Drzewa i niezależność | Matematyka Krok po Kroku

Jak czytać drzewo prawdopodobieństwa?

Drzewo pokazuje kolejne etapy doświadczenia. Każda droga od początku do końcowego wyniku jest jedną pełną ścieżką.

Każdy poziom drzewa odpowiada jednemu etapowi doświadczenia.
Przy każdej gałęzi zapisujemy prawdopodobieństwo przejścia.
Wzdłuż jednej pełnej ścieżki prawdopodobieństwa mnożymy.
Prawdopodobieństwa rozłącznych ścieżek prowadzących do tego samego zdarzenia dodajemy.

Start$P=1$
- Orzeł $O$$P(O)=\frac12$
  - $OO$$\frac12\cdot\frac12=\frac14$
  - $OR$$\frac12\cdot\frac12=\frac14$
- Reszka $R$$P(R)=\frac12$
  - $RO$$\frac12\cdot\frac12=\frac14$
  - $RR$$\frac12\cdot\frac12=\frac14$

wynik po pierwszym rzuciepełny wynik dwóch rzutów

Drzewo dwóch rzutów monetą. Każda pełna ścieżka ma prawdopodobieństwo $\frac14$.

Przykład: dokładnie jeden orzeł

Dokładnie jeden orzeł występuje na dwóch rozłącznych ścieżkach: $OR$ oraz $RO$.

$$P(OR)=\frac12\cdot\frac12=\frac14,\qquad P(RO)=\frac12\cdot\frac12=\frac14.$$ $$P(\text{dokładnie jeden orzeł})=\frac14+\frac14=\frac12.$$

Losowanie bez zwracania

Po pierwszym losowaniu element nie wraca do zbioru. Zmienia się liczba wszystkich elementów, a czasem również liczba wyników sprzyjających.

Przykład rozwiązany krok po kroku

W urnie są $4$ kule czerwone i $3$ niebieskie. Losujemy dwie kule bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul czerwonych.

W pierwszym losowaniu mamy $4$ kule czerwone spośród $7$ wszystkich: $$P(C_1)=\frac47.$$
Po wylosowaniu czerwonej pozostają $3$ czerwone kule spośród $6$ wszystkich: $$P(C_2\mid C_1)=\frac36.$$
Mnożymy prawdopodobieństwa na jednej ścieżce: $$P(CC)=\frac47\cdot\frac36=\frac{12}{42}=\frac27.$$

Odpowiedź: prawdopodobieństwo wynosi $\frac27$.

Uwaga: zapis $\frac47\cdot\frac47$ byłby błędny, ponieważ po pierwszym losowaniu w urnie pozostaje tylko $6$ kul.

Losowanie ze zwracaniem

Wylosowany element wraca do zbioru, więc skład urny przed kolejną próbą jest taki sam. Prawdopodobieństwa na analogicznych gałęziach nie zmieniają się.

Ze zwracaniem

Próby mają taki sam rozkład i są niezależne. Dla urny z $4$ czerwonymi i $3$ niebieskimi kulami:

$$P(CC)=\frac47\cdot\frac47=\frac{16}{49}.$$

Bez zwracania

Skład urny zmienia się, więc kolejne wyniki są zależne:

$$P(CC)=\frac47\cdot\frac36=\frac27.$$

Zdarzenia niezależne

Zdarzenia $A$ i $B$ są niezależne, gdy informacja o zajściu jednego nie zmienia prawdopodobieństwa drugiego. Warunek niezależności ma postać:

$$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B).$$

Przykład: kostka i moneta

Zdarzenie $A$: na kostce wypadła szóstka. Zdarzenie $B$: na monecie wypadł orzeł. Wynik kostki nie wpływa na wynik monety, dlatego zdarzenia są niezależne.

$$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)=\frac16\cdot\frac12=\frac1{12}.$$

Rozłączne to nie to samo co niezależne. Dwa różne wyniki jednego rzutu kostką są rozłączne, ale nie są niezależne: zajście jednego wyklucza drugie.

Przykład przekrojowy

Co najmniej jedna kula niebieska

W urnie są $3$ kule niebieskie i $2$ zielone. Losujemy dwie kule bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania co najmniej jednej niebieskiej.

Rozwiązanie krok po kroku

Niech $A$ oznacza otrzymanie co najmniej jednej kuli niebieskiej.
Zdarzenie przeciwne $A'$ oznacza wylosowanie dwóch kul zielonych.
Na ścieżce $ZZ$ prawdopodobieństwa mnożymy: $$P(A')=P(ZZ)=\frac25\cdot\frac14=\frac1{10}.$$
Stosujemy zdarzenie przeciwne: $$P(A)=1-P(A')=1-\frac1{10}=\frac9{10}.$$

Odpowiedź: prawdopodobieństwo wynosi $\frac9{10}$.

Typowe błędy

Dodawanie prawdopodobieństw wzdłuż jednej ścieżki zamiast ich mnożenia.
Mnożenie prawdopodobieństw rozłącznych ścieżek zamiast ich dodawania.
Brak zmiany mianownika przy losowaniu bez zwracania.
Uznawanie zdarzeń rozłącznych za niezależne.
Pominięcie jednej z możliwych kolejności, na przykład $CN$ albo $NC$.
Zmiana licznika i mianownika przy losowaniu ze zwracaniem, mimo że skład urny pozostaje taki sam.

Krótkie zadania z rozwiązaniami

Zadanie 1

Monetą rzucamy trzy razy. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania trzech reszek.

Rozwiązanie krok po kroku

Rzuty są niezależne.
W każdym rzucie reszka ma prawdopodobieństwo $\frac12$.
Na ścieżce $RRR$ mnożymy: $$P(RRR)=\left(\frac12\right)^3=\frac18.$$

Odpowiedź: prawdopodobieństwo wynosi $\frac18$.

Zadanie 2

W pudełku są $2$ białe i $3$ czarne kule. Losujemy dwie kule bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania kul różnych kolorów.

Rozwiązanie krok po kroku

Możliwe są dwie rozłączne kolejności: $BC$ albo $CB$.
Dla kolejności $BC$: $$P(BC)=\frac25\cdot\frac34=\frac3{10}.$$
Dla kolejności $CB$: $$P(CB)=\frac35\cdot\frac24=\frac3{10}.$$
Dodajemy prawdopodobieństwa obu ścieżek: $$P(BC\cup CB)=\frac3{10}+\frac3{10}=\frac35.$$

Odpowiedź: prawdopodobieństwo wynosi $\frac35$.

Zadanie 3

Zdarzenia $A$ i $B$ są niezależne. Wiadomo, że $P(A)=0{,}4$ oraz $P(B)=0{,}7$. Oblicz $P(A\cap B)$.

Rozwiązanie krok po kroku

Z treści wiemy, że zdarzenia są niezależne.
Stosujemy warunek iloczynowy: $$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B).$$
Podstawiamy dane: $$P(A\cap B)=0{,}4\cdot0{,}7=0{,}28.$$

Odpowiedź: $P(A\cap B)=0{,}28$.