Matematyka Krok po Kroku ← Wróć do działu
Moduł 8 · Rozszerzenie

Schemat Bernoulliego

Nauczysz się rozpoznawać doświadczenia Bernoulliego oraz obliczać prawdopodobieństwo dokładnie, co najmniej, co najwyżej lub od jednej do drugiej liczby sukcesów.

Poziom rozszerzony

Kiedy stosujemy schemat Bernoulliego?

Schemat Bernoulliego opisuje serię prób, w których śledzimy wystąpienie jednego wybranego zdarzenia, nazywanego sukcesem. Sukces nie musi oznaczać wyniku korzystnego — może nim być na przykład otrzymanie wadliwego produktu.

Sukces

Zdarzenie, którego liczbę wystąpień liczymy. Jego prawdopodobieństwo oznaczamy przez $p$.

Porażka

Zdarzenie przeciwne do sukcesu. Jego prawdopodobieństwo wynosi $q=1-p$.

Muszą być spełnione wszystkie poniższe warunki:

  1. Wykonujemy ustaloną liczbę $n$ prób.
  2. Każda próba ma tylko dwa rozpatrywane wyniki: sukces albo porażkę.
  3. Próby są niezależne.
  4. W każdej próbie prawdopodobieństwo sukcesu jest takie samo i wynosi $p$.
Pasuje do schematuPięć rzutów tą samą uczciwą monetą. W każdej próbie $p=\frac12$ i wynik rzutu nie wpływa na następny.
Nie pasuje do schematuLosowanie kilku kul bez zwracania. Skład urny się zmienia, więc zwykle zmienia się także $p$.
Najpierw sprawdź warunki. Sam fakt powtarzania doświadczenia nie wystarcza. Próby muszą być niezależne, a prawdopodobieństwo sukcesu musi pozostawać stałe.

Liczba sukcesów i rozkład dwumianowy

Niech zmienna losowa $X$ oznacza liczbę sukcesów w $n$ próbach Bernoulliego. Wtedy $X$ może przyjąć wartości:

$$X\in\{0,1,2,\ldots,n\},\qquad X\sim B(n,p).$$

Zapis $X\sim B(n,p)$ informuje, że $X$ ma rozkład dwumianowy z parametrami $n$ i $p$. Aby opisać zadanie, trzeba zawsze ustalić:

$n$ — liczba prób

Ile razy wykonujemy doświadczenie?

$k$ — liczba sukcesów

Ilu sukcesów dotyczy rozpatrywany przypadek?

$p$ — sukces

Jakie jest prawdopodobieństwo sukcesu w jednej próbie?

$q=1-p$ — porażka

Jakie jest prawdopodobieństwo braku sukcesu w jednej próbie?

Dokładnie $k$ sukcesów

$$P(X=k)=\binom{n}{k}p^kq^{n-k}=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}.$$
$\binom{n}{k}$Wybiera $k$ pozycji, na których pojawią się sukcesy.
$p^kq^{n-k}$Jest prawdopodobieństwem jednego ustalonego układu $k$ sukcesów i $n-k$ porażek.

Przykład 1: dokładnie trzy orły

Uczciwą monetą rzucamy $4$ razy. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania dokładnie $3$ orłów.

  1. Sukcesem jest otrzymanie orła. Ustalamy: $$n=4,\qquad k=3,\qquad p=\frac12,\qquad q=\frac12.$$
  2. Wybieramy trzy spośród czterech pozycji dla orłów: $$\binom43=4.$$
  3. Każdy układ trzech orłów i jednej reszki ma prawdopodobieństwo: $$\left(\frac12\right)^3\left(\frac12\right)^1=\frac1{16}.$$
  4. Stosujemy wzór Bernoulliego: $$P(X=3)=\binom43\left(\frac12\right)^3\left(\frac12\right)=4\cdot\frac1{16}=\frac14.$$
Odpowiedź: prawdopodobieństwo dokładnie trzech orłów wynosi $\frac14$.

Przykład 2: dokładnie dwa trafienia

Prawdopodobieństwo trafienia do celu wynosi $0{,}8$. Oddano $3$ niezależne strzały. Oblicz prawdopodobieństwo dokładnie dwóch trafień.

  1. Sukcesem jest trafienie, dlatego: $$n=3,\qquad k=2,\qquad p=0{,}8,\qquad q=0{,}2.$$
  2. Podstawiamy do wzoru: $$P(X=2)=\binom32(0{,}8)^2(0{,}2)^1.$$
  3. Obliczamy: $$P(X=2)=3\cdot0{,}64\cdot0{,}2=0{,}384.$$
Odpowiedź: prawdopodobieństwo wynosi $0{,}384$, czyli $38{,}4\%$.

