MMatematyka Krok po KrokuWróć do działu
Ostatnia lekcja działu „Funkcje”

Optymalizacja z funkcją kwadratową

Nauczysz się budować funkcję celu, ustalać jej praktyczną dziedzinę, porównywać kandydatów i poprawnie interpretować największą albo najmniejszą wartość.

Funkcja celuco dokładnie maksymalizujemy?
Dziedzinajakie wartości mają sens?
Wierzchołek$x_w=-\frac{b}{2a}$
Interpretacjawynik wraz z jednostką
1. Cel optymalizacji

Na czym polega zadanie optymalizacyjne?

Szukamy najlepszego możliwego wyniku: największego pola, największego przychodu, najmniejszego kosztu albo najkrótszego czasu.

1Zbuduj modelZapisz szukaną wielkość jako funkcję jednej zmiennej.
2Znajdź optimumUżyj wierzchołka i, jeśli trzeba, końców przedziału.
3Odpowiedz na pytaniePrzelicz zmienną pomocniczą i podaj właściwą jednostkę.
Ważne: samo obliczenie współrzędnej $x_w$ zwykle nie kończy zadania. Trzeba jeszcze obliczyć wartość funkcji i wyjaśnić, co obie liczby oznaczają.
2. Plan rozwiązania

Uniwersalny schemat w pięciu krokach

  1. Wybierz zmienną i zapisz jej jednostkę.
  2. Wyraź pozostałe wielkości za pomocą tej zmiennej.
  3. Zbuduj funkcję celu $f(x)=ax^2+bx+c$.
  4. Ustal dziedzinę wynikającą z treści zadania.
  5. Znajdź ekstremum, sprawdź dziedzinę i zinterpretuj wynik.
Najczęstsza pułapka: w zadaniu o cenie zmienna $x$ może oznaczać liczbę podwyżek, a nie samą cenę. Zawsze wróć do definicji zmiennej.
3. Narzędzie algebraiczne

Wierzchołek i rodzaj ekstremum

Argument ekstremum
$x_w=-\frac{b}{2a}$
Wartość ekstremum
$y_w=f(x_w)$
Postać kanoniczna
$f(x)=a(x-p)^2+q$
Gdy $a<0$Ramiona paraboli są skierowane w dół, więc wierzchołek daje największą wartość funkcji.
Gdy $a>0$Ramiona paraboli są skierowane w górę, więc wierzchołek daje najmniejszą wartość funkcji.

Szybki przykład

Dla $f(x)=-2x^2+12x+5$ mamy $a=-2$ i $b=12$.

$$x_w=-\frac{12}{2\cdot(-2)}=3,\qquad f(3)=-18+36+5=23$$

Funkcja osiąga największą wartość $23$ dla $x=3$.

4. Ograniczenia

Dlaczego dziedzina może zmienić odpowiedź?

Wierzchołek rozwiązuje zadanie tylko wtedy, gdy należy do dziedziny określonej przez kontekst.

GeometriaDługości boków muszą być dodatnie.
ProdukcjaLiczba sztuk bywa nieujemną liczbą całkowitą.
Czas i prędkośćWartości ujemne nie mają praktycznego sensu.

Ekstremum na przedziale

Dla $f(x)=-x^2+6x$ na przedziale $[0,2]$ wierzchołek ma $x_w=3$, więc leży poza dziedziną. Porównujemy wartości na końcach:

$f(0)=0$lewy koniec
$f(2)=8$prawy koniec
$x_w=3$poza dziedziną

Największa wartość na podanym przedziale wynosi $8$.

5. Geometria

Prostokąt o największym polu

Prostokąt ma obwód $20$. Oznaczmy jeden bok przez $x$. Z równania $2x+2y=20$ otrzymujemy drugi bok $y=10-x$.

$$P(x)=x(10-x)=-x^2+10x,\qquad 0<x<10$$

$x_w=5$, więc oba boki mają długość $5$, a największe pole wynosi $25$.

