Matematyka Krok po Kroku ← Wróć do działu
Moduł 4 · Statystyka

Prezentacja i interpretacja danych

Nauczysz się planować proste badanie, porządkować dane w tabelach, dobierać odpowiedni wykres oraz sprawdzać, czy prezentacja nie wprowadza odbiorcy w błąd.

Populacja, próba i cecha statystyczna

Populacja

Cały zbiór osób lub obiektów, o którym chcemy wyciągać wnioski.

Próba

Część populacji, którą rzeczywiście badamy.

Jednostka statystyczna

Jeden badany element populacji, na przykład jeden uczeń.

Cecha statystyczna

Właściwość obserwowana u badanych jednostek.

Cecha jakościowa

Opisuje kategorię, na przykład kolor oczu albo środek transportu.

Cecha ilościowa

Ma wartość liczbową, na przykład wzrost, wiek albo liczba rodzeństwa.

Przykład 1: rozpoznawanie elementów badania

Chcemy oszacować średni czas dojazdu wszystkich uczniów szkoły. W tym celu losujemy $80$ uczniów i pytamy ich o czas dojazdu w minutach.

  1. Populacja: wszyscy uczniowie szkoły.
  2. Próba: $80$ wylosowanych uczniów.
  3. Jednostka statystyczna: jeden uczeń.
  4. Cecha: czas dojazdu w minutach — cecha ilościowa.
Próba powinna być reprezentatywna. Ankieta przeprowadzona wyłącznie wśród osób przyjeżdżających autobusem nie opisze rzetelnie czasu dojazdu wszystkich uczniów.

Jak przeprowadzić proste badanie?

  1. Określ pytanie, na które chcesz odpowiedzieć.
  2. Wskaż populację i wybierz możliwie reprezentatywną próbę.
  3. Ustal badaną cechę oraz sposób zbierania danych.
  4. Uporządkuj wyniki w tabeli liczebności i częstości.
  5. Dobierz wykres odpowiedni do rodzaju danych.
  6. Sformułuj wnioski, nie wykraczając poza zebrane informacje.
Pytanie ankietowe także ma znaczenie. Powinno być jednoznaczne i nie sugerować odpowiedzi.

Tabela liczebności i częstości

Liczebność $n_i$ mówi, ile razy wystąpiła dana wartość. Częstość względna $f_i$ określa, jaką część wszystkich $N$ obserwacji stanowi ta liczebność.

$$f_i=\frac{n_i}{N},\qquad \text{częstość procentowa}=\frac{n_i}{N}\cdot100\%.$$

Przykład 2: od danych surowych do tabeli

W dziesięciu krótkich sprawdzianach uczeń otrzymał następujące oceny:

$$2,\ 3,\ 4,\ 3,\ 2,\ 3,\ 4,\ 3,\ 3,\ 4.$$
  1. Wszystkich obserwacji jest $N=10$.
  2. Ocena $2$ występuje $2$ razy, ocena $3$ — $5$ razy, a ocena $4$ — $3$ razy.
  3. Dzielimy każdą liczebność przez $10$, na przykład: $$f_3=\frac5{10}=0{,}5=50\%.$$
Ocena $x_i$Liczebność $n_i$Częstość $f_i$Częstość procentowa
$2$$2$$0{,}2$20%
$3$$5$$0{,}5$50%
$4$$3$$0{,}3$30%
Razem$10$$1$100%
Kontrola: suma liczebności musi dać $N$, a suma częstości względnych — $1$, czyli 100%.

Jak dobrać rodzaj wykresu?

Forma prezentacjiNajlepsze zastosowanieWażna cecha
Diagram słupkowyPorównywanie kategorii lub pojedynczych wartości.Słupki są rozdzielone.
Diagram kołowyPokazywanie udziałów w jednej całości.Wszystkie części dają 100%.
Wykres liniowyPokazywanie zmian wielkości w czasie.Kolejność punktów ma znaczenie.
HistogramDane liczbowe pogrupowane w przedziały.Prostokąty przylegają do siebie.
Diagram słupkowy zbudowany na podstawie tabeli ocen z poprzedniego przykładu.

Przykład 3: informacje odczytane z diagramu

  1. Najczęściej występowała ocena $3$ — otrzymano ją $5$ razy.
  2. Ocena $2$ występowała najrzadziej — $2$ razy.
  3. Ocen co najmniej $3$ było: $$5+3=8.$$
  4. Stanowią one: $$\frac8{10}\cdot100\%=80\%$$ wszystkich wyników.
Wniosek: 80% wyników stanowiły oceny $3$ lub $4$.

Diagram kołowy i kąty sektorów

Pełne koło ma $360^\circ$. Kąt sektora otrzymujemy, mnożąc częstość względną danej kategorii przez $360^\circ$.

$$\alpha_i=f_i\cdot360^\circ=\frac{n_i}{N}\cdot360^\circ.$$

Przykład 4: sektor na diagramie kołowym

W grupie $40$ osób odpowiedź A wybrało $14$ osób. Oblicz częstość procentową i kąt odpowiedniego sektora.