Co najmniej i co najwyżej

Słowa z treści zadania trzeba najpierw zamienić na odpowiedni warunek dotyczący zmiennej $X$.

SformułowanieZapisJak liczymy?
Dokładnie $k$ sukcesów$X=k$Jeden składnik $P(X=k)$
Co najmniej $k$ sukcesów$X\ge k$$P(X=k)+\ldots+P(X=n)$
Co najwyżej $k$ sukcesów$X\le k$$P(X=0)+\ldots+P(X=k)$
Więcej niż $k$ sukcesów$X>k$$P(X=k+1)+\ldots+P(X=n)$
Mniej niż $k$ sukcesów$X\lt k$$P(X=0)+\ldots+P(X=k-1)$
Co najmniej $k$$$P(X\ge k)=\sum_{i=k}^{n}P(X=i).$$
Co najwyżej $k$$$P(X\le k)=\sum_{i=0}^{k}P(X=i).$$
Końce należą do warunku. „Co najmniej $3$” obejmuje $3$, a „co najwyżej $3$” również obejmuje $3$.

Kiedy warto użyć dopełnienia?

Jeżeli bezpośrednia suma zawiera wiele składników, często krócej jest policzyć zdarzenie przeciwne. Szczególnie ważny jest przypadek „co najmniej jeden sukces”.

$$P(X\ge1)=1-P(X=0)=1-q^n=1-(1-p)^n.$$

Przykład 3: co najmniej jedna szóstka

Uczciwą kostką rzucamy $3$ razy. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania co najmniej jednej szóstki.

Rozwiązanie krok po kroku
  1. Sukces to otrzymanie szóstki, zatem: $$n=3,\qquad p=\frac16,\qquad q=\frac56.$$
  2. Zdarzeniem przeciwnym jest brak szóstki we wszystkich trzech rzutach.
  3. Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego: $$P(X=0)=\left(\frac56\right)^3=\frac{125}{216}.$$
  4. Odejmujemy od jedności: $$P(X\ge1)=1-\frac{125}{216}=\frac{91}{216}.$$
Odpowiedź: prawdopodobieństwo co najmniej jednej szóstki wynosi $\frac{91}{216}$.

Przykład 4: co najmniej dwa sukcesy

Wykonujemy $4$ niezależne próby, a prawdopodobieństwo sukcesu w każdej z nich wynosi $0{,}3$. Oblicz $P(X\ge2)$.

Rozwiązanie krok po kroku
  1. Bezpośrednio trzeba byłoby dodać przypadki $X=2$, $X=3$ oraz $X=4$.
  2. Krócej zastosować dopełnienie: $$P(X\ge2)=1-P(X=0)-P(X=1).$$
  3. Obliczamy brak sukcesów: $$P(X=0)=\binom40(0{,}3)^0(0{,}7)^4=0{,}2401.$$
  4. Obliczamy dokładnie jeden sukces: $$P(X=1)=\binom41(0{,}3)(0{,}7)^3=4\cdot0{,}3\cdot0{,}343=0{,}4116.$$
  5. Odejmujemy od jedności: $$P(X\ge2)=1-0{,}2401-0{,}4116=0{,}3483.$$
Odpowiedź: $P(X\ge2)=0{,}3483$, czyli $34{,}83\%$.

Liczba sukcesów z przedziału

Warunek „od $a$ do $b$ sukcesów” oznacza sumę prawdopodobieństw dla wszystkich całkowitych wartości od $a$ do $b$, razem z końcami.

$$P(a\le X\le b)=\sum_{k=a}^{b}\binom{n}{k}p^kq^{n-k}.$$

Przykład 5: od dwóch do czterech sukcesów

Wykonujemy $5$ niezależnych prób z prawdopodobieństwem sukcesu $p=0{,}4$. Oblicz $P(2\le X\le4)$.

  1. Ustalamy $n=5$, $p=0{,}4$ oraz $q=0{,}6$.
  2. Rozpisujemy wszystkie przypadki należące do przedziału: $$P(2\le X\le4)=P(X=2)+P(X=3)+P(X=4).$$
  3. Obliczamy kolejno: $$P(X=2)=\binom52(0{,}4)^2(0{,}6)^3=0{,}3456,$$ $$P(X=3)=\binom53(0{,}4)^3(0{,}6)^2=0{,}2304,$$ $$P(X=4)=\binom54(0{,}4)^4(0{,}6)=0{,}0768.$$
  4. Dodajemy wyniki: $$P(2\le X\le4)=0{,}3456+0{,}2304+0{,}0768=0{,}6528.$$
Odpowiedź: prawdopodobieństwo wynosi $0{,}6528$, czyli $65{,}28\%$.