Odpowiedź: największe pole ma kwadrat $5\times5$.
x10−x
Stały obwód prowadzi do funkcji kwadratowej pola.
6. Zadanie maturalne

Ogrodzenie przy murze

Na trzy boki prostokątnego wybiegu mamy $40$ m siatki. Dwa boki prostopadłe do muru mają długość $x$, a trzeci bok $40-2x$.

Funkcja celu

Pole wybiegu

$$P(x)=x(40-2x)=-2x^2+40x$$

Dziedzina praktyczna: $0<x<20$.

Optimum

Wierzchołek

$$x_w=-\frac{40}{2\cdot(-2)}=10$$

Trzeci bok ma $20$ m, a maksymalne pole wynosi $200\text{ m}^2$.

7. Zastosowanie ekonomiczne

Optymalna cena i maksymalny przychód

Przy cenie $20$ zł sprzedaje się $100$ biletów. Każde podniesienie ceny o $2$ zł zmniejsza sprzedaż o $5$ biletów. Niech $x$ oznacza liczbę podwyżek.

Cena
$c(x)=20+2x$
Liczba biletów
$n(x)=100-5x$
Przychód
$R(x)=c(x)\cdot n(x)$
$$R(x)=(20+2x)(100-5x)=-10x^2+100x+2000$$

Wierzchołek ma $x_w=5$. To oznacza pięć podwyżek, więc cena wynosi $30$ zł, sprzedaż $75$ biletów, a największy przychód $2250$ zł.

Uwaga: liczba $x=5$ nie jest ceną. Jest liczbą podwyżek, dlatego trzeba przeliczyć ją na wielkość wskazaną w pytaniu.
8. Interaktywnie

Analizator funkcji celu na przedziale

Wpisz współczynniki funkcji $f(x)=ax^2+bx+c$ oraz zamknięty przedział. Analizator porówna wierzchołek z końcami przedziału i narysuje wykres.

Maksimum: $25$ dla $x=5$Wierzchołek należy do przedziału $[0,10]$.
9. Samodzielna praca

Zadania do przećwiczenia

  1. Dla jakiego $x$ funkcja $f(x)=-x^2+8x$ osiąga największą wartość?

    Pokaż odpowiedź

    $x_w=4$, a największa wartość wynosi $f(4)=16$.

  2. Prostokąt ma obwód $28$. Jakie wymiary dają największe pole?

    Pokaż odpowiedź

    Największe pole ma kwadrat $7\times7$, a jego pole wynosi $49$.

  3. Wyznacz najmniejszą wartość funkcji $f(x)=2x^2-12x+5$.

    Pokaż odpowiedź

    $x_w=3$, a $f(3)=-13$.

  4. Funkcja $f(x)=-x^2+10x$ jest rozpatrywana na przedziale $[0,3]$. Gdzie osiąga maksimum?

    Pokaż odpowiedź

    Wierzchołek $x=5$ leży poza przedziałem. Funkcja rośnie na $[0,3]$, więc maksimum osiąga dla $x=3$ i wynosi $21$.

10. Uważaj

Najczęstsze błędy

  • Brak dziedziny wynikającej z treści zadania.
  • Podanie tylko $x_w$ bez obliczenia wartości funkcji.
  • Szukanie minimum, mimo że $a<0$ i parabola ma maksimum.
  • Przyjęcie wierzchołka leżącego poza praktycznym przedziałem.
  • Nieprzeliczenie zmiennej pomocniczej na cenę, wymiar albo liczbę produktów.
  • Brak jednostki w końcowej odpowiedzi.
11. Najważniejsze informacje

Podsumowanie lekcji

ModelZbuduj funkcję celu jednej zmiennej.
DziedzinaZapisz ograniczenia wynikające z kontekstu.
EkstremumSprawdź wierzchołek i końce przedziału.
InterpretacjaPodaj warunki optimum, jego wartość i jednostkę.