  1. Obliczamy częstość względną: $$f_A=\frac{14}{40}=0{,}35.$$
  2. Zamieniamy ją na procent: $$0{,}35\cdot100\%=35\%.$$
  3. Obliczamy kąt sektora: $$\alpha_A=0{,}35\cdot360^\circ=126^\circ.$$
Odpowiedź: odpowiedź A stanowi 35% wyników i zajmuje sektor o kącie $126^\circ$.

Histogram a diagram słupkowy

Histogram przedstawia liczebności lub częstości danych liczbowych zebranych w przedziały, na przykład wzrosty uczniów w przedziałach $[150,160)$, $[160,170)$ i $[170,180)$ cm.

Diagram słupkowy

Dotyczy oddzielnych kategorii. Między słupkami pozostają przerwy.

Histogram

Dotyczy kolejnych przedziałów liczbowych. Prostokąty stykają się.

Przedziały nie mogą się nakładać. Zapis $[150,160)$ oznacza, że $150$ należy do przedziału, ale $160$ już nie. Wartość $160$ trafia do następnego przedziału.

Rzetelne odczytywanie danych

  1. Przeczytaj tytuł i ustal, czego dotyczą dane.
  2. Sprawdź opisy osi, jednostki oraz legendę.
  3. Sprawdź, od jakiej wartości zaczyna się skala i czy odstępy są jednakowe.
  4. Odczytaj dokładne wartości, a nie tylko wysokości słupków.
  5. Porównaj wartości bezwzględne i — gdy trzeba — zmianę procentową.
  6. Sprawdź źródło danych, liczebność próby i sposób jej wyboru.

Przykład 5: ucięta oś

Sklep A sprzedał $100$ produktów, a sklep B — $98$. Na wykresie oś pionowa zaczyna się od $97$, więc słupek A ma widoczną wysokość $3$, a słupek B tylko $1$. Może to tworzyć wrażenie trzykrotnej różnicy.

  1. Rzeczywista różnica wynosi: $$100-98=2\text{ produkty}.$$
  2. Względem wyniku sklepu B jest to: $$\frac{100-98}{98}\cdot100\%\approx2{,}04\%.$$
Wniosek: sprzedaż sklepu A była większa tylko o około 2,04%, a nie trzykrotnie.

Typowe błędy

Krótkie zadania z rozwiązaniami

Zadanie 1: tabela częstości

Wyniki dziesięciu uczniów to: $2,4,3,5,4,4,3,5,4,2$. Sporządź tabelę liczebności i częstości procentowych.

Rozwiązanie krok po kroku
  1. Wszystkich wyników jest $N=10$.
  2. Ocena $2$ występuje $2$ razy, ocena $3$ — $2$ razy, ocena $4$ — $4$ razy, a ocena $5$ — $2$ razy.
  3. Dzielimy liczebności przez $10$ i zamieniamy na procenty.
Ocena$2$$3$$4$$5$
Liczebność$2$$2$$4$$2$
Częstość procentowa20%20%40%20%
Kontrola: $2+2+4+2=10$, a $20\%+20\%+40\%+20\%=100\%$.

Zadanie 2: diagram kołowy

Spośród $80$ uczniów $28$ dojeżdża do szkoły rowerem. Jaki procent badanych stanowią te osoby i jaki kąt powinien mieć ich sektor na diagramie kołowym?

Rozwiązanie krok po kroku
  1. Obliczamy częstość: $$\frac{28}{80}=0{,}35.$$
  2. Zamieniamy wynik na procent: $$0{,}35\cdot100\%=35\%.$$
  3. Obliczamy kąt sektora: $$0{,}35\cdot360^\circ=126^\circ.$$
Odpowiedź: rowerzyści stanowią 35% badanych, a sektor ma kąt $126^\circ$.

Zadanie 3: dobór wykresu

Przez siedem kolejnych dni mierzono temperaturę o godzinie 12:00. Jaki wykres najlepiej pokaże kierunek zmian temperatury?

Rozwiązanie krok po kroku
  1. Dane są uporządkowane chronologicznie.
  2. Chcemy obserwować wzrosty i spadki między kolejnymi dniami.
  3. Punkty odpowiadające kolejnym dniom można połączyć w naturalnej kolejności.
Odpowiedź: najlepszy będzie wykres liniowy.

Zadanie 4: ocena prezentacji

Dwie klasy zebrały odpowiednio $102$ kg i $100$ kg makulatury. Wykres zaczyna oś pionową od $99$ kg. Wyjaśnij, dlaczego taki wykres może wprowadzać w błąd, i oblicz procentową przewagę pierwszej klasy względem drugiej.

Rozwiązanie krok po kroku
  1. Przy osi zaczynającej się od $99$ widoczne wysokości słupków wynoszą $3$ i $1$, więc pierwszy może wyglądać na trzy razy wyższy.
  2. Rzeczywista różnica to: $$102-100=2\text{ kg}.$$
  3. Obliczamy przewagę względem wyniku drugiej klasy: $$\frac{2}{100}\cdot100\%=2\%.$$
Odpowiedź: pierwsza klasa zebrała tylko o 2% więcej makulatury; ucięta oś wyolbrzymia różnicę.