Schemat rozwiązania

  1. Nazwij sukces. Zapisz dokładnie, które zdarzenie liczysz.
  2. Sprawdź warunki. Próby muszą być niezależne, a $p$ stałe.
  3. Ustal parametry. Zapisz $n$, $p$, $q=1-p$ oraz potrzebne wartości $k$.
  4. Przetłumacz treść. Zamień „dokładnie”, „co najmniej”, „co najwyżej”, „więcej niż” lub „mniej niż” na warunek dla $X$.
  5. Wybierz sposób. Policz jeden składnik, sumę przypadków albo zdarzenie przeciwne.
  6. Podstaw do wzoru. Pilnuj wykładników $k$ oraz $n-k$.
  7. Sprawdź wynik. Prawdopodobieństwo musi należeć do przedziału $[0,1]$.

Typowe błędy

Krótkie zadania z rozwiązaniami

Zadanie 1: dokładnie dwa trafienia

Prawdopodobieństwo trafienia wynosi $0{,}8$. Oddano $3$ niezależne strzały. Oblicz prawdopodobieństwo dokładnie dwóch trafień.

Rozwiązanie krok po kroku
  1. Ustalamy $n=3$, $k=2$, $p=0{,}8$ i $q=0{,}2$.
  2. Podstawiamy do wzoru: $$P(X=2)=\binom32(0{,}8)^2(0{,}2).$$
  3. Obliczamy: $$P(X=2)=3\cdot0{,}64\cdot0{,}2=0{,}384.$$
Odpowiedź: $0{,}384$, czyli $38{,}4\%$.

Zadanie 2: co najwyżej jeden orzeł

Uczciwą monetą rzucamy $5$ razy. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania co najwyżej jednego orła.

Rozwiązanie krok po kroku
  1. „Co najwyżej jeden” oznacza $X=0$ albo $X=1$.
  2. Obliczamy: $$P(X=0)=\binom50\left(\frac12\right)^5=\frac1{32},$$ $$P(X=1)=\binom51\left(\frac12\right)^5=\frac5{32}.$$
  3. Dodajemy rozłączne przypadki: $$P(X\le1)=\frac1{32}+\frac5{32}=\frac6{32}=\frac3{16}.$$
Odpowiedź: $\frac3{16}$.

Zadanie 3: od dwóch do trzech orłów

Uczciwą monetą rzucamy $4$ razy. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania od dwóch do trzech orłów włącznie.

Rozwiązanie krok po kroku
  1. Warunek oznacza sumę $P(X=2)+P(X=3)$.
  2. W każdym czteroelementowym układzie prawdopodobieństwo wynosi $\left(\frac12\right)^4=\frac1{16}$.
  3. Obliczamy: $$P(2\le X\le3)=\binom42\frac1{16}+\binom43\frac1{16}=\frac6{16}+\frac4{16}=\frac58.$$
Odpowiedź: $\frac58$.

Zadanie 4: co najmniej dwa sukcesy

Wykonujemy $4$ niezależne próby z prawdopodobieństwem sukcesu $0{,}3$. Oblicz prawdopodobieństwo co najmniej dwóch sukcesów.

Rozwiązanie krok po kroku
  1. Stosujemy dopełnienie: $$P(X\ge2)=1-P(X=0)-P(X=1).$$
  2. Obliczamy $P(X=0)=0{,}7^4=0{,}2401$.
  3. Obliczamy $P(X=1)=\binom41(0{,}3)(0{,}7)^3=0{,}4116$.
  4. Zatem: $$P(X\ge2)=1-0{,}2401-0{,}4116=0{,}3483.$$
Odpowiedź: $0{,}3483$, czyli $34{,}83\%$.

Zadanie 5: czy to jest schemat Bernoulliego?

Z urny zawierającej $4$ kule białe i $6$ czarnych losujemy kolejno $3$ kule bez zwracania. Czy liczbę wylosowanych białych kul można obliczać schematem Bernoulliego?

Rozwiązanie krok po kroku
  1. Sukcesem miałoby być wylosowanie białej kuli.
  2. W pierwszym losowaniu prawdopodobieństwo sukcesu wynosi $\frac4{10}$.
  3. Po pierwszym losowaniu skład urny się zmienia. W drugim losowaniu prawdopodobieństwo białej kuli zależy od pierwszego wyniku.
  4. Prawdopodobieństwo sukcesu nie jest stałe, a próby nie są niezależne.
Odpowiedź: nie. Losowanie bez zwracania nie spełnia warunków schematu Bernoulliego.