Wartość oczekiwana | Matematyka Krok po Kroku

Zmienna losowa i jej rozkład

Zmienna losowa przypisuje każdemu wynikowi doświadczenia losowego liczbę. Może nią być liczba zdobytych punktów, wysokość nagrody albo zysk lub strata gracza.

Rozkład zmiennej losowej to zestaw wszystkich możliwych wartości $x_1,x_2,\ldots,x_n$ oraz odpowiadających im prawdopodobieństw $p_1,p_2,\ldots,p_n$.

Wartość zmiennej $X$	$10$ zł	$-2$ zł
Prawdopodobieństwo	$\frac16$	$\frac56$

Kontrola rozkładu: każde prawdopodobieństwo musi należeć do przedziału $[0,1]$, a suma wszystkich prawdopodobieństw musi być równa $1$: $$p_1+p_2+\ldots+p_n=1.$$

Jak obliczyć wartość oczekiwaną?

Wartość oczekiwana jest średnią ważoną możliwych wartości zmiennej. Wagami są ich prawdopodobieństwa.

$$E(X)=x_1p_1+x_2p_2+\ldots+x_np_n=\sum_{i=1}^{n}x_ip_i.$$

Ustal, co oznacza zmienna losowa $X$.
Wypisz wszystkie możliwe wartości $X$.
Wyznacz prawdopodobieństwo każdej wartości.
Sprawdź, czy suma prawdopodobieństw wynosi $1$.
Pomnóż każdą wartość przez jej prawdopodobieństwo.
Dodaj iloczyny i zinterpretuj otrzymany wynik.

Przykład 1: gra z rzutem kostką

Za wyrzucenie szóstki gracz otrzymuje $10$ zł, a przy każdym innym wyniku traci $2$ zł. Oblicz wartość oczekiwaną wyniku jednej gry.

Niech $X$ oznacza wynik finansowy gracza. Możliwe wartości to $10$ oraz $-2$.
Szóstka wypada z prawdopodobieństwem $\frac16$, a każdy inny wynik z prawdopodobieństwem $\frac56$.
Tworzymy sumę iloczynów wartości i prawdopodobieństw: $$E(X)=10\cdot\frac16+(-2)\cdot\frac56.$$
Obliczamy: $$E(X)=\frac{10}{6}-\frac{10}{6}=0.$$

Odpowiedź: wartość oczekiwana wynosi $0$ zł. Gra jest uczciwa w sensie wartości oczekiwanej.

Nagroda a wynik netto

Jeżeli udział w grze jest płatny, zmienna losowa powinna opisywać wynik netto, czyli kwotę pozostającą po odjęciu ceny udziału.

Gdy otrzymujesz nagrodę$$\text{wynik netto}=\text{nagroda}-\text{opłata}.$$

Gdy nic nie wygrywasz$$\text{wynik netto}=-\text{opłata}.$$

Przykład 2: płatna loteria

Los kosztuje $5$ zł. Z prawdopodobieństwem $\frac14$ uczestnik otrzymuje nagrodę $20$ zł, a w pozostałych przypadkach nie otrzymuje nagrody. Oceń loterię.

Po wygranej wynik netto wynosi: $$20-5=15\text{ zł}.$$
Po przegranej uczestnik traci cenę losu, więc wynik netto wynosi $-5$ zł.
Prawdopodobieństwo przegranej obliczamy jako: $$1-\frac14=\frac34.$$
Obliczamy wartość oczekiwaną: $$E(X)=15\cdot\frac14+(-5)\cdot\frac34 =\frac{15}{4}-\frac{15}{4}=0.$$

Odpowiedź: wartość oczekiwana wynosi $0$ zł, więc loteria jest uczciwa w sensie wartości oczekiwanej.

Najważniejsza pułapka: nagroda $20$ zł nie jest zyskiem $20$ zł, jeśli wcześniej trzeba zapłacić $5$ zł. Zysk po wygranej wynosi wtedy $15$ zł.

Ocena opłacalności i uczciwa gra

$E(X)\gt 0$

Gra jest średnio korzystna dla gracza.

$E(X)=0$

Gra jest uczciwa w sensie wartości oczekiwanej.

$E(X)\lt 0$

Gra jest średnio niekorzystna dla gracza.

Porównanie gier

Większa wartość oczekiwana oznacza korzystniejszy średni wynik.

Przykład 3: wyznaczanie uczciwej nagrody

Los kosztuje $4$ zł. Nagrodę główną otrzymuje się z prawdopodobieństwem $\frac15$. Jaka powinna być jej wartość $K$, aby gra była uczciwa?

Rozwiązanie krok po kroku

Po wygranej wynik netto wynosi $K-4$ zł.
Po przegranej wynik netto wynosi $-4$ zł, a jej prawdopodobieństwo to $\frac45$.
Dla uczciwej gry przyjmujemy $E(X)=0$: $$\frac15(K-4)+\frac45\cdot(-4)=0.$$
Mnożymy równanie przez $5$ i rozwiązujemy: $$K-4-16=0,$$ $$K=20.$$

Odpowiedź: nagroda główna powinna wynosić $20$ zł.

Porównywanie gier

Jeżeli wybór ma zależeć wyłącznie od średniego wyniku finansowego, porównujemy wartości oczekiwane obydwu gier.

Przykład 4: którą grę wybrać?

Gra	Możliwe wyniki	Prawdopodobieństwa
A	$5$ zł lub $-4$ zł	$0{,}6$ oraz $0{,}4$
B	$12$ zł lub $-1$ zł	$0{,}25$ oraz $0{,}75$

Dla gry A: $$E(A)=5\cdot0{,}6+(-4)\cdot0{,}4=3-1{,}6=1{,}4.$$
Dla gry B: $$E(B)=12\cdot0{,}25+(-1)\cdot0{,}75=3-0{,}75=2{,}25.$$
Porównujemy wyniki: $$2{,}25>1{,}4.$$

Odpowiedź: według wartości oczekiwanej korzystniejsza jest gra B.

Ważne: wartość oczekiwana porównuje wyniki średnie. Nie opisuje wielkości ryzyka ani nie gwarantuje wyniku pojedynczej rozgrywki.

Jak interpretować wynik?

Wartość oczekiwana nie musi być jednym z możliwych wyników pojedynczej gry. Jeżeli $E(X)=0{,}50$ zł, nie oznacza to, że w każdej rozgrywce otrzymamy $50$ groszy. Oznacza to, że przy bardzo wielu powtórzeniach średni wynik na jedną grę powinien zbliżać się do tej wartości.

Jeżeli tę samą grę powtarzamy $n$ razy, oczekiwany łączny wynik wynosi: $$E(S_n)=n\cdot E(X).$$

Krótki przykład

Jeżeli wartość oczekiwana jednej gry wynosi $-1{,}20$ zł, to dla $100$ rozgrywek oczekiwany łączny wynik gracza jest równy:

$$100\cdot(-1{,}20)=-120\text{ zł}.$$

Nie znaczy to, że gracz na pewno straci dokładnie $120$ zł. Jest to przewidywany średni bilans wielu takich serii.

Typowe błędy

Zapisywanie straty jako liczby dodatniej.
Pominięcie jednego z możliwych wyników.
Używanie prawdopodobieństw, których suma nie wynosi $1$.
Mylenie nagrody brutto z wynikiem netto gracza.
Dodawanie wartości i prawdopodobieństw zamiast mnożenia ich parami.
Ocenianie gry tylko na podstawie najwyższej możliwej nagrody.
Traktowanie wartości oczekiwanej jako gwarantowanego wyniku jednej gry.

Krótkie zadania z rozwiązaniami

Zadanie 1: brakujące prawdopodobieństwo

Zmienna losowa $X$ przyjmuje wartości $-2$, $1$ i $5$ z prawdopodobieństwami odpowiednio $0{,}3$, $p$ i $0{,}2$. Wyznacz $p$ i oblicz $E(X)$.

Rozwiązanie krok po kroku

Suma prawdopodobieństw musi wynosić $1$: $$0{,}3+p+0{,}2=1.$$
Stąd: $$p=1-0{,}5=0{,}5.$$
Obliczamy wartość oczekiwaną: $$E(X)=(-2)\cdot0{,}3+1\cdot0{,}5+5\cdot0{,}2.$$
Upraszczamy: $$E(X)=-0{,}6+0{,}5+1=0{,}9.$$

Odpowiedź: $p=0{,}5$ oraz $E(X)=0{,}9$.

Zadanie 2: gra z kostką

Gracz otrzymuje $7$ zł, gdy na kostce wypadnie $5$ lub $6$. W przeciwnym przypadku traci $2$ zł. Oblicz wartość oczekiwaną i oceń grę.

Rozwiązanie krok po kroku

Wygranej sprzyjają dwa wyniki z sześciu: $$P(\text{wygrana})=\frac26=\frac13.$$
Prawdopodobieństwo przegranej wynosi: $$P(\text{przegrana})=\frac46=\frac23.$$
Obliczamy: $$E(X)=7\cdot\frac13+(-2)\cdot\frac23 =\frac73-\frac43=1.$$

Odpowiedź: $E(X)=1$ zł, więc gra jest średnio korzystna dla gracza.

Zadanie 3: uczciwa loteria

Los kosztuje $5$ zł. Z prawdopodobieństwem $\frac16$ uczestnik otrzymuje nagrodę $K$, a w pozostałych przypadkach nic nie wygrywa. Wyznacz $K$, aby loteria była uczciwa.

Rozwiązanie krok po kroku

Po wygranej wynik netto wynosi $K-5$ zł, a po przegranej $-5$ zł.
Warunek uczciwej gry to $E(X)=0$: $$\frac16(K-5)+\frac56\cdot(-5)=0.$$
Mnożymy równanie przez $6$: $$K-5-25=0.$$
Rozwiązujemy równanie: $$K=30.$$

Odpowiedź: nagroda powinna wynosić $30$ zł.

Zadanie 4: loteria w długiej serii

Los kosztuje $6$ zł. Z prawdopodobieństwem $0{,}1$ gracz otrzymuje nagrodę $50$ zł, a w przeciwnym przypadku nic nie otrzymuje. Oblicz wartość oczekiwaną wyniku netto jednej gry i oczekiwany bilans po $200$ grach.

Rozwiązanie krok po kroku

Po wygranej wynik netto wynosi: $$50-6=44\text{ zł}.$$
Po przegranej wynik netto wynosi $-6$ zł, a prawdopodobieństwo przegranej to $0{,}9$.
Wartość oczekiwana jednej gry: $$E(X)=44\cdot0{,}1+(-6)\cdot0{,}9=4{,}4-5{,}4=-1.$$
Oczekiwany bilans po $200$ grach: $$200\cdot(-1)=-200\text{ zł}.$$

Odpowiedź: średnia strata wynosi $1$ zł na grę, a oczekiwany bilans po $200$ grach to $-200$ zł.