy jest kwadratem, zachodzi \(H=2r\).
Stożek
Stożek prosty powstaje przez obrót trójkąta prostokątnego wokół jednej przyprostokątnej. Promień \(r\), wysokość \(H\) i tworząca \(l\) tworzą trójkąt prostokątny.
Kula i sfera
Kula jest bryłą, a sfera jej powierzchnią. Każdy punkt sfery leży w odległości \(r\) od środka. Przekrój przechodzący przez środek jest kołem wielkim.
Porównanie brył obrotowych
| Bryła | Przekrój osiowy | Objętość | Najczęstsza pułapka |
|---|---|---|---|
| Walec | prostokąt \(2r\times H\) | \(\pi r^2H\) | pominięcie jednej podstawy |
| Stożek | trójkąt równoramienny | \(\frac13\pi r^2H\) | mylenie tworzącej z wysokością |
| Kula | koło | \(\frac43\pi r^3\) | podstawienie średnicy zamiast promienia |
Przykłady krok po kroku
Najpierw odczytujemy promień i wysokość. Jeżeli zadanie dotyczy stożka, przed liczeniem pola sprawdzamy także, czy potrzebna jest tworząca.
Stożek z trójkątem 6–8–10
Treść zadania. Stożek ma promień podstawy \(r=6\ \mathrm{cm}\) i wysokość \(H=8\ \mathrm{cm}\). Oblicz długość tworzącej, objętość oraz pole powierzchni całkowitej.
Krok 1. Obliczamy tworzącą z twierdzenia Pitagorasa:
\[ l^2=r^2+H^2=6^2+8^2=36+64=100 \] \[ l=\sqrt{100}=10\ \mathrm{cm} \]Wysokość stożka \(H\), promień podstawy \(r\) i tworząca \(l\) tworzą połowę przekroju osiowego stożka.
Krok 2. Obliczamy objętość stożka:
\[ V=\frac{1}{3}\pi r^2H =\frac{1}{3}\pi\cdot6^2\cdot8 =96\pi\ \mathrm{cm}^3 \]Krok 3. Obliczamy pole podstawy:
\[ P_p=\pi r^2=\pi\cdot6^2=36\pi\ \mathrm{cm}^2 \]Krok 4. Obliczamy pole powierzchni bocznej:
\[ P_b=\pi rl=\pi\cdot6\cdot10=60\pi\ \mathrm{cm}^2 \]Krok 5. Dodajemy pole podstawy i pole boczne:
\[ P_c=P_p+P_b=36\pi+60\pi=96\pi\ \mathrm{cm}^2 \]Wniosek:
Kwadratowy przekrój osiowy walca
Treść zadania. Przekrój osiowy walca jest kwadratem o boku \(8\ \mathrm{cm}\). Oblicz objętość walca.
Przekrój osiowy walca jest prostokątem o bokach \(H\) i \(2r\). Skoro tutaj jest kwadratem, oba te odcinki mają długość \(8\ \mathrm{cm}\).
Krok 1. Odczytujemy wysokość walca:
\[ H=8\ \mathrm{cm} \]Krok 2. Obliczamy promień z podanej średnicy:
\[ 2r=8\ \mathrm{cm},\qquad r=4\ \mathrm{cm} \]Krok 3. Podstawiamy dane do wzoru na objętość:
\[ V=\pi r^2H =\pi\cdot4^2\cdot8 =128\pi\ \mathrm{cm}^3 \]Wniosek:
Ćwiczenia rozwiązane krok po kroku
Poniższe zadania pokazują trzy różne schematy: pełne obliczenia dla walca, wyznaczanie tworzącej stożka oraz obliczenia dla kuli z podanej średnicy.
Objętość i pole całkowite walca
Treść zadania. Walec ma promień \(3\ \mathrm{cm}\) i wysokość \(4\ \mathrm{cm}\). Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej.
Krok 1. Obliczamy objętość:
\[ V=\pi r^2H =\pi\cdot3^2\cdot4 =36\pi\ \mathrm{cm}^3 \]Krok 2. Obliczamy pola dwóch kołowych podstaw:
\[ 2P_p=2\pi r^2=2\pi\cdot3^2=18\pi\ \mathrm{cm}^2 \]Krok 3. Obliczamy pole powierzchni bocznej:
\[ P_b=2\pi rH=2\pi\cdot3\cdot4=24\pi\ \mathrm{cm}^2 \]W polu całkowitym dodajemy oba koła oraz prostokątną powierzchnię boczną.
Krok 4. Dodajemy wszystkie części powierzchni:
\[ P_c=18\pi+24\pi=42\pi\ \mathrm{cm}^2 \]Wniosek:
Obliczanie tworzącej stożka
Treść zadania. Stożek ma promień podstawy \(5\ \mathrm{cm}\) i wysokość \(12\ \mathrm{cm}\). Oblicz długość tworzącej.
Krok 1. Zapisujemy zależność z twierdzenia Pitagorasa:
\[ l^2=r^2+H^2 \]Krok 2. Podstawiamy promień i wysokość:
\[ l^2=5^2+12^2=25+144=169 \]Krok 3. Obliczamy długość tworzącej:
\[ l=\sqrt{169}=13\ \mathrm{cm} \]Wniosek:
Pole sfery i objętość kuli
Treść zadania. Kula ma średnicę \(6\ \mathrm{cm}\). Oblicz pole jej powierzchni oraz objętość.
Krok 1. Zamieniamy średnicę na promień:
\[ r=\frac{d}{2}=\frac{6}{2}=3\ \mathrm{cm} \]Podanie średnicy zamiast promienia jest częstą pułapką. Przed użyciem wzorów zawsze dzielimy średnicę przez \(2\).
Krok 2. Obliczamy pole sfery:
\[ P_s=4\pi r^2 =4\pi\cdot3^2 =36\pi\ \mathrm{cm}^2 \]Krok 3. Obliczamy objętość kuli:
\[ V=\frac{4}{3}\pi r^3 =\frac{4}{3}\pi\cdot3^3 =36\pi\ \mathrm{cm}^3 \]Wniosek: